中考数学中的基本图形(在原有基础上完善).doc

中考数学题中的常见基本图形与典型例题1、O为ABC的外接圆，过点O的直线ODAB，那么1=22、以半圆O的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，那么CA=CD。(你知道什么原因吗？)【在同圆或等圆中，同角或等角所对的弧相等、弦相等】若AD=4，DB=6，那么AC的长为多少？在RtABC中，ACB=90，CDAB，满足这种条件的三角形称为母子三角形。在这种图形中，只要知道任意两条线段的长度，就可以求出其它所有线段的长度。3、1+2=34、看到这种图形，就要立刻想到ABECDE。5、如图所示，CD为O直径。DEAB，CFAB，垂足为E、F。点A、B、C、D在圆上。那么AE=BF （中点配中点，形成中位线）6、如图所示，四边形ABCD是邻边不相等的矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，AE与CD相交于点F。那么图中一眼就能看出的等腰三角形是谁？图中的等腰三角形有几个？图中有没有等腰梯形？例：如图所示，将矩形ABCD沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，且AD:DC=3:4，那么DE:AC= 【注意：对于折叠图形，当出题人没有画出折叠前的虚线时，要自己补齐，这非常有利于做题】7、四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，且E为AC中点，那么SABD=SCBD若AE:EC=1:3,那么SABD：SCBD=8、如图所示，在ABC中，D为BC上一点，连接AD，E为AD上一点，且AE:DE=m:n，那么9、如图所示，在AOB中，AO= ，A=15，B=30,AB=4，OKAB。你能快速求出OK、OB的长度吗？（注意：15度的角也是特殊角。记住：凡是15度的整数倍的角都是特殊角,温州的学子们，拿出你的计算器试一试）10、一线三角：在直线同侧有三个角，1、2、3，且2为直角，那么过点A、B分别作ACa，BDa，那么一定可以得出相似三角形；若AE=BE，那么还可以得出全等三角形。在坐标系中，若出现直角三角形或等腰直角三角形时，常见的辅助线如下图，以便形成一线三角，然后利用全等或相似。如图所示，在等腰直角三角形ABC中，ABC=90，A（0，2），B（-1，0），点C在第二象限。（1）你能很快求出C点坐标吗？（2）当将ABC绕点A旋转90后，你能很快求出B、C两点的坐标吗？提示：点C、C关于直线AB对称，又ABC=90，所以点B为线段CC的中点。四边形ABCB为正方形。因此可以根据中点坐标公式可以很快求出点C的坐标，然后再次根据中点坐标公式求出点B的坐标。如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A（-4，0），点C（0，5），点B（0，b）（b0），P是直线AB上的一个动点，作直线PDx轴，垂足为点D，连接PC、AC、OP。设点P的横坐标为a。（1）当直线AB经过点C时，求直线AB的解析式；（2）当a=3时，若OPAC，求b的值；若点C关于直线OP的对称点在直线PD上，求b的值；（3）当0b5时，是否同时存在a，b使ACP为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值，若不存在，请说明理由。略解：（1）依题意，设y=kx+b，将A（-4，0），C（0，5）代入得，解得，所以直线AB的解析式为：（2） 因为OPAC，所以设直线OP的解析式为，由于点P的横坐标为3，所以P（3，）所以直线AP的解析式为：，故B(0，)，则b= 易证四边形OCPC为菱形，则C(3，4)，那么P(3，9)，AP的解析式为：y=，则B(0，)，那么b=（3）当点P在第一象限时；当ACP=90，那么AC=PC过点C作x轴的平行线a，过点A、P作AFa，PGa，垂足为点F、G设点P（a，t），则G（a，5），由AFCCGP。FC=GP=5-t=4,则t=1AF=CG=a=5,直线AP的解析式：当APC=90，那么AP=CP,同理作辅助线。