高代第六章 线性空间.pptVIP

线性空间 第六章线性空间 线性空间 1集合和映射 1集合和映射 一 集合 集合 由一堆东西组成的整体 通常用大写字母A B C表示 元素 组成集合的个体 通常用小写字母a b c表示 集合与元素的关系 1 a A表示a是集合A中的元素 2 a A表示a不是集合A中的元素 3 无限集 由无限个元素组成的集合 4 有限集 由有限个元素组成的集合 5 空集 不含任何元素的集合 通常用 表示 线性空间 1集合和映射 集合的表示方法 1 列举法 列举出集合的全部元素 2 描述法 给出元素所具有的共同特征 表示为 A a a具有的某种性质 集合与集合的关系 1 包含 若集合A的元素全是集合B中的元素 则称A是B的 子集合 或称集合B包含集合A 记为A B或B A 2 相等 若集合A与集合B含有完全相同的元素 则称集合 A与集合B相等 记为A B 线性空间 1集合和映射 集合的运算 1 集合的交 A和B是两个集合 既属于A又属于B的所有元 素组成的集合称为A与B的交 记为 A B x x A且x B 2 集合的并 A和B是两个集合 属于A或属于B的所有元素 组成的集合称为A与B的并 记为 A B x x A或x B 集合的交和并可以推广到任意个集合的情况 线性空间 1集合和映射 几个运算规律 1 A B AA B B 2 A B AA B B 3 A A B AA A B A 4 A B C A B A C 5 A B C A B A C 线性空间 1集合和映射 二 映射 映射 设A B是两个非空集合 若存在A到B的一个对应法则 使得对 a A 存在唯一确定的b B与之对应 则称 是 A到B的一个映射 记为 a b或 a b 其中b称为a在映射 下的像 a称为b在映射 下的原像 关于A到B的映射 应该注意以下几点 1 若集合A和B相同 常称为A到A的变换 2 集合A中每个元素必须在B中有像 而且像是唯一的 但A 中不同的元素可以有相同的像 3 不要求集合B中每个元素在A中有原像 4 两个集合之间可以建立多个映射 线性空间 1集合和映射 映射的像集 设 是集合A到B的映射 其像的全体称为 的像集 记为 A a a A 或Im A a a A 映射的相等 设 和 是集合A到B的两个映射 若对A中每个元素a 都 有 a a 则称这两个映射相等 记为 线性空间 1集合和映射 特殊映射 恒等映射 设 是集合A到A的映射 若对 a A都有 a a 则称 是集合A上的恒等映射 记为 IA 满射 设 是集合A到B的映射 若 A B 则称 为A到B 单射 设 是集合A到B的映射 若 a1 a2 A a1 a2 有 a1 a2 则称 是A到B的单射 双射 设 是集合A到B的映射 若 既是单射又是满射 则称 是A到B的双射 或称为一一映射 的满射 线性空间 1集合和映射 映射的乘积 设 是集合A到B的映射 是集合B到C的映射 定义 a a a A 则称 是映射 和 的乘积 其中 是集合A到C的映射 逆映射 设 是集合A到B的映射 是集合B到A的映射 若 IA IB 则称 为 的逆映射 记为 1 设 是A到B的映射 则 可逆的充要条件是 为一一映射 线性空间 2线性空间的定义和性质 2线性空间的定义和性质 一 线性空间的定义 例1解析几何中 三维空间中向量的基本属性是可按平行四 边形规律相加 也可以与实数做数量乘法 例2为求解线性方程组 定义了n维向量的加法和数与向量的 例3对于函数 定义了函数的加法和实数与函数的数量乘法 虽然所考虑的对象不同 运算的定义也各不相同 但它们都有类似的代数运算 加法和数量乘法 数量乘法 线性空间 2线性空间的定义和性质 定义1设V是一个非空集合 P是一个数域 在集合V上定义 一种代数运算 加法 对V中任意两个元素 和 在V 中都有唯一的一个元素 与它们相对应 称为 与 的和 记为 在数域P与集合V的元素之间定义一种 运算 数量乘法 对于数域P上的任意一个数k与V中任意一 称为k与 的数量乘积 记为 k 如果所定义的加法 和数量乘法满足如下8条规则 则称V为数域P上的线性空间 个元素 在V中都有唯一的一个元素 与它们相对应 称 线性空间 2线性空间的定义和性质 对 V k l P 加法满足下面四条规则 1 2 3 V中有一元素 对于V中任一元素 