第8章 数字电路基础.ppt

电子学基础 制作 王林炜 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 2 逻辑函数及其表示方法 3 逻辑函数的化简 4 逻辑门电路 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 一 数字电路概述二 逻辑代数基础 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 一 数字电路概述 在时间上和幅度上离散的信号称为数字信号 处理数字信号的电路称为数字电路 所谓处理数字信号 就是传输 控制或变换数字信号 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 一 数字电路概述 数字信号通常只有高电平和低电平两种状态 这两种状态在二进制中可用1和0来表示 数字电路研究的主要对象是电路单元系统的输入和输出状态之间的逻辑关系 即电路的逻辑功能 分析这些逻辑关系 使用的基本数学工具是逻辑代数 描述电路逻辑功能的主要方法有 真值表 逻辑函数式 逻辑图和卡诺图 一 数字电路概述 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 一 数字电路概述 逻辑代数 英国数学家GeorgeBoole首先提出的进行逻辑运算的数学方法 又称布尔代数 是分析和设计数字电路的基本数学工具 它的基本和常用运算也是数字电路要实现的重要操作 本节主要讲解逻辑代数的基本概念 公式和定理 逻辑函数的公式化简法和卡诺图化简法 几种常用逻辑函数的表示方法及其相互转换 一 数字电路概述 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 一 数字电路概述 逻辑代数和普通代数相比 虽然也有变量 但情况要简单的多 在二值逻辑中 变量取值只有1和0 且此处1和0并不表示数值大小 而是表示两种不同的逻辑状态 例如 用1和0表示一个事件的是与非 真与假 电压的高与低 电流的有与无 开关的通与断等等 在逻辑代数中有些公式与定理与普通代数并无区别 有些则完全不同 二 逻辑代数基础 一 数制和代码 二 逻辑代数基础 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 1 数制 多位数码中每一位的构成方法以及计数进位的规则称为数制 常用的数制有十进制 二进制 八进制和十六进制 十进制 Decimal 十进制是我们生活实践中最常使用的数制 十进制数的每一位用0 9十个数码来表示 其计数基数是10 大于9的数需用多位数表示 其中低位和相邻高位间是逢十进一 故称十进制 二 逻辑代数基础 一 数制和代码 二 逻辑代数基础 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 1 数制 十进制 Decimal 多位十进制数中的数码在不同位置所代表的数值是不一样的 423 25 10 4 102 2 101 3 100 2 10 1 5 10 2 任意一个十进制数均可以表示为 其中Ki是第i位的系数 它可以是0 9十个数码中的任何一个 若整数部分的位数是n 小数部分的位数是m 则i包含从n 1到0的所有正整数和从 1到 m的所有负整数 式中10i称为十进制第i位的 权 显然一个数每一位的含意不仅取决于该位数码本身 还取决于该位的权 二 逻辑代数基础 一 数制和代码 二 逻辑代数基础 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 1 数制 十进制 Decimal 若用N代替上式中的10 就得到任意进制 N进制 数展开式的普遍形式 其中i的取值与前述的规定相同 二 逻辑代数基础 一 数制和代码 二 逻辑代数基础 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 1 数制 二进制 Binary 在数字电路中采用的数制是二进制 二进制数的每一位仅有0和1两个数码来表示 计数基数是2 计数规律是 逢二进一 即1 1 10 读做 壹零 任何一个二进制数均可展开为 将展开后的数加起来就得到与该二进制数等值的十进制数 即 1011 11 2 11 75 10 例如 1011 11 2 1 23 0 22 1 21 1 20 1 2 1 1 2 2 二 逻辑代数基础 一 数制和代码 二 逻辑代数基础 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 1 数制 八进制 Octal 在八进制数中 每一位用0 7八个数码表示 计数基数是8 计数规律是 逢八进一 任何一个八进制数均可展开为 例如 37 41 8 3 81 7 80 4 8 1 1 8 2 将展开后的数加起来就得到与该八进制数等值的十进制数 即 37 41 8 31 515625 10 二 逻辑代数基础 一 数制和代码 二 逻辑代数基础 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 