设点P（a，t），则K（a，5）AJ=PK，得a+4=5-t由勾股定理得，得a=, t=,直线AP的解析式：当点P在二、三象限时，不可能存在这样的等腰直角三角形综上所述：在等腰直角三角形ABC中，ACB=90,D、E分别为AB、CB上的点，且CDE=45,那么一定有两组三角形相似，你知道是哪两组吗？在等边三角形ABC中，ACB=60,D、E分别为AB、CB上的点，且CDE=60,那么一定有两组三角形相似，你知道是哪两组吗？如图所示，三角形ABC为等腰直角三角形，D、E为斜边所在直线上的两点，且DAE=135，那么哪三组三角形一定相似？如图6，在等边ABC中，D为AB边上一点，E为BC边上一点，且ADCEDB120，AD3，BE2，则ABC的边长为（ ）AA9B12C16D18如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若APD=60，则CD的长为（ ）A B C D1如图，已知正方形ABCD的边长为2，点E、F均在直线BD上，且EAF135，EB : DF1 : 2，下列结论：ABEFDA；AEF30；CF；四边形AECF的面积为10，其中正确结论的个数是（ ）DA1个 B2个 C3个 D4个ACBDEF11、如图所示，一张小长方形纸条ABCD沿着折痕EF折过之后所形成的三角形是什么三角形？折叠前的面积与折叠后的面积相比，有何差别？12、在矩形ABCD中，则矩形ABCD的面积为 13、角平分线与平行线，等腰三角形一定会出现。AD为CAB的平分线，且CDAB，那么图中一定有一等腰三角形。角平分线与等腰三角形，平行线一定会出现。如图所示，BE为ABD的平分线（注意：有时题中的角平分线不会给的这么直接），BD=BC，A、B、C三点共线，那么一定有BECD，你知道为什么吗？如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE将ADE沿AE对折至AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF下列结论：ABGAFG；BG=GC；AGCF；SFGC=3其中正确结论的个数是（） CA、1B、2C、3D、414、在ABC中，四边形DGHE为平行四边形，且D、G、H、E均在ABC的边上。EF平行AC交AB于点F。那么SADG=SFEHBCDFE图1A362问题背景（1）如图1，ABC中，DEBC分别交AB，AC于D，E两点，过点E作EFAB交BC于点F请按图示数据填空：四边形DBFE的面积 ，EFC的面积 ，ADE的面积 探究发现BCDGFE图2A（2）在（1）中，若，DE与BC间的距离为请证明拓展迁移（3）如图2，平行四边形DEFG的四个顶点在ABC的三边上，若ADG、DBE、GFC的面积分别为2、5、3，试利用（2）中的结论求ABC的面积解：（1），3分（2）证明：DEBC，EFAB，BCDGFE图2AH四边形DBFE为平行四边形，ADEEFC4分， 5分而， 6分（3）解：过点G作GHAB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形，四边形DEFG为平行四边形， DBEGHFGHC的面积为8分由（2）得，DBHG的面积为9分ABC的面积为10分15、点O为线段AB的中点，AC=a，CB=b，则OC=16、如图所示，D为线段CB的中点，那么如图所示，C是线段AB的中点，E是线段AD的中点，则CE=BD已知ABC中，AB=4，BC=6，ACAB，点D为AC边上一点，且DC=AB，E为BC边的中点，连结DE，设AD=x。（1）当DEBC时（如图1），求x的值；（2）设 ，求y关于x的函数关系式，并写出定义域；（3）取AD的中点M，联结EM并延长交BA的延长线于点P，以A为圆心AM为半径作A，试问：当AD的长改变时，点P与A的位置关系变化吗？若不变化，请说明具体的位置关系，并证明你的结论；若变化，请说明理由。17、双曲线中k的几何意义：过反比例函数图象上任一点P作x轴、y轴的垂线PM、PN，垂足为M、N则矩形PMON的面积S=PMPN=|y|x|=|xy|=|k|。双曲线上任一点横纵坐标的乘积等于k，这是双曲线中k的代数意义。解这类题最常作的辅助线就是构造三角形或矩形。