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第八章相量法 1 正弦量的三要素 相位差 2 正弦量的相量表示 3 电路元件伏安关系 电路定律的相量形式 4 相量图 重点 8 1复数 8 2正弦量 8 3相量法基础 8 4电路定律的相量形式 目录 8 1复数 相量法是线性电路正弦稳态分析的一种简便有效的方法 应用相量法 需要用到复数的运算 1 复数的表示形式 1 代数形式 在数学中虚单位常用i表示 如F a bi 但由于在电路中已用i表示电流 故虚单位改用j表示 实部 虚部 复数可用复平面上的向量表示 线段长度表示复数大小 模 与实轴夹角表示辐角 2 三角形式 3 指数形式 4 极坐标形式 平行四边形法 F1 F2 F1 F2 F1 F2 F1 F2 2 复数的运算 1 加减运算 复数的加减运算采用代数形式较为简便 实部虚部分别相加减 或在复平面中使用平行四边形法则和三角形法则 2 乘法运算 a 代数形式 b 指数形式 即复数乘积的模等于各复数模的积 其辐角等于各复数辐角的和 即模相乘 角相加 c 极坐标形式 可见复数的乘法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便 3 除法运算 a 代数形式 b 指数形式 c 极坐标形式 可见复数的除法运算使用指数形式或极坐标形式较为简便 即模相除 角相减 4 相等运算 在复数运算中常有两个复数相等的运算 两个复数相等必须满足两个条件 复数的实部 虚部分别对应相等 或者复数的模和辐角分别对应相等 即若 例2 解 上式 例1 解 3 旋转因子 根据欧拉公式可得ej 2 j e j 2 j ej 1 因此 j 和 1 都可以看成旋转因子 若一个复数乘以j 等于在复平面上把该复数逆时针旋转 2 若一个复数除以j 等于把该复数乘以 j 则等于在复平面上把该复数顺时针旋转 2 同理 若一个复数乘 除 以 1 等于在复平面上把该复数逆 顺 时针旋转 复数的乘 除运算表示为模的放大或缩小 辐角表示为逆时针旋转或顺时针旋转 复数ej 1 是一个模等于1 辐角为 的复数 任意复数F1 F1 ej 1乘 除 以ej 等于把复数F1逆 顺 时针旋转一个角度 而F1的模值不变 所以ej 称为旋转因子 8 2正弦量 1 正弦量的定义 电路中按正弦规律变化的电压或电流 统称为正弦量 对正弦量的数学描述 可以采用sin函数 也可采用cos函数 但在用相量法进行分析时 要注意采用的是哪一种形式 不要两者同时混用 本书采用cos函数 2 正弦量的三要素 设右图中正弦电流i的数学表达式为 则式中的3个常数Im 和 i 称为正弦量的三要素 1 振幅Im amplitude Im称为正弦量的振幅 亦即正弦量的最大值imax 时 正弦量有最小值imin Im imax imin 2Im称为正弦量的峰 峰值 2 角频率 angularfrequency 随时间变化的角度 t i 为正弦量的相位 或相角 为正弦量的角频率 是正弦量的相位随时间变化的角速度 即 角频率的单位为rad s 它与正弦量的周期T和频率f之间的关系为 频率f的单位为1 s 称为Hz 赫兹 我国工业用电的频率为50Hz 工频 正弦量在t 0时刻的相位 称为正弦量的初相位 简称初相 即 3 初相 位 i initialphaseangle 初相的单位用弧度或度表示 通常取 i 1800 它与计时零点有关 对任一正弦量 初相是允许任意指定的 但对于一个电路中的许多相关的正弦量 它们只能相对于一个共同的计时零点确定各自的相位 例 已知正弦电流波形如图 103rad s 1 写出i t 表达式 2 求最大值发生的时间t1 解 由于最大值发生在计时起点右侧 正弦量的三要素是正弦量之间进行比较和区分的依据 3 正弦波 正弦量随时间变化的图形称为正弦波 可以用示波器观察 4 正弦量的重要性质 正弦量乘以常数 正弦量的微分 积分 同频率正弦量的代数和等运算 其结果仍为一个同频率的正弦量 例如 5 正弦量的有效值 effectivevalue 