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1 期末复习2011 2 大小由下式决定 矢径 位置矢量 矢径 3 注意位移与路程的区别 位移 在时间 t内质点位置变化可用A到B的有向线段表示 位移是矢量 可按三角形法则或平行四边形法则来合成 4 研究质点运动 不仅知道质点的位移 还有必要知道在多长的时间里有这一位移 即需知道物体运动的快慢程度 为比较两物体运动的快慢程度 需引入速度的概念 速度 方向与位移的方向相同 方向是当 t 0时位移 r的极限方向 即沿轨道上质点所在点的切线 并指向质点前进的方向 平均速度 矢量 瞬时速度 简称速度 5 由于位移 所以速度 速度的大小 6 平均速率 平均速率与平均速度的大小一般不相等 速率 瞬时速率 标量 等于质点在单位时间内所经过的路程 而不考虑质点运动的方向 瞬时速率就是瞬时速度的大小而不考虑方向 7 有速度概念 就可用它来比较两物体运动的快慢程度 但速度一般也在变化 且质点在轨道不同位置时 速度大小和方向通常也不相同 为比较物体运动变化的快慢程度 需引入加速度概念 在时间 t内 质点速度的增量为 平均加速度 瞬时加速度 加速度 8 因为 及 所以 9 的大小 10 例与为某质点在不同时刻的位置矢量 矢径 与为不同时刻的速度矢量 试在两个图中分别画出及 11 11一质点在平面上作一般曲线运动 其瞬时速度为 瞬时速率为v 某一段时间内的平均速度为 平均速率为 它们之间的关系必定有 A 只有 1 4 是对的 B 只有 2 4 是对的 C 只有 2 是对的 D 只有 3 是对的 12 质点作曲线运动 表示位置矢量 表示速度 S表示路程 at表示切向加速度 下列表达式中 12 11一质点在平面上作一般曲线运动 其瞬时速度为 瞬时速率为v 某一段时间内的平均速度为 平均速率为 它们之间的关系必定有 瞬时速度的大小等于瞬时速率 平均速度的大小不一定等于平均速率 如质点沿圆周运动一周 D 13 A 只有 1 4 是对的 B 只有 2 4 是对的 C 只有 2 是对的 D 只有 3 是对的 12 质点作曲线运动 表示位置矢量 表示速度 S表示路程 at表示切向加速度 下列表达式中 D 14 9 某质点作直线运动的运动学方程为x 3t 5t3 6 SI 则该质点作 A 匀加速直线运动 加速度沿x轴正方向 B 匀加速直线运动 加速度沿x轴负方向 C 变加速直线运动 加速度沿x轴正方向 D 变加速直线运动 加速度沿x轴负方向 变加速直线运动 加速度沿x轴负方向 D 15 设圆半径为R 时间 t内质点从A点到达B点 在A B两点处速度分别为vA和vB 由于是匀速圆周运动 vA和vB的大小相等 并分别与半径OA OB垂直 圆周运动 匀速圆周运动 在任意相等的时间内行经相等长度的圆弧 即质点在每一时刻的速率相等 16 速度的增量为 按加速度定义有 容易看出OAB与O A B 是两个相似的等腰三角形 按相似三角形对应边成比例的关系得 两边以 t相除 17 当 t趋近于0时 B点接近于A点 因而弧长 S趋近于弦长 l 所以加速度的大小为 加速度的方向可由速度增量 v的极限方向来确定 即A点处加速度的方向沿着半径OA并指向圆心 因此这个加速度通常叫做向心加速度 18 变速圆周运动 质点在圆周上A B两点处的速度分别为vA和vB 除方向不同外 速度大小也不相同 速度的增量为 质点在圆周上各点处的速率如果是随时间改变的 这种运动就是变速圆周运动 从D作DF线使CF CD 这样我们就可以将速度增量 v分解为两个分量 19 于是有 因此平均加速度为 而瞬时加速度为 20 法向加速度an 向心加速度 反映了速度方向的改变 