如图，平行四边形AOBC中，对角线交于点E，双曲线y=kx（k0）经过A，E两点，若平行四边形AOBC的面积为18，则k= 6如图，双曲线 y=（x0）经过四边形OABC的顶点A、C，ABC=90，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，ABx轴将ABC沿AC翻折后得ABC，B点落在OA上，则四边形OABC的面积是 2解答：解：延长BC，交x轴于点D，设点C（x，y），AB=a，OC平分OA与x轴正半轴的夹角，CD=CB，OCDOCB，再由翻折的性质得，BC=BC，双曲线 y=（x0）经过四边形OABC的顶点A、C，SOCD=1=SOCB，ABx轴，点A（x-a，2y），2y（x-a）=2，ay=1，SABC=ay=，SOABC=SOCB+SABC+SABC=1+=2故答案为：218、如图所示，在坐标系中，正方形OABC中的O、A、C三点在坐标轴上，D为AB边的中点，E为对角线OB上一点，且CEDE。那么一定有CE=DE(看到垂直，立刻应想到这种常见的辅助线)19、如图所示，在坐标系中，正方形OABC中的O、A、C三点在坐标轴上，D为OA边上任意一点，过点O作OECD交AD边上的E点。那么一定有CODOAE如图，正方形ABCD的边长为2，点E是BC边的中点，过点B作BGAE，垂足为G，延长BG交AC于点F，则CF= 20、在平行四边形ABCD中，E为边CD上任意一点，那么 21、如图所示，等边三角形ABC的等长为2，点P在射线BA上，以PC为边向外作等边三角形PCE。图中一眼就能看出哪两个三角形全等？当三角形ACE为直角三角形时，求BP的长。（1或4）22、如图所示，在下列三角形中，BC=5，AC=3，你能求出AB的长度？23、如图所示，在三角形ABC中，A=30，B=15，DCBC交AB边于点D。你能看出DB与AC之间有着怎样的数量关系？(DB=2AC)24、如图所示，在RtABC中，B=90，C=22.5，AC=4，你能算出该直角三角形的面积吗？25、如图所示，在四边形ABCD中，B=D=90，那么一定有1=C，你知道为什么吗？26、对于下列三种三角形的各种线段、面积关系要牢记：BD:AB:BC=1:2BD:AD:AB=1:2=如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF.连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H.下列结论：AEDDFB；S四边形BCDG=CG2；若AF=2DF，则BG=6GF.其中正确的结论（ ）A. 只有.B.只有.C.只有.D.记住这个图形三边关系解：四边形ABCD为菱形，AB=ADAB=BD，ABD为等边三角形A=BDF=60又AE=DF，AD=BD，AEDDFB；延长FB到G，取BG=DG，连接CG，易证出 CDGCBG（SAS）DCG=BCG，CG=CG DCB=GCB+BCG=60，CGG为等边三角形S四边形BCDG=SCGG=CGCG= 过点F作FKAB交ED于点K又AF=2DFFK:AE=1:3FK：BE=1：6，则 FK：BE=1：6=FG：BG，即 BG=6GF27、对于三角形或直角梯形中，若有些角可以求出它的准确具体三角函数值时，这就要特别注意，这个角是否具备双重身份（即这个角同时在几个三角形中）。若具有双重身份，通常会给解题带来极大方便。当然在坐标系中，也同样如此，要特别注意直线的斜率（k）如图所示，在直角梯形ABCD中，AD平行BC，A=90度，点P从A点出发，向点B运动，每秒运动一个单位；点Q从D点出发，沿拆线DC、CB运动，每秒运动3个单位。两点同时出发，谁先到达终点，另一点也停止运动。AD=3，AB=4，BC=6。运动时间为t秒。（1）求CD的长（2）当点Q在CD上时，求四边形BPDQ的面积S与t之间的函数关系，并求出S的最大值。（3）连接BD，当运动时间t为何值时,线段PQ被BD平分？（4）当点t为何值时，将垂直BPD绕点D旋转，使点B与点C重合，这时点P也恰好在线段PC上？28、当出题人给出一个抛物线的图象时，我们一眼就能看出a、c的符号，即它们是大于0还是小于0，但却不能直接看出b的符号，这就要结合对称轴了。当对称轴在y轴的左侧时，a、b同号;当对称轴在y轴的右侧时，a、b就异号。