工程中常利用热效应相等的原则将周期电流或电压在一个周期内产生的平均效应换算为在效应上与之相等的直流量 以衡量和比较周期电流或电压的效应 这一直流量就称为周期量的有效值 用相对应的大写字母表示 其定义如下 周期量的有效值等于其瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值再取平方根 有效值也称均方根值 root meen square 简记为rms 对周期电流有 当电流i有为正弦量时 有 上式表明 正弦量的最大值与其有效值之间有倍的关系 且正弦量的有效值与正弦量的频率和初相无关 正弦量i常写成如下形式 则式中的3个常数I i也称为正弦量的三要素 工程中使用的交流电气设备铭牌上标出的额定电流 电压的数值 交流电流表 电压表表面上标出的数字都是有效值 同理 可得正弦电压有效值与最大值的关系 注意区分电压 电流的瞬时值 最大值 有效值的符号 有效值的概念也适用于任何周期性电压和电流 例如对于图 a 所示三角波形 将瞬时值表达式 得 计算结果表明该三角波形的有效值是振幅值的倍 或者说其振幅值是有效值的倍 对于图 b 所示半波整流波形 将其瞬时值表达式 可以得到半波整流波形的有效值是振幅值的0 5倍 或者说其振幅值是有效值的2倍的结论 具体计算过程如下 6 两个同频率正弦量之间的相位差 phasedifference 设两个同频率正弦量u和i分别为 两个同频率正弦量之间的相位差等于它们相位相减的结果 在主值范围 内取值 设 表示电压u和电流i之间的相位差 则同一时刻 电路中常引用相位差来描述两个同频率正弦量之间的相位关系 上式表明 同频率正弦量的相位差等于它们的初相之差 为一个与时间无关的常数 电路中常采用 超前 和 滞后 来说明两个同频率正弦量相位比较的结果 同频率正弦量的相位差可通过观察波形确定 在同一个周期内两个波形的极大值 或极小值 之间的角度值 1800 即为两者的相位差 超前者先达到极值点 初相位与计时零点的选取有关 而相位差与计时零点的选取 变动无关 j 0 同相 j 180o 反相 规定 180 特殊相位关系 O p 2 u领先 超前 ip 2 不说u滞后 落后 i3p 2 i滞后 落后 up 2 不说i领先 超前 u3p 2 同样可比较两个电压或两个电流或电压 电流的相位差 例题见讲义 注意 两个正弦量进行相位比较时应满足同频率 同函数 同符号 且在主值范围比较 8 3相量法的基础 在线性电路中 如果激励是正弦量 则电路中各支路的电压和电流的稳态响应将是同频率的正弦量 如果电路有多个激励且都是同一频率的正弦量 则根据线性电路的叠加性质可知 电路全部稳态响应都将是同一频率的正弦量 处于这种稳定状态的电路称为正弦稳态电路 又称正弦电流电路 两个正弦量 i1 i2 i3 角频率 有效值 初相位 i1 i2 两个正弦量 可以看出 无论是波形图逐点相加 或用三角函数做都很繁杂 因同频的正弦量相加仍得到同频的正弦量 所以 只要确定初相位和有效值 或最大值 就行了 于是想到复数 复数向量也包含一个模和一个幅角 因此 我们可以把正弦量与复数对应起来 以复数计算来代替正弦量的计算 使计算变得较简单 相量概念 i3 选一个复函数 没有物理意义 若对F t 取实部 是一个正弦量 有物理意义 对于任意一个正弦时间函数都可以找到唯一的与其对应的复指数函数 1 相量的概念 相量法是分析求解正弦电流电路稳态响应的一种有效工具 相量是以有效值为模 初相位为辐角构造的一个复数 它不是正弦量 可以看出 一个实数范围内的正弦量可以和一个复数范围内的复指数函数一一对应起来 上式复指数函数中的是以正弦量的有效值为模 以初相为辐角的一个复数 定义其为正弦量i的相量 记为 正弦量的有效值相量 正弦量的振幅相量 最大值相量 加一个小圆点是用来和普通的复数相区别 强调它与正弦量的联系 同时也改用 相量 而不用 向量 是因为它表示的不是一般意义的向量 而是表示一个正弦量 注意 正弦量的相量和它时域内的函数表达式是一一对应的关系 不是相等的关系 若已知正弦量的时域表达式 可直接写出与之对应的相量 若已知正弦量的相量 