高数数列的极限.ppt

1 第一章 二 收敛数列的性质 三 极限存在准则 一 数列极限的定义 第二节 数列的极限 2 这个概念 贯串着整个数学分析 并在数学的其它领域中起重要 作用 因数学分析的其它基本概念可用极限概念来表 达 微分 积分都可用极限运算来描述 掌握极限的 概念和运算很重要 极限概念是由于求某些实际问题的精确解答而产 生的 变量的变化有各种各样的情况 有一类变量是 经常遇到 这就是它在变化的过程中逐步趋向于相对 也就是说它在变化的过程中无限的接近 于某一确定的常数 极限概念前言 稳定的状态 极限概念是高等数学中最基本的概念 3 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 播放 刘徽 正六边形的面积A1 正十二边形的面积A2 1 割圆术 一 数列 4 1 割圆术 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 刘徽 概念的引入 5 1 割圆术 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 刘徽 概念的引入 6 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 概念的引入 7 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 概念的引入 8 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 概念的引入 9 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 概念的引入 10 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 概念的引入 11 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 概念的引入 12 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 概念的引入 13 之半 如此分割下去问 共去棒长多少 解 把所去之半排列起来 此是公比为 的等比数列 引例2 第一次去其一半 第二次再去所余 一尺之棰 日截其半 万世不竭 一尺之棰 共去棰长 14 等比数列的前n项和的公式 设等比数列 等比数列的前n项之和 上式两边同时乘以q有 上 1 式两边分别减去 2 式的两边得 15 1 数列的定义 依次排列的一列无穷多个数 称为数列 其中每一个数称为数列的项 第n项xn 称为数列的一般项 或通项 下标 称为数列的项数 或 按照一定的法则 定义1 数列简记为 16 可看作一动点在数轴 上依次取 数列对应着数轴上一个点列 数列是整标函数 17 2 数列的性质 1 有界性 设已知数列 若存在M 0 对于一切n都有 则称数列 是有界的 否则 若不存在这样的正数M 则称 是无界的 例如 数列 都是有界的 而数列 是无界的 18 2 单调性 则称此数列是单调减少的 单调增加或单调减少的数列 统称为单调数列 例如 是单调增加数列 是单调减少数列 其特点是 数列的点作定向移动 单增向右 单减向左 反之若 则称此数列是单调增加的 若 的项xn随着项数n的增大而增大 即满足 19 数学语言描述 二 数列极限的定义 引例 设有半径为r的圆 逼近圆面积S 如图所示 可知 当n无限增大时 无限逼近S 刘徽割圆术 当n N时 用其内接正n边形的面积 总有 20 引例 在 1与1之间跳动 观察可见 的变化趋势只有两种 不是无限地接近 某个确定的常数 就是不接近于任何确定的常数 由此 得到数列极限的初步定义如下 观察下列数列的变化趋势 21 定义2 若当 时 一般项 无限地接近于某个 则称A为数列 的极限 记作 或 读作n趋向无穷大时 趋向于A 若当 时 不接近于任何确定常数A 确定的常数A 则称数列 没有极限 22 而 无极限 我们称有极限的数列为收敛数列 无极限的数列为发散数列 例如 23 例如 趋势不定 收敛 发散 24 及常数a有下列关系 当n N时 总有 记作 此时也称数列收敛 否则称数列发散 即 或 则称该数列 的极限为a 若数列 为了精确的反映 接近a的程度与n之间的关系给出 定义3 25 为具体的说明 几何解释 考察一般项为 数列 当n无限增大时xn与2的距离无限的小 当n N时 总有 欲使 26 由 取 只要 即从10001项起以后的所有点 与2的距离小于 即有 取 只要 即从101项起以后的所有点 与2的距离小于 即有 27 主讲教师 王升瑞 高等数学 第三讲 28 例1 已知 证明数列 的极限为1 证 欲使 即 只要 因此 取 则当 时 就有 故 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 例2 已知 证明 证 欲使 只要 即 取 则当 时 就有 故 故也可取 也可由 N与 有关 但不唯一 不一定取最小的N 说明 取 43 例3 设 证明等比数列 证 欲使 只要 即 亦即 因此 取 则当n N时 就有 故 的极限为0 44 证 只要 注 1 化简 必要时适当地放大 2 用倒推法得到与n 有关的一系列不等式 例4求证 即当 时 恒有 45 三 收敛数列的性质 证 用反证法 及 且 取 因 故存在N1 从而 同理 因 故存在N2 使当n N2时 有 1 收敛数列的极限唯一 使当n N1时 假设 从而 46 矛盾 因此收敛数列的极限必唯一 则当n N时 故假设不真 满足的不等式 47 2 收敛数列一定有界 证 设 取 则 当 时 从而有 取 则有 由此证明收敛数列必有界 说明 此性质反过来不一定成立 例如 虽有界但不收敛 有 数列 48 3 收敛数列的保号性 若 且 时 有 证 对a 0 取 推论 若数列从某项起 用反证法证明 49 4 收敛数列的任一子数列收敛于同一极限 证 设数列 是数列 的任一子数列 若 则 当 时 有 现取正整数K 使 于是当 时 有 从而有 由此证明 50 由此性质可知 若数列有两个子数列收敛于不同的 极限 例如 发散 则原数列一定发散 说明 51 内容小结 1 数列极限的 N 定义及应用 2 收敛数列的性质 唯一性 有界性 保号性 任一子数列收敛于同一极限 52 思考与练习 1 如何判断极限不存在 方法1 找一个趋于 的子数列 方法2 找两个收敛于不同极限的子数列 2 已知 求 时 下述作法是否正确 说明理由 设 由递推式两边取极限得 不对 此处 53 刘徽 约225 295年 我国古代魏末晋初的杰出数学家 他撰写的 重 差 对 九章算术 中的方法和公式作了全面的评 注 指出并纠正了其中的错误 在数学方法和数学 理论上作出了杰出的贡献 他的 割圆术 求圆周率 割之弥细 所失弥小 割之又割 以至于不可割 则与圆合体而无所失矣 它包含了 用已知逼近未知 用近似逼近精确 的重要 极限思想 的方法 54 柯西 1789 1857 法国数学家 他对数学的贡献主要