第4章连续系统2.ppt

第4章连续系统 振动理论及其应用 4 1引言 4 2弦振动 4 3杆的纵向振动 4 4杆的扭转振动 4 5梁的横向振动 4 6薄板的横向振动 4 7展开定理 4 8瑞利商 4 9响应分析 4 10有限元法简介 第4章连续系统4 6薄板的横向振动 振动微分方程 所谓平板是指两个平行的平面和垂直于平面的柱面或棱锥面围成的物体 当板的厚度h远小于中面的最小尺寸b h b 8 称为薄板 薄板的基本假设 1 h b 2 载荷方向垂直于板面 3 符合小挠度理论 w h 4 取ez 0 4 符合小挠度理论 w h 4 tzx tzy和sz远小于其它应力分量 则有gzx gyz 0 5 中面内各点没有平行于中面的位移 即 几何方程和物理方程 设中面各点横向位移为w x y t 时 板上任意一点沿x y z三个方向位移分量u v w 分别为 第4章连续系统4 6薄板的横向振动 振动微分方程 几何方程和物理方程 由弹性力学得三个应变分量为 由广义虎克定律知 应力与应变有如下关系 第4章连续系统4 6薄板的横向振动 振动微分方程 薄板的动能 薄板的势能 其中D为板的弯曲刚度 表面载荷在相应虚位移上的虚功为 若用中面的边界作为板的边界 其中 s为曲线的弧长 若边界各点作用有弯矩和横向力 则边界力的虚功为 第4章连续系统4 6薄板的横向振动 振动微分方程 利用哈密尔顿原理得 经过变分运算 再利用将某些面积分化为线积分的格林公式 考虑到是任意变分 而且在边界上和是相互独立的 因此可得振动微分方程和边界条件 对于边界上转角未给定的情况 简支边或自由边 边界条件为 其中 q为边界的外法线与x轴的夹角 第4章连续系统4 6薄板的横向振动 振动微分方程 对于边界上位移未给定的情况 自由边 边界条件为 对于边界上转角给定的情况 固定边 边界条件为 对于边界上位移给定的情况 简支边或固定边 边界条件为 第4章连续系统4 6薄板的横向振动 矩形板振动 解 由题意特征值问题为 例4 11求解图示边长分别为a b的等厚度矩形板系统的特征值问题 当矩形板边界无外力作用 固定边 对于边界x 0和x a 对于边界y 0和y b 简支边 对于边界x 0和x a 对于边界y 0和y b 自由边 对于边界x 0和x a 对于边界y 0和y b 第4章连续系统4 6薄板的横向振动 矩形板振动 设 代入方程 得到关于函数Z的方程为 其中 四边简支矩形板振动 边界条件 对于边界x 0和x a 对于边界y 0和y b 设振型函数Z为 可以验证 当m和n为整数时振型函数Z满足边界条件 将振型函数代入方程得 第4章连续系统4 6薄板的横向振动 矩形板振动 只有假设的函数满足方程 才是振型函数 由Am n不为零 可导出频率方程 固有圆频率为 振型函数 第4章连续系统4 6薄板的横向振动 圆板振动 对于圆板 可利用极坐标系 它与直角坐标系之间的算子转换关系为 一阶算子 二阶算子 等厚度板振动微分方程的极坐标表示为 第4章连续系统4 6薄板的横向振动 圆板振动 边界条件同样可通过坐标变换得到 对于r a 边界上转角未给定的情况 简支边或自由边 边界条件为 对于r a 边界上位移未给定的情况 自由边 边界条件为 对于r a 边界上转角给定的情况 固定边 边界条件为 对于r a 边界上位移给定的情况 简支边或固定边 边界条件为 第4章连续系统4 6薄板的横向振动 圆板振动 解 例4 12求解图示半径为a的等厚度实心圆板系统的特征值问题 其中 得到关于函数R的方程为 由此得到两个二阶常微分方程 n阶贝塞尔方程 n阶修正贝塞尔方程 它们的解分别为 方程的通解为 第4章连续系统4 6薄板的横向振动 圆板振动 方程的通解为 对于r a 边界上转角未给定的情况 简支边或自由边 边界条件为 对于r a 边界上位移未给定的情况 自由边 边界条件为 对于r a 