第1章数字电路基础.ppt

第一章数码和码制 内容提要 本章首先介绍有关数制和码制的一些基本概念和术语 然后给出数字电路中常用的数制和编码 此外 还将具体讲述不同数制之间的转化方法 2020 3 22 1 本章内容 1 1概述1 2几种常用的数制1 3不同数制间的转换1 5几种常用的编码 2020 3 22 2 数字技术是一门应用学科 它的发展可分为5个阶段 产生 20世纪30年代在通讯技术 电报 电话 首先引入二进制的信息存储技术 而在1847年由英国科学家乔治 布尔 GeorgeBoole 创立布尔代数 在电子电路中得到了应用 形成开关代数 并有一套完整的数字逻辑电路的分析和设计方法 1 数字技术的发展过程 1 1概述 2020 3 22 3 初级阶段 20世纪40年代电子计算机中的应用 此时以电子管 真空管 作为基本器件 另外在电话交换和数字通讯方面也有应用 电子管 真空管 2020 3 22 4 ENIAC 30吨 170m2 18000电子管 6000开关 7000电阻 10000电容 5000次加法 秒 第二阶段 20世纪60年代晶体管的出现 使得数字技术有一个飞跃发展 除了计算机 通讯领域应用外 在其它如测量领域得到应用 晶体管图片 2020 3 22 5 第四阶段 20世纪70年代中期到80年代中期 微电子技术的发展 使得数字技术得到迅猛的发展 产生了大规模和超大规模的集成数字芯片 应用在各行各业和我们的日常生活 第三阶段 20世纪70年代中期集成电路的出现 使得数字技术有了更广泛的应用 在各行各业医疗 雷达 卫星等领域都得到应用 2020 3 22 6 20世纪80年代中期以后 产生一些专用和通用的集成芯片 以及一些可编程的数字芯片 并且制作技术日益成熟 使得数字电路的设计模块化和可编程的特点 提高了设备的性能 适用性 并降低成本 这是数字电路今后发展的趋势 2020 3 22 7 2020 3 22 8 模拟信号 连续性 数字信号 离散性 模拟信号在时间和数值上都是连续的 典型的波形为正弦波 数字信号在时间和数值上都是离散的 具有双值性 典型波形为方波 u Umsinwt 只有两种取值 即0和1 2 模拟信号与数字信号 信号可分为模拟信号和数字信号 数字信号是用数码表示的 其数码中只有 1 和 0 两个数字 而 1 和 0 没有数量的意义 表示事物的两个对立面 数码可以表示数字信号的大小和状态 如1001可表示数量 9 也可以表示某个事物的代号 如运动员的编号 这时将这些数码称为代码 数码的编写形式是多样的 其遵循的原则称为码制 码制的编写不受限制 但有一些通用的码制 如十进制 二进制 八进制和十六进制等等 下面就介绍这几种常用的码制 2020 3 22 9 1 2几种常用的数制 数制 就是数的表示方法 把多位数码中每一位的构成方法以及按从低位到高位的进位规则进行计数称为进位计数制 简称数制 最常用的是十进制 除此之外在数字电路和计算机中常用的是二进制 八进制和十六进制 一 十进制 进位规则是 逢十进一 2020 3 22 10 例如 249 56 10 2 102 4 101 9 100 5 10 1 6 10 2 其中 ki 称为数制的系数 表示第i位的系数 十进制ki的取值为0 9十个数 i取值从 n 1 0的所有正整数到 1 m的所有负整数 10i 表示第i位的权值 10为基数 即采用数码的个数 n m 为正整数 n为整数部分的位数 m为小数部分的位数 2020 3 22 11 任意一个n位整数 m位小数的十进制可表示为 例如 249 56 10 2 102 4 101 9 100 5 10 1 2 10 2 其中n 3 m 2 若用N表示任意进制 称为N进制 的基数 则展成十进制数的通式为 如N 10为十进制 N 2为二进制 N 8为八进制 N 16为十六进制 其中N为基数 ki为第i位的系数 Ni表示第i位的权值 2020 3 22 12 2020 3 22 13 十进制数人们最熟悉 但机器实现起来困难 因为构成计数电路的基本思路是把电路的状态与数码对应起来 而十进制的十个数码 必须由十个不同的而且能严格区分的电路状态与之对应 这样将在技术上带来许多困难 而且也不经济 因此在计数电路中一般不直接采用十进制 二 二进制 如 11011 101 2 1 24 1 23 0 22 1 21 1 20 1 2 1 0 2 2 1 2 3 27 625 10 进位规则是 逢二进一 2020 3 22 14 一个数码的进制表示 可用下标 如 N 2表示二进制 N 10表示十进制 N 8表示八进制 N 16表示十六进制 有时也用字母做下标 如 N B表示二进制 B Binary N D表示十进制 D Decimal N O表示八进制 O Octal N H表示十六进制 H Hexadecimal 三 八进制 进位规则是 逢八进一 其基数为8 如 13 74 8 1 81 3 80 7 8 1 4 8 2 11 9375 10 2020 3 22 15 四 十六进制 进位规则是 逢十六进一 其基数为16 ki 取值有16个数码 0 9 A 10 B 11 C 12 D 13 E 14 F 15 如 F9 1A 16 15 161 9 160 1 16 1 10 16 2 249 1015625 10 2020 3 22 16 