vt的极限方向与 vA的方向一致 即在A点的切线方向上 所以式中第二项所表示的分加速度叫做切向加速度 它反映了速度大小的改变 切向加速度at 21 法向加速度的大小 切向加速度的大小 总加速度 加速度的大小 其方向由下式决定 22 一般来说 曲线上各点处的曲率中心和曲率半径是逐点不同的 但an处处指向曲率中心 如果质点在平面内作一般的曲线运动 可得出和上面同样结论 但圆半径R应为曲线该点处的曲率半径 23 只有法向加速度an而无切向加速度at 速度只改变方向而不改变大小 一般曲线运动 质点运动时 如果同时有法向加速度an和切向加速度at 速度的大小和方向将同时改变 只有切向加速度at而无法向加速度an 速度不改变方向只改变大小 变速直线运动 匀速曲线运动 如果an 常数 则为匀速圆周运动 24 圆周运动的角量描述 设想一质点在平面oxy内 绕圆点0作圆周运动 设在时刻t质点在A点 半径0A与x轴成 角 称为角位置 在时刻t t 质点到达B点 半径0B与x轴成 角 这就是说 在 t时间内质点转过角度 这 就称为质点对0点的角位移 角位移是矢量 但它的矢量性确认比较复杂 一般认为角位移有大小还有转向 规定沿逆时针方向转动时角位移取正值 沿顺时针方向转动时的角位移取负值 这样就可把它作为标量来处理了 25 与线量的确定相类似 角位移 与时间 t之比称为在 t这段时间内质点对0点的平均角速度 用 表示 如果 t 0 相应的 也趋近于0 而比值趋近于某一极限值 称为某一时刻t质点对0点的瞬时角速度 简称角速度 26 若一质点在某一时刻的角速度是 o 经过时间 t后角速度为 因此在这段时间内角速度的增量 它与时间 t之比即为在 t这段时间内质点对0点的平均角加速度 如果 t 0 比值就趋近于某一极限值 质点作变速圆周运动时 不是恒量 如果是恒量 则为匀变速圆周运动 瞬时角加速度 简称角加速度 质点作匀速圆周运动时 角速度 是恒量 角加速度 为0 27 质点作匀速和匀变速圆周运动时 用角量表示的运动与匀速和匀变速直线运动时的运动方程完全相似 匀速圆周运动运动方程 匀变速圆周运动运动方程 28 线量与角量之间的关系 设质点作圆周运动的圆半径为R 在时间 t内 质点的角位移是 那末质点在这段时间内的线位移就是有向线段 当 t极小时 弦和弧可视为等长 以 t除等式两边 得到 即 29 由于 和v都是矢量 因此 与v之间的关系可用下述矢量式表示 v的方向按右手螺旋法则确定 即沿 经过小于180o的角转到r的方向 螺旋前进的方向即的方向 对于刚体来讲 是轴上0点引向p点的矢径 30 加速度与角加速度之间的关系 设质点在时间 t内速度的增量是 相应的角速度的增量是 以 t除等式两边 31 切向加速度和角加速度之间的关系 把v R 代入法向加速度的公式 可得到法向加速度和角速度之间的关系 32 速度与角速度之间的关系 切向加速度和角加速度之间的关系 法向加速度和角速度之间的关系 请记住 33 13质点沿半径为R的圆周作匀速率运动 每T秒转一圈 在2T时间间隔中 其平均速度大小与平均速率大小分别为 16一质点沿半径为0 1m的圆周运动 其角位移 随时间t的变化规律是 在t 2s时 它的法向加速度an 切向加速度at 18 一质点沿半径为R的圆周运动 质点所经过的弧长与时间的关系为 其中b c是大于零的常量 求从开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间 34 13质点沿半径为R的圆周作匀速率运动 每T秒转一圈 在2T时间间隔中 其平均速度大小与平均速率大小分别为 B 35 16一质点沿半径为0 1m的圆周运动 其角位移 随时间t的变化规律是 在t 2s时 