1 数制 十六进制 Hexadecimal 在十六进制数中 每一位可用0 9以及A B C D E F共16个数码表示 其中A B C D E F6个数码依次表示10 15 计数基数是16 计数规律是 逢十六进位 即 4 16 C 16 10 16 任何一个十六进制数均可展开为 例如 2A 7F 16 2 161 A 160 7 16 1 F 16 2 2A 7F 16 42 44140625 10 目前在微型计算机中普遍采用8位 16位和32位二进制数并行运算 而8位 16位和32位二进制数可以用2位 4位和8位十六进制数来表示 所以用十六进制编码写程序十分方便 且十六进制数和二进制数之间的转换非常简单 这使得十六进制的应用更为广泛 二 逻辑代数基础 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 二 逻辑代数基础 一 数制和代码 1 数制 十六进制 Hexadecimal 二 逻辑代数基础 不同数制对照表 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 二 逻辑代数基础 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 二 逻辑代数基础 一 数制和代码 2 数制的转换 十进制数转换成二进制数 一个十进制数一般包括整数和小数两部分 需将整数部分和小数部分分别进行转换 再将转换结果排列在一起就得到完整的转换结果 整数部分的转换方法是 除2取余法 将整数部分连续除以2直至商为0 每次的余数即为二进制数码 最初得到的为整数的最低有效系数K0 最后得到的为整数的最高有效系数Kn 1 二 逻辑代数基础 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 二 逻辑代数基础 一 数制和代码 2 数制的转换 十进制数转换成二进制数 小数部分的转换方法是 乘2取整法 十进制小数转换成二进制小数采用 乘2取整 顺序排列 法 具体做法是 用2乘十进制小数 可以得到积 将积的整数部分取出 再用2乘余下的小数部分 又得到一个积 再将积的整数部分取出 如此进行直到积中的小数部分为零 或者达到所要求的精度为止 然后把取出的整数部分按顺序排列起来 先取的整数作为二进制小数的高位有效位 后取的整数作为低位有效位 二 逻辑代数基础 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 二 逻辑代数基础 一 数制和代码 2 数制的转换 十进制数转换成二进制数 23 125 10 10111 001 2 例如 将 23 125 10转换成二进制数 二 逻辑代数基础 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 二 逻辑代数基础 一 数制和代码 2 数制的转换 十进制数转换成二进制数 二 逻辑代数基础 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 二 逻辑代数基础 一 数制和代码 2 数制的转换 二进制数与八进制数之间的转换 a 二进制数转换成八进制数 将二进制数转换成八进制数要分别对整数和小数进行转换 整数部分的转换从最低位起 每3位分为一组 最后不足3位的用0补足 每组用1位相应的八进制数码替代 小数部分的转换从小数点后第一位起 每3位分为一组 最后不足3位的用0补足 将每组二进制数用相应的八进制数码替代即可 例如 二进制 1110101100 10110011 八进制 1654 546 00 0 二 逻辑代数基础 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 二 逻辑代数基础 一 数制和代码 2 数制的转换 二进制数与八进制数之间的转换 b 八进制数转换成二进制数 八进制数转换成二进制数 只要将每位八进制数用相应3位的二进制数来表示即可 例如 652 31 8 110101010 011001 2 二 逻辑代数基础 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 二 逻辑代数基础 一 数制和代码 2 数制的转换 二进制数与十六进制数之间的转换 a 二进制数转换成十六进制数 将二进制数转换成十六进制数也要分别对整数和小数进行转换 整数部分转换从最低位起 每4位分为一组 最后不足4位的用0补足 每组用1位相应的16进制数码替代 小数部分转换从小数点后第一位起 每4位分为一组 最后不足4位的用0补足 将每组二进制数用相应的十六进制数码替代即可 例如 二进制 1111011 1110101 十六进制 7B EA 0 0 二 逻辑代数基础 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 二 逻辑代数基础 一 数制和代码 2 数制的转换 b 十六进制数转换成二进制数 十六进制数转换成二进制数 只要将每位十六进制数用相应4位的二进制数来表示即可 例如 2A 7D 16 00101010 01111101 2 