第7章—离散系统系统分析.ppt

参考书目 胡寿松主编 自动控制原理 第五版 国防工业出版社 2006 2李友善主编 自动控制原理 修订版上 下册 国防工业出版社 1989 6绪方胜彦著 现代控制工程 科学出版社 1984 7RichardC Dorf RobertH Bishop ModernControlSystems TenthEdition 科学出版社 2005 第七章线性离散系统的分析与校正 离散系统与连续系统 既有本质的不同 又有分析研究方面的相识性 相同点 1 采用反馈控制结构2 都有被控对象 测量元件和控制器组成3 控制系统的目的4 系统分析的内容不同点 信号的形式 采样器 保持器 本章主要讨论 离散系统的分析和校正方法 建立信号采样和保持的数学描述z变换理论和脉冲传递函数线性离散系统稳定性和性能的分析与校正方法 在系统校正部分 我们将主要讨论数字控制系统的校正方法 7 1采样系统的基本概念7 2信号的采样和复现的数学描述7 3z变换理论7 4脉冲传递函数7 5采样系统的稳定性与稳态误差7 6采样系统的动态性能分析7 7采样系统的数字校正 Outline 7 1采样系统的基本概念 连续时间系统 continuoustimesystem 模拟控制系统中的所有信号都是时间变量的连续函数离散系统 discretetimesystem 控制系统中有一处或几处信号是脉冲序列或数码 采样控制系统 系统中的离散信号是脉冲序列时间离散 数值连续数字控制系统 digitalcontrolsystem 计算机控制系统 computercontrolsystem 系统中的离散信号是数字序列 数码 形式时间离散 数值离散 7 1 1采样控制系统 Sampled DataControlSystem 图7 1炉温采样控制系统原理图 图7 1信号的采样 连续系统的信号在某些规定的时间上取值成为断续形式的脉冲信号而相邻两个脉冲之间是没有信号值的 采样系统 周期采样 如果系统中有几个采样器 则应该同步等周期 非周期采样 随机采样 连续信号转换为脉冲序列采样器 sampler 脉冲序列转换为连续信号保持器 holder 采样器和保持器 是采样控制系统中两个特殊环节 信号采样和复现 7 1 开关闭合开关打开 把脉冲序列转变为连续信号的过程 称为信号复现过程 实现复现过程的装置称为保持器 保持器的作用有 实现两种信号之间的转换 对脉冲信号进行复现滤波 避免高频噪声 e t eh t 采样系统的典型结构图 开环采样系统 采样器位于系统闭合回路之外闭环采样系统 采样器位于系统闭合回路之内误差采样控制的闭环采样系统 采样开关S的输出幅值 与输入幅值之间存在线性关系线性采样系统 7 1 2数字控制系统 digitalcontrolsystem 小口径高炮高精度数字伺服系统 数字控制系统数字计算机为控制器控制具有连续工作状态的被控对象 数字计算机 离散 被控对象 controlledplant 连续 A D和D A转换器 计算机控制系统 analogdigital 1 A D过程 采样 时间上离散 量化 数值上离散 字长足够认为e kT e kT t T认为采样瞬时完成 理想采样过程 模数转换器 包括采样与量化两过程 2 计算过程描述 零阶保持器 ZOH 3 D A过程 数模转换器 包括解码与复现两过程 计算机控制系统的描述方法 假定A D转换器有足够的字长 量化单位q足够小 采样编码时间很短 理想开关来代替数字控制器 传递函数为Gc s 与采样开关S相串联 7 1 3数字控制系统的典型结构图 图7 9数字控制系统典型结构图 7 1 4离散控制系统的特点 2 由软件实现的控制规律易于改变 控制灵活 1 数字信号的传递可以抑制噪声 提高系统的抗干扰能力 3 可用一台计算机分时控制若干个系统 经济性好 4 对于具有传输延迟 特别是大滞后的控制系统 可以引人采样的方式使其趋于稳定 7 1 5离散系统的研究方法 1 差分方程2 z 变换法 