表1 2 1 表1 2 1为0 15个数码的不同进制表示 2020 3 22 17 1 3不同数制间的转换 一 二进制数 八进制数和十六进制数转换成十进制数 数制转换 不同进制的数码之间的转换叫做数制转换 例如 即将二进制数 八进制数和十六进制数转换成十进制数 方法是将二进制数 八进制数和十六进制数按下列公式进行展开即可 2020 3 22 18 a 十进制的整数转换 二 十进制数转换成二进制数 将十进制的整数部分用基数2去除 保留余数 再用商除2 依次下去 直到商为0为止 其余数即为对应的二进制数的整数部分 即将十进制数转换成二进制数 原则是 整数除2 小数乘2 2020 3 22 19 b 十进制的小数转换 将小数用基数2去乘 保留积的整数 再用积的小数继续乘2 依次下去 直到乘积是0为或达到要求的精度 其积的整数部分即为对应的二进制数的小数部分 例1 3 1将 173 39 D转化成二进制数 要求精度为1 a 整数部分 解 其过程如下 即 173 D 10101101 B 2020 3 22 20 b 小数部分 取m 7满足要求 过程如下 即 0 39 D 0 0110001 B 故 173 39 D 10101101 0110001 B 2020 3 22 21 三 二进制转换成八进制和十六进制 方法 由于3位二进制数可以有8个状态 000 111 正好是8进制 而4位二进制数可以有16个状态 0000 1111 正好是16进制 故可以把二进制数进行分组 八进制 三位分为一组 不够补零 十六进制 四位分为一组 不够补零 依此类推 对于十进制转换成其它进制 只要把基数2换成其它进制的基数即可 注 若将八进制或十六进制转换成二进制 即按三位或四位转成二进制数展开即可 2020 3 22 22 解 1011110 1011001 B 001011110 101100100 2 136 544 O 1011110 1011001 B 01011110 10110010 2 5E B2 H 例1 3 2将 1011110 1011001 2转换成八进制和十六进制 解 例1 3 3将 703 65 O和 9F12 04A H转换成二进制数 703 65 O 111000011 110101 B 9F12 04A H 1001111100010010 00000100101 B 2020 3 22 23 例1 3 4将 87 D转换成八进制数和十六进制数 解 先将87转化成二进制 过程如图 则 87 D 1010111 B 001010111 B 01010111 B 127 O 57 H 提醒 若要将十进制转换成八进制或十六进制 可先转换成二进制 再分组 转换成八进制或十六进制 2020 3 22 24 1 4二进制的算术运算 1 4 1 二进制算术运算的特点 当两个二进制数码表示两个数量的大小 并且这两个数进行数值运算 这种运算称为算术运算 其规则是 逢二进一 借一当二 算术运算包括 加减乘除 但减 乘 除最终都可以化为带符号的加法运算 如两个数1001和0101的算术运算如下 2020 3 22 25 1 4 2反码 补码和补码运算 在用二进制数码表示一个数值时 其正负是怎么区别的呢 二进制数的正负数值的表述是在二进制数码前加一位符号位 用 0 表示正数 用 1 表示负数 这种带符号位的二进制数码称为原码 一 原码 例如 17的原码为010001 17的原码为110001 二 反码 反码是为了在求补码时不做减法运算 二进制的反码求法是 正数的反码与原码相同 负数的原码除了符号位外的数值部分按位取反 即 1 改为 0 0 改为 1 2020 3 22 26 例如 7和 7的原码和补码为 7的原码为0111 反码为0111 7的原码为1111 反码为1000 注 0的反码有两种表示 0的反码为0000 0的反码为1111 三 补码 1 模 模数 的概念 把一个事物的循环周期的长度 叫做这个事件的模或模数 当做二进制减法时 可利用补码将减法运算转换成加法运算 在讲补码之前先介绍模 或模数 的概念 2020 3 22 27 钟表是以12为一循环计数的 故模数为12 以表为例来介绍补码运算的原理 对于图1 4 1所示的钟表 当在5点时发现表停在10点 若想拨回有两种方法 a 逆时针拨5个格 即10 5 5 这是做减法 b 顺时针拨七个格 即10 7 17 由于模是12 故相当于进位12 也是17 12 5 这是做加法 2020 3 22 28 由此可见10 7和10 5的效果是一样的 而5 7 12 将故7称为 5的补数 即补码 也可以说减法可以由补码的加法来代替 2 补码的表示 正数的补码和原码相同 负数的补码是符号位为 1 数值位按位取反加 1 即 反码加1 例如 2020 3 22 29 例1 4 1用二进制补码计算 75 28 75 28 75 28 75 28 75 D 01001011 B 28 D 00011100 B 75 D 11001011 B 28 D 10011100 B 原码 75 D 10110101 B 28 D 11100100 B 解 先求两个数的二进制原码和补码 用8位代码 补码 2020 3 22 30 溢出 溢出 注意 P 12 2020 3 22 31 用4位二进制代码表示十进制的0 9个数码 即二 十进制的编码 