高等数学 方向导数与梯度.ppt

1 9 8方向导数与梯度 9 8 1方向导数 定义9 5 方向导数 设二元函数z f x y 在点P0 x0 y0 的某一邻域 内有定义 l是以P0 x0 y0 为起点的射线 为其方向向量 如果极限 2 存在 则称此极限为函数z f x y 在点P0 x0 y0 记为 如果函数f x y 在区域D内任何一点 x y 处沿方向 或 的方向导数都存在 注 方向导数是函数沿半直线方向的变化率 则为D内的一个函数 称为f x y 沿方向的方向导函数 简称方向导数 处沿方向的方向导数 3 t一定为正 是函数在某点沿任何方向的变化率 方向导数 偏导数 分别是函数在某点沿平行于坐标轴的直线 x y可正可负 的变化率 4 的方向导数存在 同理 函数 的方向导数存在 存在时 当函数 5 函数 函数 6 类似 可定义三元函数的方向导数 对于三元函数 它在空间一点 的方向导数 定义为 其中 7 定理9 12 处可微 则函数 且 其中 类似地 如果三元函数 处可微 且 其中 8 注 即为 1 2 计算方向导数只需知道l 的方向及函数的 偏导数 在定点 的方向导数为 3 4 关系 方向导数存在 偏导数存在 可微 9 解 令 故 其方向余弦为 例设 处指向外侧的法向量 求函数 10 故 11 解 1 最大值 2 最小值 3 等于零 并问在怎样的方向上此方向导数有 例求函数 12 故 1 方向导数达到最大值 方向导数达到最小值 方向导数等于0 和 2 3 13 考虑函数定点P0 3 1 P1 2 3 解 求函数在P0沿方向的方向导数 练习 14 练习 求函数在点处沿 解 切线方向的方向向量 在此点的切线方向上 曲线 的方向导数 15 解 此方向的方向向量为 练习 16 方向导数 最大或最小 9 8 2梯度的概念 问题 函数沿什么方向的方向导数为 方向导数取最大值 方向导数取最小值 其中 而 方向一致时 方向相反时 17 定义9 6 记作 即 处的梯度 则梯度又可记为 引用记号 称为奈布拉算子 或称为 向量微分算子或哈密尔顿算子 18 结论 函数在某点的梯度是这样一个向量 它的方向与取得最大方向导数的方向一致 而它的模为方向导数的最大值 梯度的模为 沿着方向 函数减少得最快 方向 模 f变化率最大的方向 f的最大变化率之值 19 在几何上 被平面 所得曲线在xOy面上投影是一条平面曲线 称为曲面的等高线 表示一个曲面 所截得 等高线 两端微分 得 20 法线的斜率为 所以梯度为等高线上点P处的法向量 由于等高线 上任一点 等高线 21 梯度与等高线的关系 在同一直线上 且从数值较低的等高线指向数值较高的等高线 的梯度的方向与点P的等高 22 此梯度也是一个向量 其方向与取得最大方 梯度的概念可以推广到三元函数 则函数在该点的梯度为 设三元函数在点P处可微分 向导数的方向一致 其模为方向导数的最大值 23 解 故 可得 在处梯度为 令 例求函数在点 处的梯度 并问在哪些点处梯度为零 24 解 练习 25 解因为 正南方向 问他应当怎样往上登才能攀登得最快 例一个登山者在山坡上点处 山坡 的高度z近似为若以x轴正向为 在点处 与梯度方向