可引入连续系统的研究方法3 状态空间法 7 2信号的采样和保持的数学描述 脉冲信号的表达式为 脉冲函数 是一宽度为 高度为的矩形脉冲 矩形的面积为A 具有重要的作用任意形式的外作用可以看作是在不同时刻存在的 强度不同的无限多个脉冲函数的叠加 理想的单位脉冲信号实际上是不存在的 只具有数学意义 当A 1时 称为理想单位脉冲函数 亦称函数 理想单位脉冲函数 函数 性质 对t1连续的任何函数f 单位脉冲序列 7 2信号的采样和保持的数学描述 当采样开关的闭合时间时 采样器就可以用一个理想采样开关来代替 采样过程可以看成是一个幅值调制过程 理想采样开关好像是一个载波为的幅值调制器 其中为理想单位脉冲序列 采样信号的物理意义 单位脉冲序列被连续时间信号作了幅值加权 连续时间信号被单位脉冲序列作了离散时间调制 采样器输出看做是串脉冲 脉冲的强度 等于各采样瞬时上的采样值 其中是出现在时刻时 强度为1的单位脉冲 故式 7 2 可以写为 7 2 2采样过程的数学描述 采样信号的拉氏变换 拉氏变换位移定理 滞后环节 例7 1设e t 1 t 试求的拉氏变换 解 这是一个无穷等比级数 公比为 求和后得闭合形式 显然 是的有理函数 例7 2设为常数 试求的拉氏变换 式中 为s的实部 上式也是的有理函数 解 例7 3设试求的拉氏变换 以上分析表明 尽管是的有理函数 但却是复变量s的超越函数 不便于进行分析和设计 为此 通常采用z变换法研究离散系统 z变换可以把离散系统的s超越方程变换为变量z的代数方程 解 采样信号的频谱 由于采样信号的信息并不等于连续信号的全部信息 采样信号的频谱与连续信号的频谱相比 要发生变化 研究采样信号的频谱 找出与之间的相互联系 理想单位脉冲序列是一个周期函数 可展开为富氏级数 式中 为采样角频率 是富氏系数 其值为 由于在区间中 仅在t 0时有值 且 拉氏变换的复数位移定理得 式中 原函数e t 的频谱 最高频率为 以代入 在频域内 上式变为 物理含义 信号的频谱 拉氏变换 傅氏变换 信号叠加 给出E s 与e t 在采样点上取值之间的关系 一般可写成封闭形式 用于求e t 的z变换或系统的时间响应 给出E s 与E s 之间的联系 一般写不成封闭形式 用于e t 的频谱分析 采样信号的拉氏变换 时域 采样信号的频谱 频域 式中 原函数e t 的频谱 最高频率为 以代入 在频域内 上式变为 物理含义 信号的频谱 拉氏变换 傅氏变换 信号叠加 信号复现的条件 当 s 2 h时 采样频谱中的补分量相互交叠 特例 sin函数的采样问题 7 2 3香农采样定理 为使采样后的脉冲序列频谱互不搭接 采样频率必须大于或等于原信号所含的最高频率的两倍 这样才有可能通过理想滤波器 把原信号毫无畸变地恢复出来 实际使用时 必要条件非充要条件 物理含义 矛盾问题 理想滤波器是不易实现的 而通常用的滤波器就是保持电路 保持器的任务就是解决各采样点之间的插值问题 7 2 5信号保持 把采样信号恢复为原来的连续信号称为信号的复现 实际使用的方法 保持器 信号的复现 又采样又信号复现 保持器的数学描述 保持器是具有外推功能的元件 保持器的外推作用 表现为现在时刻的输出信号取决于过去时刻离散信号的外推 通常 采用如下多项式外推公式描述保持器 7 18 式中 是以nT时刻为原点的坐标 式 7 18 表示现在时刻的输出值 取决于各过去时刻的离散信号的个值 若取m 0 则称零阶保持器 m 1称一阶保持器 在工程实践中 普遍采用零阶保持器 零阶保持器 Zero orderhold 零阶保持器 恒值外推 的外推公式为 零阶保持器把前一采样时刻的采样值e nT 一直保持到下一采样时刻 n 1 T到来之前 从而使采样信号变成阶梯信号 由于零阶保持器前后的信号可分别表示为 和的拉氏变换分别为 零阶保持器的传递函数为 其频率特性为 以代入 7 21 若以采样角频率来表示 则上式可写为 7 22 根据上式 可画出零阶保持器的幅频特性和相频特性 低通特性 零阶保持器基本上是一个低通滤波器 