4位二进制代码可以有0000 1111十六个状态 则表示0 9十个状态可以有多种编码形式 其中常用的有8421码 余3码 2421码 5211码 余3循环码等 其中8421码 2421码 5211码为有权码 即每一位的1都代表固定的值 表1 5 1为几种编码形式 1 5二进制编码 2020 3 22 32 表1 5 1 2020 3 22 33 循环码 也叫格雷码 它是无权码 每位代码无固定权值 其组成是格雷码的最低位是0110循环 第二位是00111100循环 第三位是0000111111110000循环 以此类推可以得到多位数的格雷码 格雷码的特点是任何相邻的两个码组中 仅有一位代码不同 抗干扰能力强 主要用在计数器中 自然码 有权码 每位代码都有固定权值 结构形式与二进制数完全相同 最大计数为2n 1 n为二进制数的位数 2020 3 22 34 第二章逻辑代数基础 内容提要 本章介绍分析数字逻辑功能的数学方法 首先介绍逻辑代数的基本运算 常用公式和基本定理 然后介绍逻辑代数及其表示方法 逻辑函数的化简 重点掌握卡诺图化简逻辑函数 2020 3 22 35 本章的内容 2 1概述2 2逻辑代数中的三种基本运算2 3逻辑代数的基本公式和常用公式2 4逻辑代数的基本定理2 5逻辑函数及其表示方法2 6逻辑函数的化简方法2 7具有无关项的逻辑函数及其化简 2020 3 22 36 2 1概述 在数字电路中 1位二进制数码 0 和 1 不仅可以表示数量的大小 也可以表示事物的两种不同的逻辑状态 如电平的高低 开关的闭合和断开 电机的起动和停止 电灯的亮和灭等 这种只有两种对立逻辑状态的逻辑关系 称为二值逻辑 当二进制数码 0 和 1 表示二值逻辑 并按某种因果关系进行运算时 称为逻辑运算 最基本的三种逻辑运算为 与 或 非 它与算术运算的本质区别是 0 和 1 没有数量的意义 2020 3 22 37 注意 1 逻辑代数和普通数学代数的运算相似 如有交换律 结合律 分配律 而且逻辑代数中也用字母表示变量 叫逻辑变量 2 逻辑代数和普通数学代数有本质区别 普通数学代数中的变量取值可以是正数 负数 有理数和无理数 是进行十进制 0 9 数值运算 而逻辑代数中变量的取值只有两个 0 和 1 并且 0 和 1 没有数值意义 它只是表示事物的两种逻辑状态 2020 3 22 38 2 2逻辑代数中的三种基本运算 在二值逻辑函数中 最基本的逻辑运算有与 AND 或 OR 非 NOT 三种逻辑运算 2 2 1与运算 与运算也叫逻辑乘或逻辑与 即当所有的条件都满足时 事件才会发生 即 缺一不可 如图2 2 1所示电路 两个串联的开关控制一盏灯就是与逻辑事例 只有开关A B同时闭合时灯才会亮 2020 3 22 39 从表中可知 其逻辑规律服从 有0出0 全1才出1 这种与逻辑可以写成下面的表达式 称为与逻辑式 这种运算称为与运算 逻辑真值表就是采用一种表格来表示逻辑函数的运算关系 其中输入部分列出输入逻辑变量的所有可能取值的组合 输出部分根据逻辑函数得到相应的输出逻辑变量值 2020 3 22 40 2 2 2或运算 或运算也叫逻辑加或逻辑或 即当其中一个条件满足时 事件就会发生 即 有一即可 若有n个逻辑变量做与运算 其逻辑式可表示为 2020 3 22 41 有1出1 全0才出0 其逻辑式为 上式说明 当逻辑变量A B有一个为1时 逻辑函数输出Y就为1 只有A B全为0 Y才为0 2020 3 22 42 若有n个逻辑变量做或运算 其逻辑式可表示为 2 2 3非逻辑运算 条件具备时 事件不发生 条件不具备时 事件发生 这种因果关系叫做逻辑非 也称逻辑求反 2020 3 22 43 非逻辑运算也叫逻辑非 非运算 反相运算 即输出变量是输入变量的相反状态 其逻辑式为 注 上式也可写成 2020 3 22 44 2 2 4与非 NAND 逻辑运算 与非运算是先与运算后非运算的组合 以二变量为例 布尔代数表达式为 2020 3 22 45 2 2 5或非 NOR 运算 或非运算是先或运算后非运算的组合 以二变量A B为例 布尔代数表达式为 2020 3 22 46 2020 3 22 47 与或非运算是 先与后或再非 三种运算的组合 以四变量为例 逻辑表达式为 2 2 6与或非运算 2020 3 22 48 其门电路的逻辑符号 其布尔表达式 逻辑函数式 为 2 2 7异或运算 符号 表示异或运算 即两个输入逻辑变量取值不同时Y 1 即不同为 1 相同为 0 异或运算用异或门电路来实现 其真值表如表2 2 6所示 2020 3 22 49 2 2 8 同或运算 其布尔表达式为 符号 表示同或运算 即两个输入变量值相同时Y 1 即相同为 1 不同为 0 同或运算用同或门电路来实现 它等价于异或门输出加非门 其真值表如表2 2 7所示 其门电路的逻辑符号如图2 2 11所示 2020 3 22 50 2 3逻辑代数的基本公式和常用公式 2 3 1基本公式 表2 3 1逻辑代数的基本公式 2020 3 22 51 2 交换律 结合律 分配律 a 交换律 AB BAA B B A b 结合律 A BC AB CA B C A B C c 分配律 A B C AB ACA BC A B A C 1 关于变量与常数关系的定理 说明 2020 3 22 52 a 互补律 