它的法向加速度an 切向加速度at 36 18 一质点沿半径为R的圆周运动 质点所经过的弧长与时间的关系为 解 其中b c是大于零的常量 求从开始到切向加速度与法向加速度大小相等时所经历的时间 37 力矩 图为可绕0轴旋转的一刚体 设刚体所受外力F 在垂直于转轴0的平面内 转轴到力的作用线之间的垂直距离是d d称为力对转轴的力臂 力的大小与力臂的乘积称为力对转轴的力矩 用M表示 力的作用点离开转轴的距离是r 相应的矢径是 力与r之间的夹角是 可以看出 所以上式可写成 38 力矩是矢量 它的方向和指向这样确定 方向垂直于r和F所决定的平面 在刚体绕定轴转动的情况下 M的方向和轴线方向相一致 它的指向由F和r所组成的右手螺旋决定 即由矢径的方向经过小于180o的角转到力的方向时 右手螺旋前进的方向 根据力矩的大小和上面规定的力矩的方向 力矩可用下式表示 39 合力矩 若有几个力同时作用于刚体之上 则要求合力矩 由于力矩是矢量 它的合成遵从于平行四边形法则 但在刚体绕定轴转动的情况下 因为力矩只有两种可能的取向 用正负即可表示 因此力矩就可以用代数法求和 也就是说 在刚体定轴转动中 如果有几个外力同时作用在刚体上时 它们的作用相当于一个力矩的作用 这个力矩称之为这几个力的合力矩 它的量值等于这几个力的力矩的代数和 40 当刚体绕固定轴转动时 每一质点都作半径不同的圆周运动 下面根据每一质点的圆周运动 并根据刚体可以看作是一不变的 由许多质点所组成的质点组来导出转动定律 转动定律 41 如果用矢量式表示 则为 上式表明 刚体在合外力矩M的作用下 所获得的角加速度 与合外力矩的大小成正比 并与转动惯量I成反比 力矩的方向和角加速度的方向相同 刚体的转动定律 42 转动惯量 由 知 转动惯量I等于刚体中每个质点的质量与这一质点到转轴的距离平方的乘积的总和 由上面两式就可以算出一般物体绕某轴的转动惯量来 相应的dm的体积元 体积元处的密度 体积元与转轴之间的距离 如果物体的质量是连续分布的 则上式可写成积分形式 43 刚体的转动定律 上式表明 刚体在合外力矩M的作用下 所获得的角加速度 与合外力矩的大小成正比 并与转动惯量I成反比 力矩的方向和角加速度的方向相同 这一关系式就叫做刚体的转动定律 转动惯量 转动惯量I等于刚体中每个质点的质量与这一质点到转轴的距离平方的乘积的总和 如果物体的质量是连续分布的 则上式可写成积分形式 44 质量为m 长为L的均匀细棒的转动惯量 假定 转轴通过棒的一端并与棒垂直时 质量为m 半径为a的薄圆盘 绕通过中心并与盘面垂直的转轴的转动惯量 质点的转动惯量 记住 转轴通过棒的中心与棒垂直 45 转动惯量的物理意义 把转动定律 与牛顿第二定律 相比较 可以进一步了解转动惯量的物理意义 转动惯量I与质点的质量m相当 m是物体惯性大小的量度 与此类似 I是物体在转动中惯性大小的量度 或者说是物体保持转动运动状态本领大小的量度 另外 由转动惯量I的定义 可以看出刚体的转动惯量决定于刚体各部分的质量对给定的转轴的分布情况 46 首先I与m有关 其次在m一定的情况下还和质量的分布有关 例如 两质量相同 形状大小也相同的圆盘 一个中间密度大而边缘密度小 另一个中间密度小边缘密度大 则I不同 例如一圆环与一圆盘 若质量m与半径R均相同 则圆环的I大于圆盘的I 粗略地讲质量的分布离轴越远越分散 则I就越大 最后I还和轴的位置有关 例如 对于细长棒 绕通过中心的转轴和绕通过一端的转轴的I不同 这是由于轴的位置不同则每一质点到轴的距离就发生变化 因而I就不同 所以在提到I时都叫做某一轴的转动惯量 47 3 7几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上 