二进制数与十六进制数之间的转换 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 二 逻辑代数基础 3 二进制代码 用二进制数表示文字 符号等信息的过程叫做编码 进行编码之后的二进制数称为二进制代码 若对N项信息进行编码 则需要使用的二进制代码的位数n应满足以下关系 2n N 十进制数0 9十个数码的二进制编码 BCD码 BCD是BinaryCodedDecimalcode的缩写 BCD码有两类 有权BCD码 8421码 2421码 5421码 无权BCD码 余3码 格雷码 余3循环码 二 逻辑代数基础 一 数制和代码 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 二 逻辑代数基础 8421码 8421码是取4位二进制数前10种码组0000 1001来表示0 9这10个十进制数码 其余6种组码为禁用码 可以看出这种编码中的每一种代码的4位二进制数 其位权依次是8 4 2 1 且每个代码的十进制数值 恰好就是它所表示的十进制数码 3 二进制代码 二 逻辑代数基础 一 数制和代码 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 二 逻辑代数基础 余3码 余3码是在8421码基础上 每一个8421代码加上0011 即每一个余3码的4位二进制数的十进制数值要比它编码对应的十进制数码多余3 故称余3码 从编码表中可以看出0和9 1和8 2和7 3和6 4和5的码组互为反码 即余3码具有互补性 3 二进制代码 二 逻辑代数基础 一 数制和代码 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 二 逻辑代数基础 格雷码 格雷码不仅相邻两个代码只有一位不同 且首尾两个代码也仅有一位不同 此外 格雷码还具有反射相邻性 即以中间为对称的两个代码 1和14 2和13等 仅有一位不同 格雷码中每1位代码从上到下的排列顺序都以固定的周期循环 其中右起第1位的循环周期是0110 第2位的循环周期是00111100 第3位的循环周期是0000111111110000 等等 3 二进制代码 二 逻辑代数基础 一 数制和代码 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 二 逻辑代数基础 几种BCD码 3 二进制代码 二 逻辑代数基础 一 数制和代码 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 二 逻辑代数基础 ASCII码 AmericaStandardCodeforInformationInterchange 美国信息交换标准代码 由美国国家标准化协会 ANSI 制定的一种信息代码 广泛地应用于计算机和通讯领域 ASCII码已由国际标准化组织 ISO 认定为国际通用的标准代码 早期的ASCII码采用7位二进制代码对字符进行编码 它包括32个通用控制字符 10个阿拉伯数字 52个英文大 小字母 34个专用符号共128个 7位ASCII代码在最高位添加一个 0 组成8位代码 正好占一个字节 在存储和传输信息中 最高位常作为奇偶校验位使用 扩展ASCII码 即第八位不再视为校验位而是当作编码位使用 扩展ASCII码有256个 ASCII码是目前各计算机系统中使用最普遍也最广泛的英文标准码 相对于ASCII码 中文系统使用最广泛的内码则为Big 5码 ASCII码 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 二 逻辑代数基础 第八章数字电路基础 1 逻辑代数基础 二 逻辑代数基础 2 逻辑函数及其表示方法 一 逻辑变量与逻辑函数二 基本逻辑关系三 基本逻辑运算和复合逻辑运算四 逻辑函数的表示方法 第八章数字电路基础 2 逻辑函数及其表示方法 在逻辑代数中 也用英文字母表示变量 叫做逻辑变量 其取值十分简单 在二值逻辑中 逻辑变量取值不是1就是0 没有第三种可能 这里的1和0没有数值大小的含义 所表示的是事物互相对立而又联系着的两个方面 即两种状态 第八章数字电路基础 2 逻辑函数及其表示方法 一 逻辑变量与逻辑函数 一 逻辑变量与逻辑函数 数字电路的输出量与输入量之间具有一定的逻辑关系 即输入逻辑变量A B 和输出逻辑变量Y之间是一种函数关系 称为逻辑函数 记为 第八章数字电路基础 2 逻辑函数及其表示方法 一 逻辑变量与逻辑函数 二 基本逻辑关系 当决定某一事件的各个条件都具备时 该事件才会发生 这样的因果关系 称与逻辑 与逻辑 当决定某一事件的各个条件中 只要有一个具备 该事件就会发生 这样的因果关系 称为或逻辑 或逻辑 某一事件的发生取决于某个条件的否定 即该条件具备了 事件便不发生 此条件不具备时 该事件一定发生 这样的因果关系 称为非逻辑 非逻辑 第八章数字电路基础 2 逻辑函数及其表示方法 一 逻辑变量与逻辑函数 三 基本逻辑运算和复合逻辑运算 与运算 1 基本逻辑运算 真值表 矩形逻辑符号 特定外形形逻辑符号 第八章数字电路基础 2 逻辑函数及其表示方法 一 逻辑变量与逻辑函数 