b 重叠律 A A AA A A c 非非律 d 吸收律 A AB AA A B A e 摩根定律 注 以上定律均可由真值表验证 3 逻辑函数独有的基本定理 2020 3 22 53 2 3 2若干常用公式 表2 3 2为常用的一些公式 表2 3 2常用公式 2020 3 22 54 说明 1 A AB A 在两个乘积项相加时 如果其中一项包含另一项 则这一项是多余的 可以删掉 2 A A B A B 在两个乘积项相加时 如果其中一项含有另一项的取反因子 则此取反因子多余的 可从该项中删除 3 AB AB A 4 A A B A 2020 3 22 55 5 AB A C BC AB A C 在三个乘积项相加时 如果前两项中的一个因子互为反 那么剩余的因子组成的另一项则是多余的 可以删掉 公式AB A C BCD AB A C的原理和上述相同 证明 6 A AB AB 证明 7 A AB A 证明 以上的公式比较常用 应该能熟用 为以后逻辑函数的化简打好基础 2020 3 22 56 2 4逻辑代数的基本定理 2 4 1代入定理 内容 任何一个含有变量A的等式 如果将所有出现A的位置都用同一个逻辑函数G来替换 则等式仍然成立 利用代入定理可以证明一些公式 也可以将前面的两变量常用公式推广成多变量的公式 2020 3 22 57 证明 方程的左边有A的地方代入G得 B A十D 十C B A十D 十BC BA十BD十BC 方程的右边有A的地方代入G得 B A十D 十BC BA十BD十BC 故B A十D 十C B A十D 十BC 例2 4 1若B A十C BA十BC 现将所有出现A的地方都代入函数G A十D 则证明等式仍成立 2020 3 22 58 证明 设G BC 代入公式左右的B中 同理设G B C代入式子左右的B 例2 4 2用代入规则证明摩根定律适用多变量的情况 可得 故 可得 2020 3 22 59 内容 若已知逻辑函数Y的逻辑式 则只要将Y式中所有的 换为 换为 常量 0 换成 1 1 换成 0 所有原变量 不带非号 变成反变量 所有反变量换成原变量 得到的新函数即为原函数Y的反函数 补函数 Y 2 4 2反演定理 注意 1 变换中必须保持先与后或的顺序 2 对跨越两个或两个以上变量的 非号 要保留不变 2020 3 22 60 解 由反演定理 或直接求反 例2 4 3已知Y A B C C D 求Y 2020 3 22 61 2 4 3对偶规则 对偶式 设Y是一个逻辑函数 如果将Y中所有的 换成与 换成与 1 换成与 0 0 换成与 1 而变量保持不变 则所得的新的逻辑式YD称为Y的对偶式 如 2020 3 22 62 对偶规则 如果两个函数Y和G相等 则其对偶式YD和GD也必然相等 Viceversa 利用对偶式可以证明一些常用公式 例1 1 5试利用对偶规则证明分配律A BC A B A C 式子成立 证明 设Y A BC G A B A C 则它们的对偶式为 故Y G 即A BC A B A C 2020 3 22 63 证明 设 则它们的对偶式为 由于 故Y G 即 例1 1 6试利用对偶规则证明吸收律A A B A B 2020 3 22 64 2 5逻辑函数的定义 其中 A1 A2 An称为n个输入逻辑变量 取值只能是 0 或是 1 Y为输出逻辑变量 取值也只能是 0 或是 1 则F称为n变量的逻辑函数 在数字电路中 输入为二值逻辑变量 输出也是二值变量 则表示输入输出的逻辑函数关系 即 如Y A B C 表示输出等于变量B取反和变量C的与 再和变量A相或 2 5 1逻辑函数 2020 3 22 65 逻辑函数的表示方法很多 比较常用的如下 逻辑真值表就是采用一种表格来表示逻辑函数的运算关系 其中输入部分列出输入逻辑变量的所有可能取值的组合 输出部分根据逻辑函数得到相应的输出逻辑变量值 如表2 5 1表示的异或逻辑关系的函数 即 Y A B AB 2 5 2逻辑函数的几种表示方法 一 逻辑真值表 二 逻辑函数式 按一定逻辑规律写成的函数形式 也是逻辑代数式 与普通函数数不同的是 逻辑函数式中的输入输出变量都是二值的逻辑变量 如异或关系的逻辑函数可写成 Y A B AB 三 逻辑图法 采用规定的图形符号 来构成逻辑函数运算关系的网络图形 图2 5 1表示的是异或关系的逻辑图 2020 3 22 67 四 波形图法 一种表示输入输出变量动态变化的图形 反映了函数值随时间变化的规律 也称时序图 如图2 5 2表示异或逻辑关系的波形 除上面介绍的四种逻辑函数表示方法外 还有卡诺图法 点阵图法及硬件描述语言等 在后面的课程中将重点介绍卡诺图法 2020 3 22 68 五 各种表示方法间的相互转换 已知真值表写出逻辑函数式 2020 3 22 69 解 逻辑式为 2020 3 22 70 由真值表写出逻辑函数式的一般方法 P 32 例2 5 5已知逻辑电路如图2 5 4 试写出输出端的逻辑函数式 2020 3 22 71 例2 5 7已知逻辑函数Y的输出波形如图2 5 6所示 试分析其逻辑功能 2020 3 22 72 2020 3 22 73 例2 5 6设计一个逻辑电路 当三个输入A B C至少有两个为低电平时 该电路输出为高 试写出该要求的真值表和逻辑表达式 画出实现的逻辑图 2020 3 22 74 由真值表写出逻辑式为 