边界上转角给定的情况 固定边 边界条件为 对于r a 边界上位移给定的情况 简支边或固定边 边界条件为 由r 0处的位移和转角为有限值 得B 0 D 0 则有 第4章连续系统4 6薄板的横向振动 圆板振动 将边界条件代入方程的通解 可得频率方程 边界铰支时 圆板的振型函数 无节径和节圆 无节径 一个节圆 无节径 两个节圆 一根节径 无节圆 一根节径和一个节圆 两根节径 无节圆 第4章连续系统习题 4 2设梁的左端由横向弹簧和扭转弹簧支承 试写出梁作横向振动时 左端点的边界条件 4 3设悬臂梁的右端带有一体积较大的质量 试写出梁作横向振动时 右端点的边界条件 第4章连续系统4 7展开定理 特征函数的正交性 从离散系统特征向量的正交性导出 对于n自由度的离散系统 正则化特征向量的正交性为 其中 ms为x xs处的质量 而usi和usj分别为第i阶和第j阶主振型中质量ms的位移 当质量矩阵为对角矩阵时 可写成 当n增加时 ms可用下式表示 把质量ms的表达式代入离散系统特征向量正交性的表达式 当Dxs趋近于零 xs可用变量x表示 usi和usj转变为振型函数在x处的值 和式转化为积分式 第4章连续系统4 7展开定理 特征函数的正交性 以梁的横向振动为例 对两个不同特征值问题的解为 从连续系统特征值问题直接导出 对第一个式子两边分别乘以Yj x 并从0到L积分 U V U V 第4章连续系统4 7展开定理 特征函数的正交性 对第二个式子两边分别乘以Yi x 并从0到L积分 U V U V 第4章连续系统4 7展开定理 特征函数的正交性 两式相减 得 第4章连续系统4 7展开定理 特征函数的正交性 对于边界为固支 铰支 自由或它们的任意组合时 式子的右边为零 即 对于不同的固有圆频率 它们平方的差不为零 因此有 特征函数关于质量密度m x 正交 将上式代入式 得 由分部积分 对于上述边界条件 有 特征函数的二阶导数 不是特征函数本身 导数的阶次是特征值问题的一半 关于弯曲刚度EI x 正交 第4章连续系统4 7展开定理 特征函数的正交性 当i j时 对正则化的特征函数有 当边界x L处有集中质量M时 相应的正交性表达式为 正则化的特征函数关于质量密度m x 正交性的表达式可写成 正则化的特征函数关于弯曲刚度EI x 正交性的表达式可写成 展开定理 任一函数Y x 如果满足问题的边界条件 且为连续函数时 可以用系统特征函数的绝对一致收敛级数来表示 其中 第4章连续系统4 8瑞利商 离散系统的瑞利商具有标量的性质 可以预料 对连续系统也可以定义类似的瑞利商 例4 13图示长度为L 一端固定一端自由的变截面杆 其扭转刚度与单位长度转动惯量分别为GIP x 和J x 求杆作扭转振动时基频的近似值 解由题意 系统的特征值问题为 边界条件为 对特征值问题的表达式两边同乘以Q x 并沿整个杆的长度方向积分 第4章连续系统4 8瑞利商 瑞利商为 式中 R Q 就是瑞利商 它是一个泛函 即函数Q x 的函数 如果Q x 是系统的某一个特征函数 则瑞利商就是相应的特征值 对任一满足边界条件的函数Q x 瑞利商的值依赖于函数的形式 可以证明 当Q x 在某一个特征函数附件时 瑞利商有一个平稳值 利用展开定理 Q x 可表示为系统正则化特征函数的线性组合 由系统正则化特征函数的正交性 有 第4章连续系统4 8瑞利商 对满足边界条件 但不满足方程的试算函数Q x 利用展开定理 用正则化的振型函数的线性组合表示 并代入瑞利商 借鉴离散系统的方法 使函数Q x 与第r个特征函数相似 并有 其中 ei是比1小得多的微量 则有 如果试算函数与特征函数之差是一阶微量 那么瑞利商与频率平方的差是二阶微量 当试算函数与第一阶特征函数接近时 瑞利商给出基频平方的上限 第4章连续系统4 8瑞利商 例4 14例4 13的杆扭转刚度与单位长度转动惯量分别为GIP