三 基本逻辑运算和复合逻辑运算 1 基本逻辑运算 或运算 矩形逻辑符号 特定外形形逻辑符号 第八章数字电路基础 2 逻辑函数及其表示方法 一 逻辑变量与逻辑函数 三 基本逻辑运算和复合逻辑运算 非运算 矩形逻辑符号 特定外形形逻辑符号 1 基本逻辑运算 第八章数字电路基础 2 逻辑函数及其表示方法 一 逻辑变量与逻辑函数 三 基本逻辑运算和复合逻辑运算 2 复合逻辑运算 与非运算 矩形逻辑符号 与运算和非运算组成的复合运算 特定外形形逻辑符号 第八章数字电路基础 2 逻辑函数及其表示方法 一 逻辑变量与逻辑函数 三 基本逻辑运算和复合逻辑运算 2 复合逻辑运算 或非运算 或运算和非运算组成的复合运算 矩形逻辑符号 特定外形形逻辑符号 第八章数字电路基础 2 逻辑函数及其表示方法 一 逻辑变量与逻辑函数 三 基本逻辑运算和复合逻辑运算 2 复合逻辑运算 与或非运算 与运算和或非运算组成的复合运算 矩形逻辑符号 特定外形形逻辑符号 第八章数字电路基础 2 逻辑函数及其表示方法 一 逻辑变量与逻辑函数 三 基本逻辑运算和复合逻辑运算 2 复合逻辑运算 异或运算 异或运算的特点由真值表可以看出 当两个输入逻辑变量A B取值相异时 输出函数Y为1 当两个输入逻辑变量A B取值相同时 输出函数Y为0 矩形逻辑符号 特定外形形逻辑符号 第八章数字电路基础 2 逻辑函数及其表示方法 一 逻辑变量与逻辑函数 三 基本逻辑运算和复合逻辑运算 2 复合逻辑运算 同或运算 异或运算的特点由真值表可以看出 当两个输入逻辑变量A B取值相异时 输出函数Y为0 当两个输入逻辑变量A B取值相同时 输出函数Y为1 矩形逻辑符号 特定外形形逻辑符号 逻辑真值表 简称真值表 逻辑函数表达式 逻辑图和卡诺图是逻辑函数的四种表示方法 第八章数字电路基础 2 逻辑函数及其表示方法 一 逻辑变量与逻辑函数 四 逻辑函数的表示方法 经过变量设定和状态赋值后 便可得到反映条件变量与结果变量之间逻辑关系的数学表达形式 真值表 即将条件变量的各种可能取值和相应的结果取值 函数值 以表格形式全部列出来表示变量与函数之间的关系 1 真值表 用与 或 非等逻辑运算表示逻辑变量之间的关系组合表达式 称为逻辑代数式 又称为函数表达式 第八章数字电路基础 2 逻辑函数及其表示方法 一 逻辑变量与逻辑函数 四 逻辑函数的表示方法 根据真值表可以写出表达式 方法是 首先找出函数值Y 1的变量组合 其次在找到的变量组合中 若变量值为1 则写变量本身 为0则写其反变量 于是相应于函数值为1的一个变量组合可以写成一个乘积项 最后将得到的所有乘积项相加就得到与真值表相应的逻辑函数表达式 2 逻辑函数表达式 例 论文评审表决 第八章数字电路基础 2 逻辑函数及其表示方法 一 逻辑变量与逻辑函数 四 逻辑函数的表示方法 与或标准型 表达式 2 逻辑函数表达式 逻辑图就是用逻辑符号及连线表示逻辑函数关系而构成的图形 例 第八章数字电路基础 2 逻辑函数及其表示方法 一 逻辑变量与逻辑函数 四 逻辑函数的表示方法 3 逻辑图 几种表示逻辑函数的方法可以用来描述同一个逻辑函数关系 它们之间必有内在联系 可以互相转换 第八章数字电路基础 2 逻辑函数及其表示方法 一 逻辑变量与逻辑函数 四 逻辑函数的表示方法 4 几种表示方法之间的转换 根据逻辑图写逻辑函数表达式 方法是 由前级门逐级向后 根据各个门的输入变量 写出其输出的逻辑关系式 即得相应得逻辑函数式 方法是 首先根据逻辑函数表达式中输入变量的个数n 列出输入变量的2n种组合 再将输入变量的各种取值列表 并逐一代入逻辑表达式中进行计算 最后将结果也填入表中 便可得到相应的真值表 第八章数字电路基础 2 逻辑函数及其表示方法 一 逻辑变量与逻辑函数 四 逻辑函数的表示方法 4 几种表示方法之间的转换 根据逻辑函数表达式写真值表 3 逻辑函数的化简法 一 逻辑代数的公式和规则二 逻辑函数的代数化简法三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 逻辑函数表达式的类型是多种多样的 通常逻辑函数表达式并不是最简形式或实际需要的形式 这就需要对逻辑函数式进行化简或根据实际需要转换成一定的形式 与或表达式 或与表达式 与非 与非表达式 或非 或非表达式 与或非表达式 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 化简逻辑函数的目的就是要消去多余的乘积项和每个乘积项中多余的因子 以得到逻辑函数式的最简形式 化简逻辑函数常用的方法有 代数化简法 就是利用逻辑代数中的公式和规则进行化简 卡诺图化简法 即利用卡诺图进行化简 适用于编制计算机辅助分析程序的Q M法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 基本公式 0 1律 一 逻辑代数的公式和规则 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 一 逻辑代数的公式和规则 自等律 重叠律 互补律 非非律 交换律 结合律 分配律 吸收律 反演律 摩根定理 一 逻辑代数的公式和规则 