2020 3 22 75 其实现的逻辑图如图2 5 5所示 2020 3 22 76 2 5 3逻辑函数的两种标准型 标准型有两种 标准与或式和标准或与式 一 最小项 2020 3 22 77 a 定义 在n变量的逻辑函数中 设有n个变量A1 An 而m是由所有这n个变量组成的乘积项 与项 若m中包含的每一个变量都以Ai或A i的形式出现一次且仅一次 则称m是n变量的最小项 注 n个变量构成的最小项有2n个 通常用mi表示第i个最小项 变量按A1 An排列 以原变量出现时对应的值为 1 以反变量出现时对应的值取 0 按二进制排列时 其十进制数即为i 2020 3 22 78 2020 3 22 79 b 最小项的性质 输入变量的任何取值必有一个最小项也仅有一个最小项的值为 1 n变量组成的全体最小项之逻辑和为 1 具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子 任意两个最小项的乘积为0 2020 3 22 80 二 逻辑函数的标准与或式型 最小项之和标准型 如 与或型特点 1 式子为乘积和的形式 2020 3 22 81 2 不一定包含所有的最小项 但每一项必须为最小项 标准与或式的写法 利用添项 真值表 卡诺图 例2 5 10将逻辑函数Y A B C写成标准与或式 练习 P61 题2 10 6 练习 P59 题2 4 b 由真值表写出逻辑函数式的标准与或式 2020 3 22 82 2 5 4逻辑函数形式的变换 除了上述标准与或式外 还需要将逻辑函数变换成其它形式 假如给出的是一般与或式 要用与非门实现 就需要将其变成与非 与非式 一 与或式化为与非 与非式 利用反演定理 例2 5 10将下式Y AC BC 用与非门实现 并画出逻辑图 解 用二次求反 2020 3 22 83 如果本身有反变量输入 则用二级与非门就可实现该函数 其逻辑电路如图2 5 10所示 2020 3 22 84 2 6逻辑函数的化简方法 一个逻辑函数有多种不同形式的逻辑表达式 虽然描述的逻辑功能相同 但电路实现的复杂性和成本是不同的 逻辑表达式越简单 实现的电路越简单可靠 且低成本 因此在设计电路时必须将逻辑函数进行简化 注 随着集成电路的发展 集成芯片的种类越来越多 逻辑函数是否 最简 已无太大意义 但作为设计思路 特别对于中小规模集成电路 逻辑函数的简化是不能忽视的 逻辑函数的简化方法很多 主要有逻辑代数简化法 公式法 和卡诺图法 2020 3 22 85 2 6 1公式化简法 公式法化简就是利用逻辑代数的一些定理 公式和运算规则 将逻辑函数进行简化 实现电路的器件不同 最终要得到的逻函数的形式不同 其最简的定义也不同 对于要小规模集成门电路实现的电路 常用的门为与非门 或非门 与或非门等 由上一节可知 其最终都可以由与或式转换而成 故最常用的是最简与或式 最简与或式 最简的与或式所含乘积项最少 且每个乘积项中的因子也最少 2020 3 22 86 与或式的简化方法 a 合并项法 利用AB A B B消去一个变量 b 消除法 利用A A B A B消去多余变量 c 配项法 利用A A 1增加一些项 再进行简化 2 6 1公式化简法 2020 3 22 87 例2 6 1将下式化为最简与或式 配项ABC 解法一 配项法 2 6 1公式化简法 2020 3 22 88 解法二 用吸收法和消去法 二种方法结果一致 但过程繁简不同 尽量选择最佳方法 使化简过程简单 2 6 1公式化简法 2020 3 22 89 例2 6 3试将下面逻辑函数简化成最简与或式 解 多余项 反演定理 2 6 1公式化简法 说明 一般化简需要各种方法综合起来 化简需要技巧和经验 需多练习 另外最后的结果是否为最简 难以判断 2020 3 22 90 2 6 2卡诺图化简法 公式法简化逻辑函数不直观 且要熟练掌握逻辑代数的公式以及简化技巧 而卡诺图法能克服公式法的不足 可以直观地给出简化的结果 一 卡诺图 a 定义 将逻辑函数的真值表图形化 把真值表中的变量分成两组分别排列在行和列的方格中 就构成二维图表 即为卡诺图 它是由卡诺 Karnaugh 和范奇 Veich 提出的 b 卡诺图的构成 将最小项按相邻性排列成矩阵 就构成卡诺图实质是将逻辑函数的最小项之和的以图形的方式表示出来 最小项的相邻性就是它们中变量只有一个是不同的 2020 3 22 91 下面表2 6 1是二变量的卡诺图 2 6 2卡诺图化简法 2020 3 22 92 表2 6 2为三变量的卡诺图 2 6 2卡诺图化简法 2020 3 22 93 表2 6 3为4变量的卡诺图 2 6 2卡诺图化简法 2020 3 22 94 任意两个相邻的最小项在图上是相邻的 并且图中最左列的最小项与左右列相应最小项也是相邻的 如m0和m2 m8和m10 位于最上面和最下面的相应最小项也是相邻的 m0和m8 m2和m10 所以四变量的最小项有四个相邻最小项 可以证明n变量的卡诺图中的最小项有n个相邻最小项 2 6 2卡诺图化简法 2020 3 22 95 n变量的卡诺图可有n 1变量的卡诺图采用折叠法构成 如五变量的卡诺图可由四变量的卡诺图折叠得到 如表2 6 4 2 6 2卡诺图化简法 2020 3 22 96 二 逻辑函数的卡诺图表示法 如果画出逻辑函数的卡诺图 