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定积分的几何应用 一 平面图形的面积 1直角坐标系 作为一般情况讨论 设平面图形由 a b 上连续的两条曲线y f x 与y g x 及两条直线x a x b所围成 在 a b 上任取典型小区间 x x dx 与它相对应的小曲边梯形的面积为局部量dA dA可用高为 底为dx的矩形面积 近似表示 即 故 a b 当dx很小时 所围成的图形的面积 解 为确定图形的存在区间 由联立方程组解得交点 A 1 1 B 1 1 故 例1求两曲线 所围图形的面积 解 首先定出图形所在的范围 解得交点为 2 2 和 8 4 若取x为积分变量在 x x dx 上取部分量 则对于x的不同值局部量的位置不同其上 下曲边有多种情况运用上述公式计算较为复杂 如下图 例2计算 以y为变量计算将会简单 在 2 4 上任取一小区间 其上相应的窄条左 右曲边分别为 但若将这一面积看作是分布在区间 2 4 上 由此可见在面积计算中应根据平面区域的具体特征恰当地选择积分变量找出相应的面积微元可使计算简化 上述问题的一般情况是 平面区域由 c d 上连续的曲线 及直线y c y d所围成 则其面积为 c d 当直角坐标系下的平面区域的边界曲线由参数方程的形式给出时 只须对面积计算公式作变量代换即可 计算时应注意积分限在换元中应保持与原积分限相对应 例3 求椭圆 的面积 解 由对称性面积A等于椭圆在第一象限内的部分的面积的4倍 即 设f x 在 a b 上连续 在 a b 内有 证明 存在唯一的 使曲线f x 与两直线 所围图形的面积 是y f x 与两直线 所围图形面积 的3倍 证 例4 故由零点定理知 又 令 2极坐标系 某些平面图形 用极坐标来计算是比较方便的 若曲线由极坐标方程 给出 极坐标系下研究面积的基本图形不是曲边梯形 而是由射线 所围成的称为曲边扇形的区域 可用半径为 圆心角为 由于曲边扇形的面积分布 故面积元素为 的圆扇形的面积来近似 解 由对称性知总面积 4倍第一象限部分面积 解 利用对称性知 通过以上几例可见在实际计算中应充分利用所求量的对称性和等量关系来简化计算 二 平面曲线弧长的概念 直角坐标情形 弧长元素 弧长 解 所求弧长为 解 曲线弧为 弧长 参数方程情形 解 星形线的参数方程为 根据对称性 第一象限部分的弧长 证 根据椭圆的对称性知 故原结论成立 极坐标情形 曲线弧为 弧长 解 求心形线 的全长 解 由对称性 例12 求在直角坐标系下 参数方程形式下 极坐标系下平面图形的面积 注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算 平面曲线弧长的概念 弧微分的概念 求弧长的公式 直角坐标系下 参数方程情形下 极坐标系下 小结 思考题 两边同时对求导 积分得 思考题1解答 所以
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