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 常用公式 一 逻辑代数的公式和规则 a 代入规则 逻辑运算运算的基本规则 一 逻辑代数的公式和规则 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 一 逻辑代数的公式和规则 在任何一个含有变量A的逻辑等式中 若将所有出现A的位置 都以另一个逻辑表达式带入 则等式仍然成立 对任意一个逻辑函数式Y 若将式中符号 换成 换成 0换成11换成0原变量换成反变量反变量换成原变量那么所得的逻辑函数式就是Y的反函数 逻辑运算运算的基本规则 一 逻辑代数的公式和规则 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 一 逻辑代数的公式和规则 b 反演规则 利用反演律需注意两点 需遵循先括号 然后与 最后或的运算顺 不是单个变量上的非号 均应保持不变 逻辑运算运算的基本规则 一 逻辑代数的公式和规则 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 一 逻辑代数的公式和规则 b 反演规则 对任意一个逻辑函数表达式Y 若将其中的 换成 换成 0换成11换成0由此得到一个新的函数式 称为Y的对偶式 变换时仍需遵守需遵循 先括号 然后与 最后或 的运算顺序 对偶定理 若两逻辑式相等 则它们的对偶式也相等 逻辑运算运算的基本规则 一 逻辑代数的公式和规则 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 一 逻辑代数的公式和规则 c 对偶规则 逻辑运算运算的基本规则 一 逻辑代数的公式和规则 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 一 逻辑代数的公式和规则 c 对偶规则 有时为了证明两个逻辑式相等 可通过证明它们的对偶式相等来完成 因为在有些情况下证明对偶式相等更容易 证明 首先写出等式两边的对偶式 分别是 由分配律可知两对偶式相等 根据对偶定理 原来的两式必然相等 一 逻辑代数的公式和规则 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 二 逻辑函数的代数化简法 代数化简法的原理就是灵活应用逻辑代数的基本公式和常用公式消去函数中多余的乘积项和多余的因子 以求得函数式的最简形式 代数化简法没有固定的模式或步骤 下面将一些经常使用的方法归纳如下 并项法 利用公式 将两项合并为一项 并消去一对互为反的因子 一 逻辑代数的公式和规则 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 二 逻辑函数的代数化简法 吸收法 利用公式 可消去一个乘积 消去法 a 消因子法 利用公式 可消去一个多余因子 使乘积项中的因子减少 b 消项法 利用公式可消去多余的乘积项 利用公式 人为地加上一些多余项 或利用公式把某些项乘以展开后消去更多的项 以获得更加简化的函数式 配项法 一 逻辑代数的公式和规则 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 二 逻辑函数的代数化简法 配项 并项 吸收 配项法 一 逻辑代数的公式和规则 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 二 逻辑函数的代数化简法 配项法 一 逻辑代数的公式和规则 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 二 逻辑函数的代数化简法 用配项法化简 除以上介绍的两种配项方法外 有时我们采用在函数式中加上适当的多余项的办法对逻辑函数进行化简 其原则是 a 增加了新项不会影响函数的逻辑关系 b 增加的新项便于与其它项合并 配项法 一 逻辑代数的公式和规则 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 二 逻辑函数的代数化简法 应用代数法化简逻辑函数时 需要对基本公式和常用公式比较熟悉 并在练习中注意总结化简技巧 一般来说 先用并项法 吸收法和消去法 在以上三种方法不能直接选用的情况下考虑配项法 另外 在化简过程中要注意以下两点 a 如果给定的逻辑表达式不是与或形式的 一般先将其转换成与或形式 b 化简后的与或表达式不是唯一的 但它们乘积项的个数以及每个乘积项的因子都应是最少的 一 逻辑代数的公式和规则 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 二 逻辑函数的代数化简法 一 逻辑代数的公式和规则 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 1 4消2 1 5消6 4 5消3 2 3消4 2 6消1 3 6消5 二 逻辑函数的代数化简法 习题 四版教材P444 4458 1 8 6 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 