已知：二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论中：abc0；2a+b0；a+bm（am+b）（m1的实数）；（a+c）2b2；a1其中正确的项是（）A、B、C、D、解：抛物线的开口向上，a0，与y轴的交点为在y轴的负半轴上，c0，对称轴为x=b2a0，a、b异号，即b0，又c0，abc0，故本选项正确；对称轴为1x=b2a0，a0，b2a，2a+b0；故本选项错误；当x=1时，y1=a+b+c；当x=m时，y2=m（am+b）+c，当m1，y2y1；当m1，y2y1，所以不能确定；故本选项错误；当x=1时，a+b+c=0；当x=1时，ab+c0；（a+b+c）（ab+c）=0，即（a+c）2b2=0；（a+c）2=b2 故本选项错误；当x=1时，ab+c=2；当x=1时，a+b+c=0，a+c=1，a=1+（c）1，即a1；故本选项正确；综上所述，正确的是故选A29、对于特殊直线、特殊点所形成的角度要特别当心，它有可能是解决该题的关键。如图所示，抛物线y=x2-4x+1，直线y=x+1相交于A、B两点，在横轴x上有一动点P（1）问PAB能否为直角三角形，若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由。（2）点P关于直线AB的对称点为P，点P能否在抛物线上，若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由。30、对于一个圆来说，它的直径为定值，某弦所对的圆周角为定值，那么该弦长就是定值。换句话来说，当弦所对的圆周角为定值，只有该圆的直径最短，该弦长就最短。如图，ABC中，BAC=60O，ABC=45O,AB=，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径则弦EF的最小值为 分析：只有当直径AD最短时，EF最短。连接EO并延长交于点G，连接FG,则G=60，Sin60=EF/EG，故EF=31、圆内有正方形，且有两个顶点在圆周上时，通常考虑用轴对称。如图甲，分别以两个彼此相邻的正方形OABC与CDEF的边OC、OA 所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（O、C、F三点在x轴正半轴上）若P过A、B、E三点（圆心在x轴上），抛物线y= 1/4x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为G，M是FG的中点，正方形CDEF的面积为1（1）求B点坐标；（2）求证：ME是P的切线；（3）设直线AC与抛物线对称轴交于N，Q点是此轴称轴上不与N点重合的一动点，求ACQ周长的最小值；若FQ=t，SACQ=S，直接写出S与t之间的函数关系式解：（1）如图甲，连接PE、PB，设PC=n，正方形CDEF的面积为1，CD=CF=1，根据圆和正方形的对称性知：OP=PC=n，BC=2PC=2n，而PB=PE，PB2=BC2+PC2=4n2+n2=5n2，PE2=PF2+EF2=（n+1）2+1，5n2=（n+1）2+1，解得：n=1或n= -1/2（舍去），BC=OC=2，B点坐标为（2，2）；（2）如图甲，由（1）知A（0，2），C（2，0），A，C在抛物线上，解得： c=2 b=-3/2，抛物线的解析式为：y= 1/4x2- 3/2x+2= 1/4（x-3）2- 1/4，抛物线的对称轴为x=3，即EF所在直线，C与G关于直线x=3对称，CF=FG=1，MF= 1/2FG= 1/2，在RtPEF与RtEMF中，EFM=EFP， FM/EF=1/2， EF/PF=1/2， FM/EF=EF/PF，PEFEMF，EPF=FEM，PEM=PEF+FEM=PEF+EPF=90，ME是P的切线；（3）如图乙，延长AB交抛物线于A，连CA交对称轴x=3于Q，连AQ，则有AQ=AQ，ACQ周长的最小值为AC+AC的长，A与A关于直线x=3对称，A（0，2），A（6，2），AC2=（6-2）2+22=20，而AC2=22+22=8，ACQ周长的最小值为；当Q点在F点上方时，S=t+1，当Q点在线段FN上时，S=1-t，当Q点在N点下方时，S=t-1如图，AB为半圆的直径，C是半圆弧上一点，正方形DEFG的一边DG在直径AB上，另一边DE过ABC的内切圆圆心O，且点E在半圆弧上 .