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文档简介

2020 3 22 解析几何 第二章轨迹与方程 一 曲线的方程 二 曲线的参数方程 三 常见曲线的参数方程 2 1平面曲线的方程 定义2 1 1当平面上取定了坐标系之后 如果一个方程与一条曲线之间有着关系 满足方程的必是曲线上某一点的坐标 曲线上任何一点的坐标满足这个方程 那么这个方程就叫做这条曲线的方程 equationofacurve 这条曲线叫做这个方程的图形 概括言之 曲线上的点和方程之间存在着一一对应的关系 一 曲线的方程 例1求圆心在原点 半径为R的圆的方程 例2已知两点和 求满足条件的动点的轨迹方程 定义2 1 2若取的一切可能取值 由表示的向径的终点总在一条曲线上 在这条曲线上的任意点 总对应着以它为终点的向径 而这向径可由的某一值通过完全决定 那么就把叫做曲线的向量式参数方程 其中为参数 其坐标式参数方程为 二 曲线的参数方程 该定点的轨迹称为旋轮线或摆线 cycloid 例3一个圆在一直线上无滑动地滚动 求圆上一定点的轨迹 一个半径为r的小圆在半径为R的大圆内无滑动地滚动 小圆周上一定点P的运动轨迹称为内摆线 hypocycloid 例4已知大圆半径为a 小圆半径为b 设大圆不动 而小圆在大圆内无滑动地滚动 求动圆周上某一定点P的轨迹方程 三 常见曲线的参数方程 圆的内摆线 四尖点星型线 2 一个半径为r的小圆在半径为R的大圆外无滑动地滚动 小圆周上一个定点P的运动轨迹称为外摆线 epicycloid 参数方程为 特别地 当R r时 得到心脏线 参数方程为 3 把线绕在一个固定的圆周上 将线头拉紧后向反方向旋转 以把线从圆周上解放出来 使放出来的部分成为圆的切线 则线头的轨迹所形成的曲线叫做圆的渐伸线或切展线 involute 4 椭圆的参数方程设椭圆的方程为 第一种参数方程以角度为参数 第二种参数方程以斜率为参数 2020 3 22 空间曲线的参数方程 空间曲线的参数方程 空间曲线的参数方程 2020 3 22 动点从A点出发 经过t时间 运动到M点 螺旋线的参数方程 取时间t为参数 解 2020 3 22 螺旋线的参数方程还可以写为 螺旋线的重要性质 上升的高度与转过的角度成正比 即 上升的高度 螺距 2020 3 22 有一质点 沿着已知圆锥面的一条直母线自圆锥的顶点起 作等速直线运动 另一方面这一条母线在圆锥面上 过圆
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