五版教材P2867 1 7 6 1 逻辑函数的最小项 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 在n个变量的逻辑函数中 如果一个乘积项m包含n个因子 而且每个因子以原变量或反变量的形式仅在此乘积项中出现一次 那么我们就称这样的乘积项叫做n变量的最小项 显然n个变量共有2n个最小项 例如 三个变量A B C 其最小项数应为23个 即 变量的每一组取值都使一个对应的最小项的值等于1 1 逻辑函数的最小项 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 最小项编号 对应十进制数 最小项的编号方法 把最小项的变量取值视为二进制数 则相应的十进制数就是该最小项的编号 任一逻辑函数表达式都可以变换为最小项之和的形式 上式还可写为 1 逻辑函数的最小项 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 最小项具有下列性质 a 任何一个最小项 只有一组变量取值使其逻辑值为1 此组变量取值即这一最小项的编号 b 任意两个不同最小项之积必为0 c 全部最小项之和恒等于1 d 具有相邻性的两个最小项之和可以合并成一项并消去一对因子 1 逻辑函数的最小项 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 相邻 两个最小项只有一个变量不同 1 逻辑函数的最小项 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 某乘积项中 若少1个变量 则它对应2个最小项 若少2个变量对应4个最小项 若少3个变量对应8个最小项 逻辑函数的最大项 在n个变量的逻辑函数中 如果M为n个变量之和 而且每个变量以原变量或反变量的形式仅在M中出现一次 则称M为n变量的最大项 显然 n个变量共有2n个最大项 例如三个变量A B C 其最大项数应为23个 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 n变量的最大项数目和最小项数目是相等的 变量的每一组取值都使一个对应的最大项的值等于0 逻辑函数的最大项 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 最大项的编号方法是 在最大项中逻辑变量以原变量形式出现时变量取值记为0 以反变量形式出现时变量取值记为1 把最大项的变量取值视为二进制数 则相应的十进制数就是该最大项的编号 任一逻辑函数表达式都可以变换为最大项之积的形式 上式还可写为 分配律 逻辑函数的最大项 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 a 任何一个最大项 只有一组变量取值使其逻辑值为0 此组变量取值即这一最大项的编号 b 任意两个不同最大项之和必为1 c 全部最大项之积恒等于0 d 具有相邻性的两个最大项之积可以合并成一项并消去一对因子 最大项具有下列性质 逻辑函数的最大项 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 最大项和最小项之间存在如下关系 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 2 卡诺图的画法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 卡诺图一般画成矩形或正方形 对于n个变量 在矩形或正方形中划分2n个小方块 每个小方块表示一个最小项 几何相邻的小方块对应的最小项具有逻辑相邻性 画卡诺图时 首先将变量分组 若分得的变量组内只有单个变量 则取值顺序按0 1排列 两个或两个以上变量取值顺序按格雷码的规则排列 2 卡诺图的画法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 DEABC CDAB BCA 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 3 用卡诺图表示逻辑函数 a 若已知逻辑函数真值表 则只需在相同变量的卡诺图上 将真值表中每组变量取值所对应的函数值填入相应的小方格中 就可以得到该逻辑函数的卡诺图 0 0 1 1 1 0 0 0 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 3 用卡诺图表示逻辑函数 b 若已知逻辑函数表达式 要画相应的卡诺图 首先要将逻辑函数表达式转换为标准的最小项之和的形式 然后在相同变量的卡诺图上与这些最小项对应的位置上填入1 其余位置填0 即得到该逻辑函数表达式对应的卡诺图 1 1 1 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 3 用卡诺图表示逻辑函数 在熟练的情况下 逻辑函数表达式不一定要转化成标准的最小项之和的形式 只要转化成一般的与或表达式即可 画卡诺图时 只需把转化所得的与或表达式中的每一个乘积项所包含的那些最小项处填1 其余填0 