如果这几个力的矢量和为零 则此刚体A必然不会转动B转速不然不变C转速必然改变D转速可能变 也可能不变 3 9关于刚体对轴的转动惯量 下列说法中正确的是 A 只取决于刚体的质量 与质量的空间分布和轴的位置无关 B 取决于刚体的质量和质量的空间分布 与轴的位置无关 C 取决于刚体的质量 质量的空间分布和轴的位置 D 只取决于转轴的位置与刚体的质量和质量的空间分布无关 3 14关于力矩有以下几种说法 1 对某个定轴而言 内力矩不会改变刚体的角动量 2 作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零 3 质量相等 形状和大小不同的两个刚体 在相同力矩的作用下他们的角加速度一定相等 在上述说法中A只有 2 是正确的B 1 2 是正确的C 2 3 是正确的D 1 2 3 都是正确的 48 3 7几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上 如果这几个力的矢量和为零 则此刚体A必然不会转动B转速不然不变C转速必然改变D转速可能变 也可能不变 D 转动状态的改变与力矩有关 49 3 9关于刚体对轴的转动惯量 下列说法中正确的是 A 只取决于刚体的质量 与质量的空间分布和轴的位置无关 B 取决于刚体的质量和质量的空间分布 与轴的位置无关 C 取决于刚体的质量 质量的空间分布和轴的位置 D 只取决于转轴的位置 与刚体的质量和质量的空间分布无关 C 50 3 14关于力矩有以下几种说法 1 对某个定轴而言 内力矩不会改变刚体的角动量 2 作用力和反作用力对同一轴的力矩之和必为零 3 质量相等 形状和大小不同的两个刚体 在相同力矩的作用下他们的角加速度一定相等 在上述说法中A只有 2 是正确的B 1 2 是正确的C 2 3 是正确的D 1 2 3 都是正确的 B 转动惯量不同角加速度不等 51 3 22如图所示 一个质量为m1的物体与绕在定滑轮上的绳子相联 绳子质量可以忽略 它与定滑轮之间无滑动 假设定滑轮质量为m2 半径为R 其转动惯量为m2R2 2 滑轮轴光滑 试求该物体由静止开始下落的过程中 下落速度与时间的关系 3 23如图所示 设两重物的质量分别为m1和m2 且m1 m2 定滑轮的半径为r 对转轴的转动惯量为J 轻绳与滑轮间无滑动 滑轮轴上摩擦不计 设开始时系统静止 试求t时刻滑轮的角加速度 52 3 22如图所示 一个质量为m1的物体与绕在定滑轮上的绳子相联 绳子质量可以忽略 它与定滑轮之间无滑动 假设定滑轮质量为m2 半径为R 其转动惯量为m2R2 2 滑轮轴光滑 试求该物体由静止开始下落的过程中 下落速度与时间的关系 解 根据牛顿运动定律和转动定律列方程 联立上述三式解得 v0 0 53 3 23如图所示 设两重物的质量分别为m1和m2 且m1 m2 定滑轮的半径为r 对转轴的转动惯量为J 轻绳与滑轮间无滑动 滑轮轴上摩擦不计 设开始时系统静止 试求t时刻滑轮的角加速度 由以上四式消去T1 T2得 54 4 刚体的角动量及角动量守恒定律 角动量 动量矩 质点的角动量 在质点动力学中 可以用动量来描述物体的运动状态 同样在转动问题中 也可以用角动量来描述物体的转动运动状态 角动量起的作用和线动量相类似 下面以质量为m的质点所作的圆周运动为例引入角动量的概念 55 设圆半径为r 则质点m对圆心的位置矢量是 质点的动量是 方向处处和它的矢径垂直 把质点动量的量值p和矢径r的乘积定义为质点对给定点即圆心0的角动量的量值 即 56 一般情况下 质点的动量P和它对于给定点的矢径不一定垂直 这时质点对某一给定点的角动量的量值应为质点的动量p和0点到p点的垂直距离d的乘积 