首先将逻辑函数化成标准与或型 最小项和 在相应的最小项位置填 1 其方法如下 a 利用真值表 将逻辑函数的真值表做出 将表中对应 1 项的最小项填到卡诺图中 2 6 2卡诺图化简法 例2 6 5画出下面函数的卡诺图 2020 3 22 97 解 其真值表如表2 6 5所示 其卡诺图如表2 6 6所示 2 6 2卡诺图化简法 2020 3 22 98 b 化为标准与或型 例2 6 6画出下面逻辑函数的卡诺图 解 2 6 2卡诺图化简法 2020 3 22 99 卡诺图如表2 6 6 2 6 2卡诺图化简法 2020 3 22 100 c 观察法 采用观察法不需要前两种方法需要将逻辑函数转换成最小项 而是采用观察逻辑函数 将应为 1 的项填到卡诺图中 例2 6 7用卡诺图表示下面的逻辑函数 解 其卡诺图如表2 6 7所示 2 6 2卡诺图化简法 A A 1 1 1 1 1 1 1 1 2020 3 22 101 例2 6 8画出下列函数的卡诺图 解 Y的卡诺图如表2 6 8所示 2 6 2卡诺图化简法 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2020 3 22 102 例2 6 9画出下列函数的卡诺图 解 Y的卡诺图如表2 6 9所示 2 6 2卡诺图化简法 1 1 1 1 1 1 1 1 2020 3 22 103 练习 画出下列函数的卡诺图 2 6 2卡诺图化简法 2020 3 22 104 三 利用卡诺图简化逻辑函数 卡诺图的性质 a 卡诺图上任何2 21 个标 1 的相邻最小项 可以合并成一项 并消去1个取值不同的变量 例如表2 6 10中 有 消去变量D 2 6 2卡诺图化简法 2020 3 22 105 b 卡诺图上任何4 22 个标 1 的相邻最小项 可以合并成一项 并消去2个取值不同的变量 例如表2 6 11中 有 消去变量AC 2 6 2卡诺图化简法 2020 3 22 106 2 6 2卡诺图化简法 2020 3 22 107 c 卡诺图上任何8 23 个标 1 的相邻最小项 可以合并成一项 并消去3个取值不同的变量 例如表2 6 12中 有 消去变量ABC 2 6 2卡诺图化简法 2020 3 22 108 或者下面的圈 1 法 2 6 2卡诺图化简法 2020 3 22 109 卡诺图简化逻辑函数为与或式的步骤 a 将逻辑函数化为最小项 可略去 b 画出表示该逻辑函数的卡诺图 c 找出可以合并的最小项 即1的项 必须是2n个1 进行圈 1 圈 1 的规则为 圈内的 1 必须是2n个 1 可以重复圈 但每圈一次必须包含没圈过的 1 每个圈包含 1 的个数尽可能多 但必须相邻 必须为2n个 2 6 2卡诺图化简法 2020 3 22 110 圈 1 的规则为 2 6 2卡诺图化简法 圈数尽可能的少 要圈完卡诺图上所有的 1 d 圈好 1 后写出每个圈的乘积项 然后相加 即为简化后的逻辑函数 注 卡诺图化简不是唯一 不同的圈法得到的简化结果不同 但实现的逻辑功能相同的 2020 3 22 111 解 其卡诺图如表2 6 13所示 圈法如图 则 例2 6 10用卡诺图简化下面逻辑函数 1 1 1 1 1 1 2 6 2卡诺图化简法 2020 3 22 112 或者圈法如表2 6 14所示 则 故卡诺图简化不是唯一的 与第一种圈法相比 2 6 2卡诺图化简法 2020 3 22 113 例2 6 11用卡诺图简化下面逻辑函数 解 其卡诺图如表2 6 15所示 则简化后的逻辑函数为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 6 2卡诺图化简法 2020 3 22 114 关于覆盖 每一个矩形带中至少要有一个小格是独立的 即没有被其他矩形所覆盖 Y A BC A CD ABC AC D BD Y A BC A CD ABC AC D BD A BC A CD ABC AC D A A B C C D A BC A CD ABC AC D A BC D A BCD ABCD ABC D A BC A CD ABC AC D 2020 3 22 115 2 6 2卡诺图化简法 练习 将下列函数简化成最简与或式 2 6 3奎恩 麦克拉斯基化简法 Q M法 自学 2 6 2卡诺图化简法 2020 3 22 116 2 7具有无关项的逻辑函数及其化简 2 7 1约束项 任意项和逻辑函数式中的无关项 1 定义 a 约束项 在逻辑函数中 输入变量的取值不是任意的 受到限制 对输入变量取值所加的限制称为约束 被约束的项叫做约束项 例如有三个逻辑变量A B C分别表示一台电动机的正转 反转和停止 若A 1表示电动机正转 B 1表示电动机反转 C 1表示电动机停止 则其ABC的只能是100 010 001 而其它的状态如000 011 101 110 111是不能出现的状态 故ABC为具有约束的变量 恒为0 可写成 这些恒等于 0 的最小项称为约束项 2020 3 22 117 b 任意项 输入变量的某些取值对电路的功能没影响 这些项称为任意项 例如8421BCD码取值为0000 1001十个状态 而1010 1111这六个状态不可能出现 故对应的函数取 0 或取 1 对函数没有影响 这些项就是任意项 c 无关项 将约束项和任意项统称为无关项 