四版教材P400例8 3 4 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 4 用卡诺图化简逻辑函数 在卡诺图中 由于任意几何相邻的小方格所代表的最小项具有逻辑相邻性 因此 用卡诺图化简逻辑函数的本质就是合并最小项以消去相应的变量 a 合并最小项的规则 若两个最小项相邻 则可合并为一项并消去一个因子 合并后的结果只剩下公共因子 若四个最小项相邻并排列成一个矩形组 则可合并为一项并消去两个因子 若八个最小项相邻并排列成一个矩形组 则可合并为一项并消去三个因子 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 4 用卡诺图化简逻辑函数 b 卡诺图的化简步骤 将给出的逻辑函数化为最小项之和的形式或一般与或表达式 画出表示该逻辑函数的卡诺图按照合并规则找出可以合并的最小项选取化简后的乘积项 写出最简与或表达式 这些乘积项应包含函数式的所有最小项所有乘积项数目最少每个乘积项包含的因子最少 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 4 用卡诺图化简逻辑函数 为了能得到最简逻辑函数式 现将圈最小项的原则归纳如下 每个圈尽可能大 使化简后乘积项含因子最少 每个圈中最少有个最小项仅被圈过一次 以免出现多余项 用最少的圈数覆盖函数的全部最小项 使乘积项的个数最少 但又不能漏项 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 4 用卡诺图化简逻辑函数 一般来说 为了做到以上几条 画圈方法有以下两种 a 先圈小圈后圈大圈圈最小项的顺序是 首先圈不能合并的孤立最小项 再圈仅有一种圈法的最小项 最后用尽可能大的圈覆盖剩余最小项 b 先圈大圈后圈小圈圈最小项的顺序是 首先用最大的圈圈函数的最小项 再用尽可能大的圈圈剩余最小项 最后圈不能合并的孤立最小项 无论怎样圈 最后都要检查一下是否出现了多余项 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 4 用卡诺图化简逻辑函数 例 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 4 用卡诺图化简逻辑函数 例 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 4 用卡诺图化简逻辑函数 例 四版教材P404例8 3 5例8 3 6 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 4 用卡诺图化简逻辑函数 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 5 具有无关项的逻辑函数的化简 a 约束项 任意项和无关项 若逻辑函数输入变量的取值受到限制 我们称这种限制为约束 这样一组输入变量叫做具有约束的变量 例如 逻辑变量A B C分别表示电动机的正转 反转和停转控制 A 1表示正转 B 1表示反转 C 1表示停转 因为电动机任何时刻只能处于其中一种状态 不允许两个以上的变量同时为l 也不允许三个变量同时为0 因此 ABC的取值只能是100 010 001中的一种 而不能是000 011 101 110和111中的任何一种 可见A B C的取值不是任意的 它们是一组具有约束的变量 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 5 具有无关项的逻辑函数的化简 a 约束项 任意项和无关项 约束的表示方法 如上例用文字描述约束条件很不方便 若能用简单 明了的逻辑语言表述约束条件当然最好 由于每一组变量取值能使一个而且仅有一个最小项的逻辑值为1 因此 当限制某些变量的取值时 可以用它们对应的最小项等于0来表示 则上例中的约束条件可表示为将这些等于0的最小项称为函数Y1 Y2和Y3的约束项 或 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 5 具有无关项的逻辑函数的化简 a 约束项 任意项和无关项 还有一种情况 就是在输入变量的某些取值下函数值是1还是0皆可 并不影响电路的功能 这些变量取值下等于1的那些最小项称为任意项 仍以电动机的正转 反转和停转控制为例 若电路设计成当A B C三个控制变量出现两个以上同时为1或全部为0时电路能自动切断电源 那么Y1 Y2和Y3等于1还是等于0已无关紧要 例如 当出现A B C 1时 对应的最小项是ABC 此项写入Y1式中 则当A B C 1时 Y1 1 不写入 则当A B C 1时 Y1 0 而此时Y1 1还是Y1 0都是允许的 故最小项ABC可写入Y1 也可以不写入 称ABC为逻辑函数Y1的任意项 同理 也是任意项 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 5 具有无关项的逻辑函数的化简 无论是约束项还是任意项 它们都对电路的输出逻辑函数无影响 也就是说输出函数与这些最小项无关 因此 我们把约束项和任意项统称为无关项 