若正方形的顶点F也在半圆弧上，则半圆的半径与正方形边长的比是_；若正方形DEFG的面积为100，且ABC的内切圆半径=4，则半圆的直径AB = _ .32、关于在三角形中垂直求取值范围的题目，常常可以考虑能否作辅助圆来解决如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）当点P从O向C运动时，点H也随之运动请直接写出点H所经过的路长（不必写解答过程）（总觉得有问题）图1 图2思路点拨1用含m的代数式表示表示APD的三边长，为解等腰三角形做好准备2探求APD是等腰三角形，分三种情况列方程求解3猜想点H的运动轨迹是一个难题不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？RtOHM的斜边长OM是定值，以OM为直径的圆过点H、C解析（1）因为PC/DB，所以因此PMDM，CPBD2m所以AD4m于是得到点D的坐标为(2，4m)（2）在APD中，当APAD时，解得（如图3）当PAPD时，解得（如图4）或（不合题意，舍去）当DADP时，解得（如图5）或（不合题意，舍去）综上所述，当APD为等腰三角形时，m的值为，或图3 图4 图5（3）点H所经过的路径长为考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中、用几何说理的方法，计算更简单：如图3，当APAD时，AM垂直平分PD，那么PCMMBA所以因此，如图4，当PAPD时，P在AD的垂直平分线上所以DA2PO因此解得第（2）题的思路是这样的：如图6，在RtOHM中，斜边OM为定值，因此以OM为直径的G经过点H，也就是说点H在圆弧上运动运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P与O重合时，是点H运动的起点，COH45，CGH90图6 图7如图，在RtABC中ABC是直角AB=3，BC=4P是BC边上的动点，设BP=若能在AC边上找到一点Q，使BQP=90，则的取值范围是_33、平行线中遇中点，不是配成中位线，就是全等会出现。平行四边形ABCD与平行四边形BEFG，A、B、E三点共线，连接DF，H为DF中点，连接CH。我们立刻可得出H为JG的中点,DJHFGH，而且还可得出CHJG。34、在矩形ABCD中，E、F为AB、CD的中点，G为线段EF上任意一点，则SAGD=S矩形ABCD如图所示：两个同心圆，半径分别是2和4，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是多少？ 16+12 35、关于两等腰三角形相似的问题两等腰三角形只要有一组顶角相等或一组底角相等，那么这两个三角形就相似。如图，在梯形ABCD中，ADBC，AD=DC=，AB=AC=，E、F分别是BC和AD的中点，则EF的长为多少？36、两个等腰直角三角形有一个公共点的特性如图所示，在等腰RtABC和等腰RtECD中，一定有BCEACD，而且BEAD【名题欣赏】1、如图所示，在等腰直角三角形ABC中，BC=AC=10，点D在线段AC上，点E在BC延长线上，且EC=CD=6，将三角形ECD绕点C逆时针旋转60度后得到三角形ECD。连接BE和AD，过C做BE的垂线分别交BE、AD于M、N两点，求MN的长?如图所示，在等腰直角三角形ABC中，BC=AC=10，点D在线段AC上，点E在BC延长线上，且EC=CD=6，将三角形ECD绕点C顺时针旋转60度后得到三角形ECD。连接BE和AD，过C做BE的垂线分别交BE、AD于M、N两点，求MN的长。I2、直线分别交x轴、y轴于A、B两点，AOB绕点O按逆时针方向旋转90后得到COD，抛物线yax2bxc经过A、C、D三点(1) 写出点A、B、C、D的坐标；(2) 求经过A、C、D三点的抛物线表达式，并求抛物线顶点G的坐标；(3) 在直线BG上是否存在点Q，使得以点A、B、Q为顶点的三角形与COD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由思路点拨1图形在旋转过程中，对应线段相等，对应角相等，对应线段的夹角等于旋转角2用待定系数法求抛物线的解析式，用配方法求顶点坐标3第（3）题判断ABQ90是解题的前提4ABQ与COD相似，按照直角边的比分两种情况，每种情况又按照点Q与点B的位置关系分上下两种情形，点Q共有4个满分解答（1）A(3，0)，B(0，1)，C(0，3)，D(1，0)（2）因为抛物线yax2bxc经过A(3，0)、C(0，3)、D(1，0) 