但与理想滤波器相比 在时 其幅值只有初值的0 637 相角滞后特性 相角滞后随的增大而增加 从而使闭环系统的稳定性变差 时间滞后特性 零阶保持器的输出为阶梯信号eh t 其平均响应为 表明其输出比输入在时间上要滞后T 2 对系统的稳定性不利 此外 阶梯输出也同时增加了系统输出的波纹 零阶保持器的近似实现 取前两项 单位脉冲序列 采样信号的拉氏变换 采样信号的频谱 香农采样定理 零阶保持器 公式小结 7 3z变换理论 连续时间信号 e t 拉氏变换 E s 离散时间信号 e nT Z变换 E z 令 7 3 1z变换定义 对于采样函数 取拉氏变换 延时环节延时T 说明 z变换是一种变量置换 通过它将s的超越函数变为z的有理分式 则 z变换举例 i z变换的离散特性z变换所处理的对象是离散时间序列 而不带有原信号采样点之间的任何信息 z变换对应的连续函数不唯一 z变换是由某连续函数的采样离散信号得到 与离散信号一一对应 ii z变换的时间特性 调制脉冲 t nT 对应于变换算子 又称为一步延迟因子 变换算子z带有明确的时间信息 iii z变换的收敛和特性z变换定义为以z为自变量的罗朗级数 收敛条件 例7 4求单位阶跃函数的z变换 7 3 2z变换方法 级数求和法 从定义出发 例7 5求理想脉冲序列的z变换 解 因为T为采样周期 故 由拉氏变换知 因此 把上式写成闭合形式 得的z变换为 从例7 4和例7 5可见 相同的z变换E z 对应于相同的采样函数 但是不一定对应于相同的连续函数e t 例7 6求指数函数的z变换 解 这是一个首项为1 公比为的几何级数 其和为 例7 7求e t t的z变换 例7 8求的z变换 部分分式法 先求出已知连续函数e t 的拉氏变换E s 然后将其分解为部分分式之和 再利用z变换表求出每一部分分式对应的z变换 Z变换表 E z 分母中z的阶次等于E s 分母中s的阶次 E z 分子都有因子z 记Z e t Z e t E z 线性定理 式中 为常数 7 3 3z变换性质 z变换的基本定理 与拉氏变换的基本定理有相似之处 实数位移定理 平移定理 设连续函数e t t 0时 e t 0 k为正整数 代表时域中超前环节 它将采样信号超前k个采样周期 代表时域中滞后环节 它将采样信号滞后k个采样周期 例7 9试用实数位移定理计算延迟一个采样周期的指数函数的z变换 其中a为常数 解 复数位移定理 证明 令 初值定理 如果e t 的z变换为E z 并且存在 则e t 或e nT 的初始值e 0 为 证明 终值定理 如果e t 的z变换为E z 序列e nT 为有限值 且存在 则 证 例 求 6 卷积和定理 卷积和 卷积和 卷积和 课后作业p381 7 2 4 5 7 5 7 1 2 7 3 4z反变换 Z反变换是已知Z变换 求表达式E z e t 的过程 注意 z 变换的非唯一性e 1 t e 2 t E1 z E2 z 但e1 t e2 t 求解方法 长除法 部分分式法 留数法 Z反变换为 1 长除法 幂级数法 要点 用长除法化为降幂排列的展开形式 解 2 部分分式法 因式分解法 查表法 两端乘以Z 查Z变换表 步骤 例求 的Z反变换 解 3 留数法 反演积分法 若zi为一重极点 若zi为q重极点 解 有两个一重极点 解 二重极点 课后作业p381 7 4 1 7 5 7 3 1 7 4离散系统数学模型 差分方程 脉冲传递函数 离散状态空间方程 1离散系统的数学定义 序列r n 到序列c n 的一种变换关系 r n 可看作连续系统输入r t 的采样序列r nT c n 可看作连续系统输出c t 的采样序列c nT 信号与系统的关系 离散系统 线性离散系统 满足叠加原理 输入与输出关系不随时间改变的线性离散系统 线性定常离散系统 若且 系统参数为常数 不随时间变化 2 差分方程及其解法 差分 两个采样点信息之间的微商 T 1 后向差分 前向差分 历史时刻 当前时刻 