这里所说的 无关 是指将这些最小项写入或不写入逻辑函数表达式都无关紧要 a 约束项 任意项和无关项 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 三 逻辑函数的卡诺图化简法 b 具有无关项的逻辑函数的化简 化简具有无关项的逻辑函数时 如能合理利用无关项 一般都可得到更加简单的化简结果 因为无关项在输出函数的与或表达式中 写入或不写入都不影响函数值 因此在函数的卡诺图中 在无关项方格既可填入1 也可填入0 通常填入 表示 利用无关项化简函数可以使函数式更加简化 5 具有无关项的逻辑函数的化简 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 例 某电路输入为8421码 输出函数Y的真值表如表所示 求Y的最简与或表达式 三 逻辑函数的卡诺图化简法 4 用卡诺图化简逻辑函数 三 逻辑函数的卡诺图化简法 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 四版教材P4458 7 8 10 习题 五版教材P2867 7 7 10 逻辑函数表达式类型的变换 逻辑函数表达式类型的变换 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 带入规则 逻辑函数表达式类型的变换 第八章数字电路基础 3 逻辑函数的化简法 逻辑函数表达式类型的变换 4 逻辑门电路 一 门电路概述二 基本逻辑门电路 第八章数字电路基础 4 逻辑门电路 一 门电路概述 1 门电路的概念和分类用于实现基本逻辑运算 复合逻辑运算的单元电路称为门电路 常用的门电路有与门 与非门 或门 或非门 与或非门 异或门等等 门电路是构成各种数字电路的基本逻辑单元 门电路分为分立元件门电路和集成门电路 分立元件门电路结构简单 功能较差 目前在数字电路中已很少使用 但用它可以说明一些基本概念和分析方法 集成门电路种类多 功能强 使用广泛 最常用的有TTL和CMOS两个系列 第八章数字电路基础 4 逻辑门电路 一 门电路概述 第八章数字电路基础 4 逻辑门电路 一 门电路概述 数字集成电路 自1961年在美国得克萨斯仪器公司诞生第一块数字集成电路以来 在大多数领域数字IC迅速取代了分立元件组成的数字电路 从制造工艺上可将目前使用的数字IC分为双极型 单极型和混合型三种 TTL型 速度快 驱动能力强 功耗大 只能中小规模集成 SSI SmallScaleIntegration 门个数 10 MSI MediumScaleIntegration 10 门个数 100 CMOS型 速度较慢 驱动能力弱 功耗极低 适合大规模集成 LSI LargeScaleIntegration 1000 门个数 104 VLSI VeryLargeScaleIntegration 门个数 104 2 门电路的性能 门电路的性能包括两方面的内容 一方面是它的逻辑功能 即输出信号与输入信号之间的逻辑关系 另一方面是它的电气特性 即电路输入和输出电压 电流之间的关系 了解一个门电路 不仅要掌握其逻辑功能 而且要熟悉其电气特性 这样才能合理使用这些器件 完成规定的任务 电气特性包括静态特性和动态特性 静态特性是指电路在稳态时 电压电流间的关系 它包括电压传输特性 输入特性和输出特性 动态特性是指电路在状态转换过程中电压电流间的关系 它包括传输时间和动态尖峰电流等 第八章数字电路基础 4 逻辑门电路 一 门电路概述 3 高 低电平与正 负逻辑 高电平和低电平是两种状态 是两个不同的可以截然区别开来的电压范围 例如 在右图中 2 4 5V范围内的电压 都叫高电平 用VH表示 0 0 8V范围内的电压 都叫低电平 用VL表示 第八章数字电路基础 4 逻辑门电路 一 门电路概述 在数字电路中 用高 低电平表示二值逻辑的0和1两种逻辑状态 若以高电平表示1 低电平表示0 称为正逻辑赋值 简称正逻辑 若以高电平表示0 低电平表示1 则称为负逻辑赋值 简称负逻辑 对同一个电路 可以采用正逻辑 也可以采用负逻辑 但根据选用的正 负逻辑的不同 即使是同一个电路也具有不同的逻辑功能 第八章数字电路基础 4 逻辑门电路 一 门电路概述 二 基本逻辑门电路 在数字电路中 高 低电平表示二值逻辑的0和1两种逻辑状态 获得高 低电平的原理如图所示 开关断开时输出高电平 开关闭合时输出低电平 开关断开与闭合两种状态之间的转换受输入信号控制 即输出信号的高 低电平由输入信号来控制 数字电路中起开关作用的器件有 半导体二极管 三极管 MOS管 第八章数字电路基础 4 逻辑门电路 二 基本逻辑门电路 a 单开关电路 b 互补开关电路 单开关电路的主要缺点是功耗比较大 当S导通使Vo为低电平时 电源电压全部加在电阻R上 功耗很大 为克服此缺点 可将单开关电路中的电阻用另一开关替代 就形成了如图所示的互补开关电路 在互补开关电路中 开关S1和S2受同一个输入信号VI控制 但开关状态却是相反的 因此 无论Vo输出低电平还是高电平 开关S1和S2总有一个是断开的 通过S1和S2的电流始终为零 功耗极小 第八章数字电路基础 4 逻辑门电路 二 基本逻辑门