即把这些最小项是否写入卡诺图对逻辑函数无影响 2 含有无关项的逻辑函数的表示方法 最小项的表达式为 其中 d为无关项 也可以写成 2 7 1约束项 任意项和逻辑函数式中的无关项 2020 3 22 118 化简时 根据需要无关项可以作为 1 也可作 0 处理 以得到相邻最小项矩形组合最大 包含 1 的个数最多 为原则 3 无关项在化简逻辑函数中的应用 利用无关项可以使得函数进一步简化 步骤 将给定的逻辑函数的卡诺图画出来 将无关项中的最小项在卡诺图相应位置用 表示出来 2 7 1约束项 任意项和逻辑函数式中的无关项 2020 3 22 119 例2 6 1用卡诺图简化下列逻辑函数 并写成最简与或式和或与式 解 Y的卡诺图如表2 6 1所示 则最简与或式为 2 7 1约束项 任意项和逻辑函数式中的无关项 1 1 1 1 1 1 2020 3 22 120 还有另一种圈法 如图2 6 2所示 简化后的逻辑函数为 2 7 1约束项 任意项和逻辑函数式中的无关项 此种圈法圈数少 变量少 比上一种简单 2020 3 22 121 例1 4 13试简化下列逻辑函数 写最简式 解 约束条件为 则Y的卡诺图如表2 6 4所示 最简与或式为 即AB取值不能相同 2 7 1约束项 任意项和逻辑函数式中的无关项 1 1 1 1 1 2020 3 22 122 1 练习 将下列函数简化成最简与或式 2 7 1约束项 任意项和逻辑函数式中的无关项 2020 3 22 123 第6章门电路和组合逻辑电路 6 1数字电路概述 6 2基本逻辑运算及逻辑门 6 4数字电路的逻辑分析 6 5组合逻辑电路 6 6常用组合逻辑集成器件 6 3数字集成门电路 6 7应用举例 1 掌握基本门电路的逻辑功能 逻辑符号 真值表和逻辑表达式 3 会分析和设计简单的组合逻辑电路 4 理解加法器 编码器 译码器等常用组合逻辑电路的工作原理和功能 本章要求 2 会用逻辑代数的基本运算法则化简逻辑函数 第6章门电路和组合逻辑电路 5 学会数字集成电路的使用方法 模拟信号 随时间连续变化的信号 6 1数字电路概述 6 1 1脉冲信号和数字信号 2 脉冲信号是一种跃变信号 并且持续时间短暂 如 脉冲幅度A 脉冲上升沿tr 脉冲周期T 脉冲下降沿tf 脉冲宽度tp 脉冲信号的部分参数 实际的矩形波 脉冲频率f 6 1 2二进制数 十进制 0 9十个数码 逢十进一 在数字电路中 为了把电路的两个状态 1 态和 0 态 与数码对应起来 采用二进制 二进制 0 1两个数码 逢二进一 权 如 二进制与十进制间的转换 确定的方法 6 2基本门电路及其组合 逻辑门电路是数字电路中最基本的逻辑元件 所谓门就是一种开关 它能按照一定的条件去控制信号的通过或不通过 门电路的输入和输出之间存在一定的逻辑关系 因果关系 所以门电路又称为逻辑门电路 6 2 1逻辑门电路的基本概念 基本逻辑关系为 与 或 非 三种 下面通过例子说明逻辑电路的概念及 与 或 非 的意义 设 开关断开 灯不亮用逻辑 0 表示 开关闭合 灯亮用逻辑 1 表示 逻辑表达式 Y A B 1 与 逻辑关系 与 逻辑关系是指当决定某事件的条件全部具备时 该事件才发生 0 1 0 B Y A 状态表 2 或 逻辑关系 或 逻辑关系是指当决定某事件的条件之一具备时 该事件就发生 逻辑表达式 Y A B 1 1 1 0 状态表 3 非 逻辑关系 非 逻辑关系是否定或相反的意思 Y 220V A R 由电子电路实现逻辑运算时 它的输入和输出信号都是用电位 或称电平 的高低表示的 高电平和低电平都不是一个固定的数值 而是有一定的变化范围 6 2 2分立元件基本逻辑门电路 门电路是用以实现逻辑关系的电子电路 与前面所讲过的基本逻辑关系相对应 门电路主要有 与门 或门 非门 与非门 或非门 异或门等 电平的高低一般用 1 和 0 两种状态区别 若规定高电平为 1 低电平为 0 则称为正逻辑 反之则称为负逻辑 若无特殊说明 均采用正逻辑 1 0 高电平 低电平 1 二极管 与 门电路 1 电路 2 工作原理 输入A B C全为高电平 1 输出Y为 1 输入A B C不全为 1 输出Y为 0 0V 0V 3V 6 2 2分立元件基本逻辑门电路 1 二极管 与 门电路 即 有 0 出 0 全 1 出 1 2 二极管 或 门电路 1 电路 0V 3V 3V 2 工作原理 输入A B C全为低电平 0 输出Y为 0 输入A B C有一个为 1 输出Y为 1 2 二极管 或 门电路 即 有 1 出 1 全 0 出 0 3 三极管 非 门电路 0 1 电路 0 1 1 与非 门电路 有 0 出 1 全 1 出 0 6 2 3基本逻辑门电路的组合 2 或非 门电路 有 1 出 0 全 0 出 1 3 与或非 门电路 例1 根据输入波形画出输出波形 A B 有 0 出 0 全 1 出 1 有 1 出 1 全 0 出 0 A 例2 根据输入波形画出输出波形 A B Y1 Y2 Y3 Y4 信号输入端 控制端 控制端为高电平时 与门 与非门开门 控制端为低电平时 或门 或非门开门 6 3数字集成门电路 TTL门电路是双极型集成电路 与分立元件相比 具有速度快 可靠性高和微型化等优点 目前分立元件电路已被集成电路替代 下面介绍集成 与非 门电路的工作原理 特性和参数 6 3 1TTL门电路 1 