都有 4 V中任一元素 都有V中的元素 使得 数量乘法满足下面两条规则 5 1 6 k l kl 数量乘法与加法满足下面两条规则 7 k l k l 8 k k k 满足以上8条的加法和数量乘法通常称为线性运算 线性空间中的元素也称为向量 因此线性空间也称为向量空间 但这里的向量比几何中向量的含义要广得多 线性空间 2线性空间的定义和性质 几个例子 例4数域P上所有m n阶矩阵组成的集合 按矩阵的加法和数 与矩阵的数量乘法 构成数域P上的一个线性空间 记为Pm n 特别地 Pm a1 a2 am ai P 是由全体m维向量组成的集 合 按向量的加法和数量乘法构成一个向量空间 例5数域P上一元多项式环P x 按多项式的加法和数与多项式 的乘法 构成数域P上的线性空间 若只考虑其中次数小于n的 多项式 再添上零多项式 也构成数域P上的线性空间 记为 例6全体实函数 按函数的加法和数与函数的乘法 构成实数 域上的线性空间 例7数域P上 按数的加法和乘法 构成一个自身的线性空间 P x n 线性空间 2线性空间的定义和性质 例8按通常几何向量的加法和数量乘法 下列各集合是否构成 实数域上的线性空间 1 空间中与一个已知向量 平行的全体向量添上零向量组成 2 空间中不平行于一个已知向量 的全体向量组成的集合V 3 起点在原点 终点在一条直线上的全体向量组成的集合V 例9按通常多项式的加法和数量乘法 下列各集合是否构成数 域P上的线性空间 1 数域P上次数等于定数n n 1 的多项式所组成的集合V 2 数域P上一切形如 的多项式所组成的集合V 3 已知数域P上的多项式g x g x 的所有倍式所组成的集合V 的集合V 线性空间 2线性空间的定义和性质 例10按通常数域P上矩阵的加法与数量乘法 下列数域P上的 矩阵集合是否构成数域P上的线性空间 1 全体n阶对称矩阵所组成的集合V 2 V X AX 0 其中A为给定的n阶矩阵 例11按通常数的加法和乘法运算 下列各数集是否构成指定 数域P上的线性空间 1 实数域R是否分别构成实数域 复数域上的线性空间 2 复数域C是否分别构成实数域 复数域上的线性空间 例12按通常函数的运算 下列集合是否构成实数域上的线性 1 定义在 a b 上的全体实连续函数 2 定义在 a b 上的函数值总为非负数的全体函数 空间 线性空间 2线性空间的定义和性质 例13下列集合对指定运算是否构成实数域上的线性空间 1 全体实数组成的二元数组组成的集合 定义运算 2 全体n阶矩阵组成的集合 按通常与数的乘法运算 加法 定义为 线性空间 2线性空间的定义和性质 二 线性空间的基本性质 性质1零元素唯一 性质2负元素唯一 性质30 k 1 性质4若k 那么k 0或者 性质5 k l k l 性质6k k k 线性空间 3维数 基与坐标 3维数 基与坐标 一 向量组的线性相关性 线性表出 线性空间 3维数 基与坐标 如果这两个向量组可以互相线性表出 那么这两个向量组是 定义4设V是数域P上的一个线性空间 如果在数域P中有r个 等价的 线性空间 3维数 基与坐标 相关结论 的线性组合 线性表出 那么r s 两个等价的线性无关向量组含有相同个 数的向量 线性相关的充要条件是其中有一个向量是其余向量 唯一 线性空间 3维数 基与坐标 例1在数域R上的4维线性空间R4内 给定向量组 判断此向量组是否线性相关 例2实数域R上的线性空间R2 2中的向量组 判断此向量组是否线性相关 例3在实数域上的连续函数空间 证明下列函数是线性无关的 1 2 3 线性空间 3维数 基与坐标 在实数域上线性无关的充要条件是 a b 线性空间 3维数 基与坐标 二 基和维数 定义5设V是数域P上的一个线性空间 如果V中向量 量的个数n称为V的维数 记为dimV n 并称V为n维线性空间 如果线性空间V的基中只含有有限多个线性无关的向量 则称V为有限维线性空间 如果线性空间V中可以找到任意多个线性无关的向量 则 称V为无限维线性空间 满足以下两条 线性空间 3维数 基与坐标 相关性质 都可它唯一表出 2 设V为n维线性空间 则V中任意n个线性无关向量都是V的 线性表出 而且有一个向量的表示法是唯一的 则V必为n维 线性空间 且这组向量就是它的一组基 构成线性空间V的一组基 3 