须再知道其角频率才可写出与之对应的函数表达式 相量是个复数 它在复平面上的图形称为相量图 将正弦量与相量建立起对应关系这实际上是一种变换思想 由时域变换到频域 时域 在变量是时间函数条件下研究网络 以时间为自变量分析电路 频域 在变量经过适当变换的条件下研究网络 以频率为自变量分析电路 相量法 将正弦时间函数 变换 为相量后再进行分析 属于频域分析 已知 试用相量表示i u 解 例 试写出电流的瞬时值表达式 解 例 2 旋转相量 与正弦量相对应的复指数函数在复平面上可以用旋转相量表示出来 其中复常数称为旋转相量的复振幅 ej t是一个随时间变化而以角速度 不断逆时针旋转的因子 复振幅乘以旋转因子ej t即表示复振幅在复平面上不断逆时针旋转 故称之为旋转相量 这就是复指数函数的几何意义 对于 其几何意义为 正弦电流i的瞬时值等于其对应的旋转相量在实轴上的投影 旋转向量的几何意义 ej t为一模为1 幅角为 t的相量 随t的增加 模不变 而幅角与t成正比 可视其为一旋转相量 当t从0 T时 相量旋转一周回到初始位置 t从0 2 3 相量运算 1 同频率正弦量相加减 故同频的正弦量的加减运算就变成对应的相量的加减运算 复数加减 用代数形式或相量图计算 i1 i2 i3 可得其相量关系为 同频率正弦量乘除变为复数乘除 例 同频正弦量的加 减运算可借助相量图进行 相量图在正弦稳态分析中有重要作用 尤其适用于定性分析 首尾相接 2 正弦量的微分 微分运算 3 正弦量的积分 积分运算 4 相量法的应用 求解正弦电流电路的稳态解 微分方程的特解 例 一阶常系数线性微分方程 自由分量 齐次方程解 Ae R Lt 强制分量 特解 Imcos t i 解 用相量法求 取相量 小结 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路 相量法可以用来求强制分量是正弦量的任意常系数线性微分方程的特解 即可用来分析正弦稳态电路 8 4电路定律的相量形式 一 基尔霍夫定律的相量形式 正弦电流电路中的各支路电流和支路电压都是同频率正弦量 对电路中的任一结点 或闭合面 在时域内有KCL方程 KCL方程的相量形式 对电路中任一回路 或任一假想回路 在时域内有KVL方程 KVL方程的相量形式 二 基本元件的相量模型及其相量形式的电压电流 伏安 关系 1 电阻元件 则对电阻支路 在时域内有 幅值关系 相位关系 电压与电流同相 电阻元件的相量模型 电阻元件的相量图 瞬时功率 波形图及相量图 瞬时功率以2 交变 但始终大于零 表明电阻始终是吸收 消耗 功率 2 电感元件 则对电感支路 在时域内有 幅值关系 L的量纲与电阻相同 为欧姆 0时 L 0 此时电感相当于短路 感抗的物理意义 1 表示限制电流的能力 U XLI LI 2 fLI 2 感抗和频率成正比 相量表达式 XL L 2 fL 称为感抗 单位为 欧姆 BL 1 L 1 2 fL 感纳 单位为S 同电导 感抗和感纳 功率 波形图 瞬时功率以2 交变 有正有负 一周期内刚好互相抵消 3 电容元件 则对电容支路 在时域内有 幅值关系 1 C 的量纲与电阻相同 为欧姆 0时 1 C 此时电容相当于开路 令XC 1 C 称为容抗 单位为 欧姆 BC C 称为容纳 单位为S 频率和容抗成反比 0 XC 直流开路 隔直 XC 0高频短路 旁路作用 容抗与容纳 相量表达式 功率 波形图 瞬时功率以2 交变 有正有负 一周期内刚好互相抵消 4 受控源 如果线性受控源的控制电压或电流是正弦量 则受控源的电压或电流将是同一频率的正弦量 例如 例1 指出下列结果是否正确 若有错 试将其改正 R 2 2 2 j 例2 已知右图正弦电流源is的有效值为5A 1000rad s R 3 L 1H C 1 F 求uad和ubd 解 画出相量形式的电路图 设电路的电流相量为参考相量 即 则 例3 已知右图中各电流表都是交流电流表 其读数为电流的有效值 电流表1 2 3的读数依次为5A 20A 25A 求电流表4 5的读数 解 选并联电压相量为参考相量 所以 电流表4的读数为5A 电流表5的读数为7 0