三点，所以 解得 所以抛物线的解析式为yx22x3(x1)24，顶点G的坐标为(1，4)（3）如图2，直线BG的解析式为y3x1，直线CD的解析式为y3x3，因此CD/BG因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以ABCD因此ABBG，即ABQ90因为点Q在直线BG上，设点Q的坐标为(x，3x1)，那么RtCOD的两条直角边的比为13，如果RtABQ与RtCOD相似，存在两种情况：当时，解得所以，当时，解得所以， 图2 图3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明ABBG；二是我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GHy轴，QNy轴，垂足分别为H、N通过证明AOBBHG，根据全等三角形的对应角相等，可以证明ABG90在RtBGH中，当时，在RtBQN中，当Q在B上方时，；当Q在B下方时，当时，同理得到，3、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与交于点A，分别交x轴于点B和点C，点D是直线AC上的一个动点（1）求点A、B、C的坐标（2）当CBD为等腰三角形时，求点的坐标（3）在直线AB上是否存在点E，使得以点E、D、O、A为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出的值；如果不存在，请说明理由解析：（1）在中，当时，所以点的坐标为在中，当时，所以点的坐标为（4，0）解方程组 得，所以点的坐标为（2）CBD为等腰三角形，线段CB为其中的一条边，这时以CB为腰时，以点B为圆心，以BC为半径画圆，就可找到交点D；以点C为圆习，以BC为半径画圆，就可找到交点D；以BC为底，作BC的中垂线，就可以找到交点D。（这种题目都按照这样做，绝不会出问题）因为点D在直线上，设点D的坐标为当CBD为等腰三角形时，有以下三种情况：如图2，当DBDC时，设底边BC上的高为DM在RtCDM中，所以，（充分利用直线的斜率k=-）这时点D的坐标为如图3，当CDCB5时，点D恰好落在y轴上，此时点D的坐标为（0，3）根据对称性，点D关于点C对称的点D的坐标为（8，3）(以C为圆心，CB半径画圆得交点)。如图4，当BCBD时，设BC、DC边上的高分别为DM、BN在RtBCN中，BC5，所以CN4，因此DC8在RtDCM中，DC8，所以，这时点D的坐标为(以B为圆心，CB半径画圆得交点)综上所述，当CBD为等腰三角形时，点D的坐标为、（0，3）、（8，3）或 图2 图3 图4（3）如图5，以点E、D、O、A为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情形：当四边形AEOD为平行四边形时，图5当四边形ADEO为平行四边形时，当四边形AODE为平行四边形时，4、已知，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0)，点C的坐标为，直线与边BC相交于点D(1)求点D的坐标；(2)抛物线经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；(3)在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由图1解析： (1)因为BC/x轴，点D在BC上，C(0,2)，所以点D的纵坐标为2把y2代入，求得x3所以点D的坐标为(3,2)(2)由于抛物线与x轴交于点O、A(4,0)，设抛物线的解析式为yax(x4)，代入D (3,2)，得所求的二次函数解析式为(3) 设点M的坐标为如图2，当OM/DA时，作MNx轴，DQx轴，垂足分别为N、Q由tanMONtanDAQ，得因为x0时点M与O重合，因此，解得x7此时点M的坐标为（7，14）如图3，当AM/OD时，由tanMANtanDOQ，得因为x4时点M与A重合，因此，解得x1此时点M的坐标为如图4，当DM/OA时，点M与点D关于抛物线的对称轴对称，此时点M的坐标为（1，2） 