第五章 离散时间系统的时域分析幻灯片.ppt

第五章离散系统的时域分析 连续系统微分方程卷积积分拉氏变换连续傅立叶变换卷积定理 离散系统差分方程卷积和Z变换离散傅立叶变换卷积定理 主要内容5 1离散时间系统的模型及求解5 2离散时间系统单位样值响应5 3卷积和及其性质 第一节离散时间系统的模型及求解 7 1离散时间系统的模型及求解 5 1 1离散时间信号 1单位样值信号 UnitSample 2单位阶跃序列 3矩形序列 7 1离散时间系统的模型及求解 123 N 1 4斜变序列 7 1离散时间系统的模型及求解 5指数序列 7 1离散时间系统的模型及求解 6正弦序列 t nTs 7复指数序列 8任意离散序列 5 1 2离散时间系统的数学模型 7 1离散时间系统的模型及求解 1离散线性时不变系统 线性 h n 均匀性 可加性 时不变性 2离散系统的数学模型 输入离散序列 输出离散序列 7 1离散时间系统的模型及求解 系统模型 离散时间系统的数学模型为差分方程 1 一阶前向差分定义 f n f n 1 f n 2 一阶后向差分定义 f n f n f n 1 和 称为差分算子 多要用后向差分 简称差分 3 差分的线性 af1 n bf2 n a f1 n b f2 n 4 二阶差分定义 2f n f n f n f n 1 f n f n 1 f n f n 1 f n 1 f n 2 f n 2f n 1 f n 2 5 m阶差分 mf n f n b1f n 1 bmf n m 7 1离散时间系统的模型及求解 5 1 3常系数差分方程的求解 1迭代法 低阶差分方程求解可用此法 但不容易得到闭式解 7 1离散时间系统的模型及求解 2差分方程的经典解 a0y n a1y n 1 aNy n N b0f n bMf n M 与微分方程经典解类似 y n yh n yp n 1 齐次解yh n 齐次方程a0y n a1y n 1 aNy n N 0其特征方程a0aN a1aN 1 aN 0其根ai i 1 2 N 称为差分方程的特征根 齐次解的形式取决于特征根 当特征根a为单根时 齐次解yh n 形式为 Can当特征根a为r重根时 齐次解yh n 形式为 C1nr 1 C2nr 2 Cr 1n Cr an 7 1离散时间系统的模型及求解 2 特解yp n 激励f n nm m 0 所有特征根均不等于1 yp n Pmnm P1n P0 有r重等于1的特征根 yp n nr Pmnm P1n P0 激励f n an 当a不等于特征根时 yp n Pan 当a是r重特征根时 yp n Prnr Pr 1nr 1 P1n P0 an 激励f n cos n 或sin n 且所有特征根均不等于e j yp n Pcos n Qsin n 特解的形式与激励和自由项的形式有关 3 全响应中待定系数的求解 当求解的系统响应为n 0时 可用初始条件 y 0 y 1 y N 1 求解待定系数 当求解的系统响应为n 0时 可用初始条件 y 0 y 1 y N 1 求解待定系数 通常为第 种情况 通常n 0时 给出 y 0 y 1 y N 1 n 0时 给出 y 0 y 1 y N 1 因此 需要通过叠代法求出所需要的已知条件 7 1离散时间系统的模型及求解 全响应 y n yh n yp n 由前面过程可知 全响应中齐次解含有待定系数 7 1离散时间系统的模型及求解 例题1已知差分方程和初始值如下 求其响应 解 特征方程为 7 1离散时间系统的模型及求解 例题2已知差分方程和初始值如下 求其响应 解 例题3差分方程y n 4y n 1 4y n 2 f n 已知y 0 0 y 1 1 激励f n 2n n 0 求全解 解 特征方程为 2 4 4 0可解得特征根 1 2 2 其齐次解yh n C1n C2 2 n特解为yp n B 2 n n 0代入差分方程得B 2 n 4B 2 n 1 4B 2 n 2 f n 2n解得B 1 4所以得特解 yp n 2n 2 n 0故全解为y n yh yp C1n C2 2 n 2n 2 n 0代入初始条件解得C1 1 C2 1 4 7 1离散时间系统的模型及求解 7 1离散时间系统的模型及求解 例题4已知差分方程和初始值如下 求其响应 解 特解为0 7 1离散时间系统的模型及求解 3零输入响应和零状态响应y n yzi n yzs n yzi n 输入为零只由系统初始值产生的响应 yzs n 系统初始值为零只由激励产生的响应 例题1 若描述某离散系统的差分方程为y n 3y n 1 2y n 2 f n 已知f n 2n n 0 y 1 0 y 2 1 2 求零输入响应 零状态响应和全响应 解 1 yzi n 满足方程yzi n 3yzi n 1 2yzi n 2 0其初始状态yzi 1 y 1 0 yzi 2 y 2 1 2首先递推求出初始值yzi 0 yzi 1 yzi n 3yzi n 1 2yzi n 2 7 1离散时间系统的模型及求解 yzi 0 3yzi 1 2yzi 2 3 0 2 1 2 1yzi 1 3yzi 0 2yzi 1 3 1 2 0 3特征根 1 1 2 2 得yzi n C1 1 n C2 2 n由初始值得C1 1 C2 2yzi n 1 n 2 2 n n 0 2 yzs n 满足方程 yzs n 3yzs n 