未来时刻之间的数据依赖关系是明确的因此常用的是后向差分 确定两个离散时间序列关系的方程 差分方程 后项差分方程 前项差分方程 例1已知连续系统微分方程 现将其离散化 采用采样控制方式 T 1 求相应的前向差分方程并解之 解 差分方程解法I 迭代法 解 差分方程解法II z变换法 解 3脉冲传递函数 r t 输入信号 采样后的z变换为R z c t 系统连续部分的输出信号 采样后的z变换为C z G s 被控对象的传递函数 脉冲传递函数定义 零初始条件 t 0时 r t 0 c t 0 线性定常离散系统的脉冲传递函数 在零初始条件下 系统输出采样信号的z变换与输入采样信号的z变换之比 C z 为系统的单位脉冲响应函数 脉冲响应 定常系统 线性叠加 求 系统的脉冲传递函数 系统单位脉冲响应g t 经采样后离散信号的Z变换 单位脉冲响应序列 单位脉冲响应函数 卷积和 脉冲传递函数的求法 求G z 的一般步骤 求出系统的传递函数G s 实际可用查表法 用nT代替g t 中的t 再按Z变换的定义计算 求传递函数G s 的脉冲响应函数 脉冲传递函数 系统单位脉冲响应g t 采样信号的Z变换 G z 是G s 的z变换 例 求图示系统的G z 解 系统的传递函数G s 可展开成下列部分分式 系统的脉冲响应函数 4开环系统脉冲传递函数 1 采样函数的拉氏变换具有周期性 采样函数的拉氏变换重要性质 2 离散信号可从离散符号中提出来 E s G s E s G s E s G s E s G s 两个串联元件之间有采样开关时 串联元件的G z E s E z 两个串联元件之间没有采样开关时 例 比较下面两个系统的脉冲传递函数有何差别 不同之处仅表现在其零点不同 极点仍然一样 有零阶保持器时的开环系统脉冲传递函数 由线性定理 由位移定理 例 试求取图示系统的脉冲传递函数 零阶保持器不影响离散系统脉冲传递函数的极点 5闭环系统脉冲传递函数 误差方程 采样后 反馈方程 输出方程 对于一般的单闭环系统 典型闭环离散系统的方块图及相应的输出量C z 见教材P343 课后作业p381 7 8 1 7 9 7 7 7 10 1 1 s域到z域的映射 7 5采样系统的稳定性与稳态误差 等 线映射 等 线映射 圆 射线 等 线映射 单位圆内一簇收敛的对数螺旋线 总结映射关系如下 s平面上的多值 映射为z平面上的单值 多对一s平面上的虚轴 映射为z平面上的单位圆 s平面上的左半平面 映射为z平面上的单位圆内 稳定性问题 2 离散系统稳定性的充要条件 定义 若离散系统在有界输入序列作用下 其输出序列也是有界的 则称该离散系统是稳定的 1 时域中离散系统稳定的充要条件 差分方程 所有特征根的模相应的离散系统是稳定的 当且仅当差分方程 2 z域中离散系统稳定的充要条件 脉冲传递函数 当且仅当离散特征方程 相应的线性定常离散系统是稳定的 全部特征根均分布在z平面上的单位园内 离散系统稳定的充要条件 F z 的全部极点均位于z平面的单位圆内 证明 充分性 必要性 例分析如图离散系统的稳定 解 开环脉冲传递函数 其特征方程为 因为所以该离散系统不稳定 如果提高采样频率 离散系统的稳定性将得到改善 二阶连续系统是稳定的 采样后 二阶离散系统不稳定 3离散系统的稳定性判据 w变换 当离散系统阶次高时 直接求根比较困难 稳定判据 z平面的单位圆 w平面的虚轴 z平面的单位圆外 z平面的单位圆内 s平面 z平面 w平面的映射关系 由双线性w变换 可以直接应用劳斯判据判别系统的稳定性 特征方程 例求使系统稳定的k值范围 解 先求出的z变换 闭环特征方程 例离散系统结构图如图所示 T 1 求使系统稳定的K值范围 解 z域中的朱利 Jurry 稳定判据 系统不稳定 例离散系统结构图如图所示 T 1 求使系统稳定的K值范围 P353例7 29 例系统结构图如图所示 T 0 25 求使系统稳定的K值范围 7 5 4采样周期与开环增益对稳定性的影响 连续系统的稳定性取决于系统的开环增益K 系统的零极点分布和传输延迟等因素 