图2 图3 图4第（3）题的、用几何法进行计算，依据是两直线平行，内错角的正切相等如果用代数法进行，计算过程比较麻烦以为例，先求出直线AD的解析式，再求出直线OM的解析式，最后解由直线OM和抛物线的解析式组成的二元二次方程组（说得非常好）5、已知平面直角坐标系xOy（如图1），一次函数的图像与y轴交于点A，点M在正比例函数的图像上，且MOMA二次函数yx2bxc的图像经过点A、M（1）求线段AM的长；（2）求这个二次函数的解析式；（3）如果点B在y轴上，且位于点A下方，点C在上述二次函数的图像上，点D在一次函数的图像上，且四边形ABCD是菱形，求点C的坐标解析：（1）当x0时，所以点A的坐标为(0，3)，OA3如图2，因为MOMA，所以点M在OA的垂直平分线上，点M的纵坐标为将代入，得x1所以点M的坐标为因此（2）因为抛物线yx2bxc经过A(0，3)、M，所以解得，所以二次函数的解析式为（3）如图3，设四边形ABCD为菱形，过点A作AECD，垂足为E在RtADE中，设AE4m，DE3m，那么AD5m（充分利用斜率k=-）因此点C的坐标可以表示为(4m，32m)将点C(4m，32m)代入，得解得或者m0（舍去）因此点C的坐标为（2，2） 图2 图3如果第（3）题中，把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”，那么还存在另一种情况：如图4，点C的坐标为解析如下：设B（0，m），则AB的中点坐标（0，），则点D的坐标极易求出，由此得出点D的坐标，代入抛物线即可易求出。设AD=5m，则AB的一半为3m，B（0，3-6m）,那么D（-4m，3-3m），则C(4m，3-3m)，代入抛物线即可易求出。 图4 6、如图1，已知一次函数yx7与正比例函数 的图象交于点A，且与x轴交于点B（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作ACy轴于点C，过点B作直线l/y轴动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？图1是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由 思路点拨1把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题（说得非常好）2求APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能3讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况满分解答（1）解方程组 得 所以点A的坐标是(3，4)令，得所以点B的坐标是(7，0)（2）如图2，当P在OC上运动时，0t4由，得整理，得解得t2或t6（舍去）如图3，当P在CA上运动时，APR的最大面积为6因此，当t2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8图2 图3 图4我们先讨论P在OC上运动时的情形，0t4如图1，在AOB中，B45，AOB45，OB7，所以OBAB因此OABAOBB如图4，点P由O向C运动的过程中，OPBRRQ，所以PQ/x轴因此AQP45保持不变，PAQ越来越大，所以只存在APQAQP的情况此时点A在PQ的垂直平分线上，OR2CA6所以BR1，t1我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4t7在APQ中， 为定值，如图5，当APAQ时，解方程，得如图6，当QPQA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP2(ORCP)解方程，得（充分利用等腰三角形的三线合一的特性）如7，当PAPQ时，那么因此解方程，得综上所述，t1或或5或时，APQ是等腰三角形 图5 图6 图77、如图1，ABC中，AB5，AC3，cosAD为射线BA上的点（点D不与点B重合），作DE/BC交射线CA于点E.(1) 若CEx，BDy，求y与x的函数关系式，并写出函数的定义域；(2) 当分别以线段BD，CE为直径的两圆相切时，求DE的长度；(3) 当点D在AB边上时，BC边上是否存在点F，使ABC与