1 2yzs n 2 f n 初始状态yzs 1 yzs 2 0 由yzs n 3yzs n 1 2yzs n 2 2n递推得yzs 0 1 yzs 1 1 全解yzs n B1 1 n B2 2 n yp n B1 1 n B2 2 n 1 3 2n代入初始值求得B1 1 3 B2 1所以yzs n 1 n 3 2 n 1 3 2n n 0 课堂小结1 常见离散时间信号2 常系数线性差分方程的求解3 零状态响应的求解课后作业P36 42 7 1 单 7 2 双 7 4 7 9 7 10 第二节单位序列响应和阶跃响应 7 2单位序列响应和阶跃响应 5 2 1单位序列响应 由单位序列 n 所引起的零状态响应称为单位序列响应 单位样值响应或单位取样响应 记为h n 例题1已知差分方程为y n y n 1 2y n 2 f n 求单位序列响应h n 解 根据h n 的定义 有h n h n 1 2h n 2 n h 1 h 2 0递推求初始值h 0 和h 1 h n h n 1 2h n 2 n h 0 h 1 2h 2 0 1h 1 h 0 2h 1 1 1 求h n 对于n 0 h n 满足齐次方程h n h n 1 2h n 2 0其特征方程为 a 1 a 2 0所以h n C1 1 n C2 2 n n 0h 0 C1 C2 1 h 1 C1 2C2 1解得C1 1 3 C2 2 3h n 1 3 1 n 2 3 2 n n 0或写为h n 1 3 1 n 2 3 2 n u n 7 2单位序列响应和阶跃响应 7 2单位序列响应和阶跃响应 例题2 求方程y n y n 1 2y n 2 f n f n 2 的单位序列响应h n 解 h n 满足h n h n 1 2h n 2 n n 2 令只有 n 作用时 系统的单位序列响应h1 n 它满足h1 n h1 n 1 2h1 n 2 n h1 n 1 3 1 n 2 3 2 n根据线性时不变性 h n h1 n h1 n 2 1 3 1 n 2 3 2 n u n 1 3 1 n 2 2 3 2 n 2 u n 2 7 2单位序列响应和阶跃响应 5 2 2阶跃响应 由单位序列u n 所引起的零状态响应称为单位阶跃响应 或阶跃响应 记为g n 7 2单位序列响应和阶跃响应 5 2 3由h n 应分析系统的因果性和稳定性 因果性 输出变化不领先于输入变化 或者输出总是滞后于输入或与输入同时产生 稳定性 对于任意有界的输入 其输出 零状态响应 必定有界 因果系统充分必要条件 系统稳定的充分必要条件 通常所研究的系统为因果稳定系统 第三节卷积和 7 3卷积和 5 3 1卷积和定义 1序列的时域分解 7 3卷积和 2任意序列作用下的零状态响应 LTI系统 初始状态为零 yzs n f n 根据h n 的定义 n h n 由时不变性 n i h n i f i n i 由齐次性 f i h n i 由叠加性 f n yzs n 卷积和 7 3卷积和 3卷积和的定义 已知定义在区间 上的两个函数f1 n 和f2 n 则定义卷积和为 为f1 n 与f2 n 的卷积和 简称卷积 系统的零状态响应也可以用卷积和表示为 7 3卷积和 例题1 f n anu n h n bnu n 求yzs n 解 yzs n f n h n 当in时 u n i 0 u n u n n 1 u n 7 3卷积和 5 3 2卷积的图解法 卷积过程可分解为四步 1 换元 n换为i 得f1 i f2 i 2 反转平移 由f2 i 反转 f2 i 右移n f2 n i 3 乘积 f1 i f2 n i 4 求和 i从 到 对乘积项求和 注意 n为参变量 7 3卷积和 例题2 f1 k f2 k 如图所示 已知f k f1 k f2 k 求f 2 解 1 换元k i 2 f2 i 反转得f2 i 3 f2 i 右移2得f2 k i 4 f1 i 乘f2 k i f2 2 i 5 求 6 例如 7 3卷积和 5 3 3不进位乘法求卷积 例题3f1 k 0 2 1 5 0 f2 k 0 3 4 0 6 0 k 1 k 0 3 4 0 6 2 1 5 解 15 20 0 30 3 4 0 6 6 8 0 12 6 11 19 32 6 30 求f k f1 k f2 k f k 0 6 11 19 32 6 30 k 1 7 3卷积和 5 3 4卷积和的性质 1 满足乘法的三律 1 交换律 f1 n f2 n f2 n f1 n 2 分配律 f1 n f2 n f3 n f1 n f2 n f1 n f3 n 3 结合律 f1 n f2 n f3 n f1 n f2 n f3 n f1 n f2 n f3 n 2 f n n f n f n n n0 f n n0 4 f1 n n1 f2 n n2 f1 n n1 n2 f2 n 5 f1 n f2 n f1 n f2 n f1 n f2 n 例题4如图复合系统由三个子系统组成 其中h1 k u k h2 k u k 5 求系统单位序列响应h k 解 根据h k 的定义 有 h k k h1 k k h2 k h1 k h1 k h2 k h1 k h1 k h1 k h2 k h1 k u k u k u k 5 u k k 1 u k k 1 5 u k 5 k 1 u k k 4 u k 5 7 3卷积和