随机过程2(2.1).ppt

第二章Brown运动 本章主要内容 Brown运动的定义及性质Brown运动有关的随机过程Brown运动的仿真 Brown运动的背景介绍 1827年英国植物学家发现布朗运动 1905年由爱因斯坦基于物理定律导出这个现象的数学描述 相比之下数学上的描述比较慢 因为准确地数学描述这个模型非常困难 1900年巴舍利耶在他的博士论文中推测到布朗运动的一些结果 1918年Wiener在博士论文以及后来的文章中给出该理论简明的数学公式 此后该课题得到了巨大的发展 被一些列的物理学家完善 布朗运动解释为随机游动的极限 W t 表示质点在时刻t的位置 则W t 也表示质点直到t所作的位移 因此在时间 s t 内 它所做的位移是W t W s 由于在时间 s t 内质点受到周围分子的大量碰撞 每次碰撞都产生一个小的位移 故W t W s 是大量小位移的和 由中心极限定理它服从正态分布 介质处于平衡状态 因此质点在一小区间上位移的统计规律只与区间长度有关 而与开始观察的时刻无关 由于分子运动的独立性和无规则性 认为质点在不同时间内受到的碰撞是独立的 故所产生的位移也是独立的 Brownmotion 称实S P W t t 0 是Wiener过程 如果 是相互独立的随机变量 的 也称为标准 运动 随机过程 具有连续的样本轨道 二 布朗运动的定义 Wiener过程 称实S P W t t 0 是参数为 2的Wiener过程 如果 是平稳的独立增量过程 一 直线上的随机游动 设一粒子在直线上随机游动 即粒子每隔 t时间 等概率地向左或向右移动 x的距离 以X t 表示时刻t粒子的位置 则 其中 如果步长为 x的第i步向右 如果步长为 x的第i步向左 且Xi相互独立 布朗运动定义的来源 因为 所以 当时 应有 一维Brown运动可看作质点在直线上作简单随机游动的极限 三Brown运动的数字特征 定理 设 W t t 0 是参数为 2的Wiener过程 则 证明 1 由定义 显然成立 2 由 1 易知有 对s 0 t 0 不妨设s t 则 例1 SBM是正态过程 证明 设 W t t 0 是参数为1的Wiener过程 则对任意的n 1 以及任意的 W t1 W t2 W tn 是n维随机变量 由Wiener过程的定义知 相互独立 所以 是n维正态随机变量 又由于 所以 是n维正态变量 所以 W t t 0 是正态过程 的联合密度函数为 其中 这是因为在W t1 x1的条件下 W t2 的条件密度函数为 由此可以看出服从n维正态分布 例2 求布朗运动W t 的联合概率密度 解 设W t 是标准布朗运动 对任意的t1 t2 tn 有 W t2 W t1 与W t1 独立 即 所以 例3 写出SBM的n维特征函数 解 不是一般性 假设 定义增量 因此 是相互独立且 由于 故 四 Brown运动的性质 1 对称性 W也是一个标准Brown运动 2 自相似性 对任意的常数a 0和固定的时间指标t 0 有W at a1 2W t 3 时间可逆性B t W T W T t 则B B t 0 t T 也是一个标准Brown运动 对称性的证明 显然 W 0 0 是相互独立的随机变量 上式表明 给定初始条件W t0 x0 对于任意的t 0 布朗运动在t0 t时刻的位置高于或低于初始位置的概率相等 这种性质称为布朗运动的对称性 布朗运动W t 的对称性 在W t0 x0的条件下 W t0 t 的条件密度函数为 令 自相似性证明 要证X服从正态分布 时间可逆性证明 显然B 0 W T W T 0 0 即 是相互独立的随机变量 4 平移不变性 B t W t a W a t 0 a是常数 则B t 是BM 5 尺度不变性 是标准BM 6 马氏性 布朗运动是马氏过程 因为布朗运动是独立增量过程 所以 W t s W s 与过程在时刻s之前的值独立 例5设 W t t 0 是标准布朗运动 求E W 2 W 3 E W 2 W 3 E W 2 W 4 W 3 解 1 2 3 7 布朗运动的轨道在任何区间上都不是单调的 8 布朗运动的轨道在任何点都不是可微的 9 布朗运动的轨道在任何区间上都是无限变差的 10 对于任意的t 布朗运动在 0 t 上的二次变差等于t 二次变差的定义 定义 设函数f t 在 0 T 上有定义 在 0 T 上定义一个剖分 则相应于剖分 f t 的二次变差定义为 二次变差函数是随机微积分中最基本的定义之一 是伊藤积分等的研究对象和分析工具 对现代分析数学和金融数学产生了深远的影响 性质8 Brown运动样本轨道的不可微性 例6设W t 是布朗运动 求W 1 W 2 W 3 W 4 的分布 解令 则X是多元正态分布 具有零均值 协方差矩阵为 令 则 而 所以 补充 布朗运动的首达时与最大值 最大值与首中时的分布特性 关键的结论 一 首中时及其分布设 B t t 0 为标准布朗运动 B 0 0 令Ta inf t t 0 B t a 则Ta表示首次击中a的时刻 首中时 下面求Ta的分布函数P Ta t 由全概公式有 三 首中时 最大值变量及反正弦律 显然 又由布朗运动的对称性知 在 Ta t 的条件下 即B Ta a时 B t a 与 B t a 是等可能的 即 于是当a 0时 有 推论1 P Ta 1 布朗运动的常返性 推论2 ETa 布朗运动的零常返性 推论3 由布朗运动的对称性 有T a与Ta有相同的分布 即P T a t P Ta t 所以 对任意的a有 由推论1和推论2知 布朗运动以概率1迟早会击中a 但它的平均时间却是无穷的 并且布朗运动从任何一点出发击中a的概率都是1 性质P Ta 1称为布朗运动的常返性 二 最大值及其分布 称为布朗运动在 0 t 中的最大值 利用 可得 类似地可得到布朗运动在 0 t 中的最小值 的分布 三 反正弦律对任意的t1 t2 记事件0 t1 t2 至少有一个t t1 t2 使得B t 0 在 t1 t2 内 B t 0至