x 和J x 解由题意 系统近似的基频可用瑞利商近似 求杆作扭转振动时基频的近似值 用例4 6均匀杆作扭转振动时基频的精确解作为试算函数 则有 第4章连续系统4 8瑞利商 例4 14 利用瑞利商得到近似的第一频率为 与均匀轴的第一频率相比较 或 大于 第4章连续系统4 9响应分析 振型分析法 把系统的响应看成是系统的特征函数和时间有关的广义坐标乘积的迭加 例4 15图示两端铰支的均匀梁长度为L 单位长度质量和弯曲刚度分别为m和EI 求系统受分布载荷f x 的作用 初始条件为 解由4 5节的讨论可知系统的微分方程为 求系统的响应 由例4 10 系统的固有频率和正则化的振型函数分别为 边界条件为 第4章连续系统4 9响应分析 振型分析法 正则化的振型有正交性 设系统的稳态响应为正则化振型函数与广义坐标的乘积 代入方程 上式两边同乘Yj x 并在整个区间积分 并考虑到正则化振型的正交性有 其中 对第i个方程 利用无阻尼单自由度系统在任意激励下的杜哈曼积分得到 其中 分别为初始广义位移及广义速度 第4章连续系统4 9响应分析 振型分析法 初始广义坐标和初始广义速度可用下式获得 两边同乘mYj x 并在整个区间积分 并利用正交性 类似地 有 梁的响应可写成 其中 第4章连续系统4 9响应分析 振型分析法 解由例4 15及题中给出的载荷和边界条件 可以得到广义力 例4 16例4 15中 若初始条件为零 分布载荷f x 为求系统的响应 或 即i为偶数时广义力为零 这是因为偶数阶振型是反对称的 均匀分布的激励力是对称的 它不能激出反对称的振型函数 响应为 可以看出 第一主振型起主要作用 第4章连续系统习题 4 4两端铰支的均匀梁长度为L 单位长度质量和弯曲刚度分别为m和EI 求系统受梁中点的集中力f t Fsinwt作用下的稳态响应 第4章连续系统4 9有限元法简介 概述 有限元法是近四十年来首先在固体力学领域发展起来的一种很有效的数值计算方法 其基本思想是离散 在有限元法中 将一个连续的结构或设备 或称为系统 划分成一些相互连接的区域 称为单元 在单元内部各点的位移以及应力应变等物理量都是连续和解析的 它们可以用边界上称为节点的位移和内力来表示 在边界上位移和力是离散的 作静力分析时 利用变分原理把关联系统位移和力 包括内力和外力 的微分方程组转换成代数方程组 以节点位移 或节点内力 或是把部分节点位移和部分节点内力一起作为未知量 第4章连续系统4 9有限元法简介 概述 有限元法根据未知量选择的不同 又可分成位移法 力法或混合法 工程中常用的方法是位移法 有限元法中振动问题同静力计算一样 也是将一个连续系统变成以有限个节点的位移为广义坐标的多自由度系统 但在单元大小的选取上 静力计算仅影响其精度 面在振动计算中若单元划分不当则不仅会影响精度 甚至会导致错误的结果 由于有限元法提供了适应性很强的统一数值分析方法 因此 在短短的三十余年内 在结构力学中成为强有力的分析手段 已广泛应用于航空 航天 土木 机械 造船 起重 核工程 海洋工程等领域 第4章连续系统4 9有限元法简介 有限元法分析的基本步骤 结构的离散化单元的划分通常要注意以下两点 1 结构划分的单元振动频率必须高于整体结构的计算频率 若出现低于整体计算频率时 应将相应的单元再进行划分 这也是动态计算中有限元划分的一个基本准则 2 单元划分的大小应与计算精度相适应 在满足上一条要求的情况下 单元尽可能划得大一些 这样可有效地节省计算机内存和计算时间 第4章连续系统4 9有限元法简介 有限元法分析的基本步骤 单元特性分析 坐标变换 结构运动方程的建立 边界条件的处理 运动方程的解 第4章连续系统4 9有限元法简介 例4 17 求图示减振器 弹性筏体的前10阶固有圆频率和主振型 单元划分 减振器 弹性筏体的有限元单元划分 共300个单元 742个节点 第1