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第2讲数列的求和及应用 高考定位高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现 通过分组转化 错位相减 裂项相消等方法求数列的和 难度中档偏下 真题感悟 2016 山东卷 已知数列 an 的前n项和Sn 3n2 8n bn 是等差数列 且an bn bn 1 考点整合 1 数列求和常用方法 1 分组转化求和 把数列的每一项拆成两项 或多项 再重新组合成两个 或多个 简单的数列 最后分别求和 2 错位相减法 适用于各项由一个等差数列和一个等比数列对应项的乘积组成的数列 把Sn a1 a2 an两边同乘以相应等比数列的公比q 得到qSn a1q a2q anq 两式错位相减即可求出Sn 1 2 数列中的不等式问题主要有证明数列不等式 比较大小或恒成立问题 解决方法如下 1 利用数列 或函数 的单调性 2 放缩法 先求和后放缩 先放缩后求和 包括放缩后成等差 或等比 数列再求和 或者放缩后成等差比数列再求和 或者放缩后裂项相消法求和 3 数学归纳法 3 数列与不等式的综合问题 主要题型为 证明不等式 或不等式恒成立问题 转化为最值问题是其主要思路 而求最值常用方法为 作差比较 利用数列单调性求最值 放缩法求最值 热点一数列的求和问题 微题型1 分组转化求和 探究提高在利用分组求和法求和时 由于数列的各项是正负交替的 所以一般需要对项数n进行讨论 最后再验证是否可以合并为一个公式 微题型2 裂项相消法求和 微题型3 错位相减法求和 探究提高 1 所谓 错位 就是要找 同类项 相减 要注意的是相减后得到的部分 在求等比数列的和时 一定要查清其项数 2 为保证结果正确 可对得到的和取n 1 2进行验证 训练1 若数列 an 的前n项和为Sn 对任意正整数n都有4an 3Sn 8 热点二数列与不等式的综合 微题型1 数列中不等式的证明问题 例2 1 2016 泉州二模 已知正项数列 an 的前n项和为Sn 且a1 2 4Sn an an 1 n N 探究提高数列与不等式的证明主要有两种题型 1 利用对通项或结论放缩证明不等式 2 作差法利用数列单调性证明不等式 微题型2 数列中的恒成立问题 探究提高 1 以数列为背景的不等式恒成立问题 多与数列求和相联系 最后利用数列或数列对应函数的单调性求解 2 以数列为背景的不等式证明问题 多与数列求和有关 常利用放缩法或单调性法证明 3 当已知数列关系式时 需要知道其范围时 可借助数列的单调性 即比较相邻两项的大小即可 训练2 2016 广州二模 已知数列 an 的前n项和Sn 满足 Sn 2an 2n n N 1 错位相减法的关注点 2 裂项求和的常见技巧 3 数列与不等式综合问题 1 如果是证
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