而影响离散系统稳定性的因素 除与连续系统相同的上述因素外 还与采样周期T有关 K与T对离散系统稳定性有如下影响 1 当采样周期一定时 加大开环增益会使离散系统的稳定性变差 甚至使系统变得不稳定 2 当开环增益一定时 采样周期越长 丢失的信息越多 对离散系统的稳定性及动态性能均不利 甚至可使系统失去稳定 T 0k 0 2 k 0 8 k 1 2 k 10 k 100 课后作业p383 7 15 7 14 2 5离散系统的稳态误差 如果的极点全部严格位于z平面上的单位园内 即若离散系统是稳定的 则其稳态误差为 稳态误差 不但与系统本身的结构和参数有关 还与输入序列的形式和幅值有关 此外还与采样周期T有关 误差脉冲传递函数为 稳态误差的一般求法 1误差脉冲传递函数 三部曲 2判断稳定性 3利用终值定理求稳态误差 劳斯 朱利 例稳定离散系统的结构图如图所示 已知r t 2t 试讨论有或没有ZOH时的e 解 无ZOH时 与T有关 有ZOH时 与T无关 例已知系统结构图 T 0 25 r t 2 1 t t 使e 0 5 求K范围 判定稳定性 Jury 课后作业p383 7 18 7 16 6采样系统的动态性能分析 1离散系统的时间响应 则系统输出量的z变换为 对上式进行z反变换 即可求出输出信号的脉冲序列 代表线性定常离散系统在单位阶跃函数作用下的响应过程 例系统结构图如图所示 T K 1 求系统动态指标 ts 解 用长除法求系统单位阶跃响应序列h k 例系统结构图如图所示 T K 1 求系统动态指标 ts 解 2采样器和保持器对动态性能的影响 采样器和保持器不影响开环脉冲传递函数的极点 仅影响开环传递函数的零点 离散系统的开环脉冲传递函数零点的变化 必然会引起闭环脉冲传递函数极点的改变 因此采样器和保持器会影响闭环离散系统的动态性能 定性分析如下 1 采样器可使系统的峰值时间和调节时间略有减小 但使超调量增大 故采样造成的信息损失会降低系统的稳定性 然而在某些情况下 例如在具有大延迟的系统中 误差采样反而会提高系统的稳定性 2 零阶保持器使系统的峰值时间和调节时间都加长 超调量和振荡次数也增加 这是因为除了采样造成的不稳定因素外 零阶保持器的相角迟后降低了系统的稳定性 3闭环极点与动态响应的关系 闭环脉冲传递函数 单位阶跃响应 第一项 稳态分量 由输入信号决定 第二项 n项动态分量 由系统的闭环极点Pi的位置决定 1 当特征根为正实数时 单调发散 单调收敛 2 当特征根为负实数时 交错发散 交错收敛 3 当特征根为一对共轭复数 振荡发散 振荡收敛 4 pi位于单位圆上 临界稳定 Pi 1 恒值等幅 Pi 1 交错等幅 Im Re 0 1 1 z平面上的闭环实数极点 Im Re 1 1 2 z平面上的闭环共轭复数极点 课后作业p383 7 19求图7 71的单位阶跃响应 7 7离散系统的数字校正 研究数字控制器的脉冲传递函数最少拍控制系统的设计 1数字控制器的脉冲传递函数 数字控制器 离散系统的数字校正 然后求数字控制器的脉冲传递函数 根据离散系统性能指标要求 确定 2最少拍系统设计 设计要求 系统在稳定的基础上 必须满足 对典型输入函数 输出在采样时刻上无稳态误差 过渡过程在最少个采样周期内结束 2 1 稳定性 系统脉冲传递函数特征方程根 必须全部位于单位圆内 最少拍系统 在典型输入作用下 能以有限拍结束响应过程 且在采样时刻上无稳态误差的离散系统 必须通过选择 使它们能抵消G z 中的不稳定零 极点 如果G z 中包含有单位圆上或单位圆外的零点或极点时 2 2典型输入信号 常见的典型输入有单位阶跃函数 单位速度函数和单位加速度函数 3 3稳态误差为零的条件 误差脉冲传递函数 式中 F z 是不含因子的多项式 待定 满足的条件 其意义是使的全部极点均位于平面的原点 为使最简单 阶数最低 取 F z 1 表明 可见 最少拍系统经过一拍便可完全跟踪输入 这样系统称为一拍系统 其 3 4D z 的求取 单位阶跃