如果线性空间V中每个向量都可由V中n个向量 一组基 线性空间 3维数 基与坐标 三 坐标 下的坐标为 线性空间 3维数 基与坐标 例6证明 在这两组基下的坐标 例7证明 在这组基下的坐标 是n维线性空间Pn中的两组基 并求向量 是线性空间R2 2中的一组基 并求矩阵 线性空间 4基变换与坐标变换 4基变换与坐标变换 一 基变换和过渡矩阵 它们有如下关系 为书写方便 引入一种形式写法 把向量 写成向量相乘的形式 线性空间 4基变换与坐标变换 那么上式可以改写为 其中矩阵 线性空间 4基变换与坐标变换 向量表达式的运算规律 两个n阶方阵 那么 1 2 3 线性空间 4基变换与坐标变换 基本性质 的过渡矩阵是A 则 1 A是唯一的 2 A是可逆的 3 基 性质2任何一个n阶可逆的方阵都可以作为n维线性空间中的 一组基到另一组基的过渡矩阵 线性空间 4基变换与坐标变换 二 坐标变换 则 线性空间 4基变换与坐标变换 不同基下的坐标有如下关系 上式称为坐标变换公式 或 线性空间 4基变换与坐标变换 例1设 例2设 线性空间 4基变换与坐标变换 例3设线性空间R2 2中的两组基为 的过渡矩阵 并证明f x P x n的Taylor公式 在这两组基下的坐标 线性空间 5线性子空间 5线性子空间 一 子空间的定义及判别 定义7设W是数域P上线性空间V的一个非空子集 如果W对V 中的加法和数乘运算也构成数域P上的线性空间 则称W是V的 一个线性子空间 或简称子空间 定理2设W是数域P上线性空间V的一个非空子集 如果W对V 中的两种运算是封闭的 那么W就是V的一个子空间 推论数域P上线性空间V的一个非空子集W为V的子空间的充要 条件是对W中任意向量 及P中任意数k l都有k l W 线性空间 5线性子空间 例1设n维线性空间Pn中 满足下列各条件的全体n维向量 的集合能否构成Pn的一个子空间 是几维子空间 例2若以f x 表示实系数多项式 试证 是R x 的子空间 并求出它的一组基 1 2 3 线性空间 5线性子空间 二 子空间的构成 向量的所有可能的线性组合 所成的集合是非空的 而且对V中的两种运算封闭 因此它是 空间 记为 中任一子空间是否一定可由一组向量生成了 对于有限维空间V 答案是肯定的 线性空间 5线性子空间 为V的一组基 阶矩阵 而 的秩 定理4设W是数域P上n维线性空间V的m维子空间 线性空间 5线性子空间 例4设V1 V2是线性空间V的两个非平凡子空间 证明 在 例5设V1 V2 Vs是线性空间V的s个非平凡子空间 证 明 在V中至少有一个向量不属于这s个子空间中的任何一个 例6设V1 V2 Vs是线性空间V的s个非平凡子空间 证 间中 线性空间 6子空间的交与和 6子空间的交与和 一 子空间的交与和的概念 定义8设V1 V2是数域P上线性空间V的两个子空间 V1与V2 的交表示既属于V1 又属于V2的向量的全体 记为 V1 V2 记为 V1 V2 即 定理5设V1 V2是数域P上线性空间V的两个子空间 则V1 V2 V1 V2都是V的子空间 即 线性空间 6子空间的交与和 两个子空间的交与和可以推广到有限多个子空间的情形 子空间的交与和适合下列运算规律 1 2 3 4 线性空间 6子空间的交与和 关于子空间的交与和有以下结论 1 设V1 V2 W是V的子空间 若W V1 W V2 则 W V1 V2 若W V1 W V2 则W V1 V2 2 对子空间V1 V2 以下三个结论是等价的 例1设V1 V2是线性空间V的子空间 如果V1 V2也是V的子 空间 则V1 V2或者V1 V2 a b c 线性空间 6子空间的交与和 二 子空间的交与和的维数 向量 则 定理7设V1 V2是有限维线性空间V的两个子空间 则有 推论如果n维线性空间V中的两个子空间V1 V2的维数之和 大于n 那么V1 V2必含有非零的公共向量 线性空间 6子空间的交与和 两个向量组都是线性无关的 则空间 的维数等于齐次线性方程组 的解空间的维数 例3已知 线性空间 7子空间的直和 7子空间的直和 一 直和的定义 定义9设V1 V2是数域P上线性空间V的两个子空间 如果 的分解式唯一 指的是 若 则 线性空间 7子空间的直和 二 直和的判定 定理8设V1 V2是数域P上线性空间V的两个子空间 则下面 四个命题等价 2 零向量的分