电路 多发射极三极管 2 工作原理 1V T2 T4截止 负载电流 拉电流 1 输入端有任一低电平 0 0 3V 输入有低 0 输出为高 1 5V 不足以让T2 T4导通 2 输入全为高电平 1 3 6V 时 2 工作原理 4 3V T2 T4饱和导通 钳位2 1V E结反偏 截止 负载电流 灌电流 输入全高 1 输出为低 0 1V 与非 逻辑关系 与非 门 如 74LS00 四2输入与非门 GND TTL门电路芯片简介 UCC 常用TTL逻辑门电路 1 电压传输特性 输出电压UO与输入电压Ui的关系 3 TTL 与非 门特性及参数 电压传输特性 测试电路 C D E 2 TTL 与非 门的参数 电压传输特性 典型值3 6V 2 4V为合格 典型值0 3V 0 4V为合格 输出高电平电压UOH 输出低电平电压UOL 输出高电平电压UOH和输出低电平电压UOL 指一个 与非 门能带同类门的最大数目 它表示带负载的能力 对于TTL 与非 门NO 8 输入高电平电流IIH和输入低电平电流IIL 当某一输入端接高电平 其余输入端接低电平时 流入该输入端的电流 称为高电平输入电流IIH A 当某一输入端接低电平 其余输入端接高电平时 流出该输入端的电流 称为低电平输入电流IIL mA 扇出系数NO 平均传输延迟时间tpd tpd1 tpd2 TTL的tpd约在10ns 40ns 此值愈小愈好 输入波形ui 输出波形uO 6 3 2三态输出 与非 门 1 1 电路 截止 6 3 2三态输出 与非 门 0 1 电路 导通 当控制端为低电平 0 时 输出Y处于开路状态 也称为高阻状态 0高阻 表示任意态 6 3 2TTL三态输出 与非 门 可实现用一条总线分时传送几个不同的数据或控制信号 电路 6 3 3集电极开路 与非 门电路 OC门 OC门的特点 1 输出端可直接驱动负载 2 几个输出端可直接相联 0 0 2 几个输出端可直接相联 1 线与 功能 1 静态功耗低 每门只有0 01mW TTL每门10mW 2 抗干扰能力强 3 扇出系数大 4 允许电源电压范围宽 3 18V 1 速度快 2 抗干扰能力强 3 带负载能力强 门电路多余输入端的处理 1 对与逻辑 与 与非 门电路 应将多余输入端经电阻 1 3k 或直接接电源正端 如图 b 所示 2 对或逻辑 或 或非 门电路 应将多余输入端接地 如图 c 所示 3 如果前级 驱动级 有足够的驱动能力 可将多余输入端与信号输入连在一起 如图 a 所示 门电路小结 门电路符号表示式 6 4数字电路的逻辑分析 逻辑代数 又称布尔HrpthrBoole代数 它是分析设计逻辑电路的数学工具 虽然它和普通代数一样也用字母表示变量 但变量的取值只有 0 1 两种 分别称为逻辑 0 和逻辑 1 这里 0 和 1 并不表示数量的大小 而是表示两种相互对立的逻辑状态 6 4 1逻辑代数运算法则 1 A 0 0 A 0 2 A 1 1 A A 3 A A A 5 A 0 A 4 6 4 1逻辑代数运算法则 基本运算法则 7 A A A 6 A 1 1 8 9 交换律 结合律 10 A B B A 11 A B B A 13 A B C A B C A B C 12 ABC AB C A BC 分配律 14 A B C AB AC 15 A BC A B A C 普通代数不适用 证 A 1 1 16 A A B A 证明 A A B AA AB A AB A 1 B A 吸收律 17 18 19 证明 20 21 反演律 摩根定律 21 22 证明 23 列状态表证明 6 4 2逻辑函数的表示方法 下面举例说明这四种表示方法 例 有一T形走廊 在相会处有一路灯 在进入走廊的A B C三地各有控制开关 都能独立进行控制 任意闭合一个开关 灯亮 任意闭合两个开关 灯灭 三个开关同时闭合 灯亮 设A B C代表三个开关 输入变量 Y代表灯 输出变量 任何一件具体事物的因果关系都可以用一个逻辑函数描述Y A B C 1 列逻辑状态表 2 逻辑式 取Y 1 或Y 0 列逻辑式 用 与 或 非 等运算来表达逻辑函数的表达式 1 由逻辑状态表写出逻辑式 各组合之间是 或 关系 2 逻辑式 反之 也可由逻辑式列出状态表 3 逻辑图 6 4 3逻辑函数的化简 逻辑函数的化简通常遵循的原则 逻辑电路所用的门最少 各门输入端要少 逻辑电路所用级数要少 逻辑电路能可靠地工作 最简的与或式表达式应满足 乘积项的数目最少且每一个乘积项中变量的个数也最少 不同类型的逻辑表达式的最简标准是不同的 最常用的是与或表达式 由它很容易推导出其他形式的表达式 例1 化简 1 应用逻辑代数运算法则化简 1 并项法 应用 和 2 配项法 例3 化简 3 加项法 4 吸收法 吸收 例5 化简 吸收 吸收 吸收 吸收 2 应用卡诺图化简 卡诺图 是与变量的最小项对应的按一定规则排列的方格图 每一小方格填入一个最小项 1 最小项 对于n输入变量有2n种组合 其相应的乘积项也有2n个 则每一个乘积项就称为一个最小项 其特点是每个输入变量均在其中以原变量和反变量形式出现一次 且仅一次 如 三个变量 有8种组合 最小项就是8个 卡诺图也相应有8个小方格 在卡诺图的行和列分别标出变量及其状态 2 卡诺图 二进制数对应的十进制数编号 2 卡诺图 a 根据状态表画出卡诺图 如 将输出变量为 1