因为 所以 或写成矢量形式 角动量是矢量 它的方向由右手螺旋法则确定 亦即方向垂直于r和p所组成的平面 指向由r经小于180o的角 转到p的右手螺旋的前进方向所确定 57 刚体的角动量 刚体可看作是由许多质点所组成的一不变的质点组 考察其上第i个质点 它绕轴作半径为r的圆周运动 该点对转轴0的角动量的量值是 物体绕定轴转动时 整个物体的角动量就是各质点的角动量的总和 或写成 58 角动量原理 设刚体在合外力矩M的作用下 绕定轴作匀变速运动 t时刻的角速度是 1 角动量是L1 转动惯量为I 在t t时刻的角速度是 2 1 d 角动量变为L2 则角加速度为 由转动定律知 或 转动物体所受到的冲量矩 等于这物体在这段时间内的角动量的增量 此即角动量原理 59 角动量守恒定律 由上式知 如果物体所受到的合外力矩 即 则 注意 角动量守恒的条件是合外力矩M等于零 但并不等于没有力矩对物体作用 它可能是根本没有外力矩作用 也有可能有力矩作用 但其矢量和为0 当物体所受的合外力矩M为零时 物体的角动量I 保持不变 此即角动量守恒定律 60 3 11花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动 开始时两臂伸开 转动惯量为J0 角速度为 0 然后她将两臂收回 使转动惯量减少为J0 3 这时她转动的角速度变为 3 17一飞轮以角速度 0绕光滑固定轴旋转 飞轮对轴的转动惯量为J1 另一静止飞轮突然和上述转动的飞轮啮合 绕同一轴转动 该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍 啮合后整个系统的角速度 61 3 11花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动 开始时两臂伸开 转动惯量为J0 角速度为 0 然后她将两臂收回 使转动惯量减少为J0 3 这时她转动的角速度变为 D 62 3 17一飞轮以角速度 0绕光滑固定轴旋转 飞轮对轴的转动惯量为J1 另一静止飞轮突然和上述转动的飞轮啮合 绕同一轴转动 该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍 啮合后整个系统的角速度 角动量守恒 聂 63 电场电场强度 凡有电荷的地方 四周就存在着电场 即任何电荷都在自己周围的空间激发电场 而电场的基本性质是 它对处在其中的任何其它电荷都有作用力 称为电场力 因此电荷与电荷之间是通过电场发生相互作用的 64 点电荷电场电场中的场强 在真空中 点电荷q放在坐标原点 试验电荷放在r处 由库仑定律可知试验电荷受到的电场力为 点电荷场强公式 q 0 电场强度E与er同向q 0 电场强度E与er反向 65 场强迭加原理 电场强度是矢量 它服从于矢量迭加原理 即如果我们以 分别表示点电荷q1 q2 qn单独存在时电场施于空间同一点试验电荷q0的力 则它们同时存在时 电场施于该点试验电荷的力为 将此式除以q0 即得到 电场中任一点处的总场强等于各个点电荷单独存在时在该点各自产生的场强的矢量和 这就是场强迭加原理 66 任意带电体电场中的场强 对于任意带电体来讲 它的全部电荷分布 都可以被看作是许多极小的电荷元dq的集合 在电场中任一点P处 每一个电荷元在P点产生的场强都可用点电荷的场强公式计算 要计算带电体的全部电荷分布在P点产生的场强 就要对所有的电荷元产生的场强求矢量和 由于电荷可以看成是连续分布的 所以可用积分代替求和 即 此关系式无论对于体分布 面分布还是线分布的带电体都可应用 只不过在具体应用时把电荷元dq带入相应的量就可以了 67 电场强度的计算 点电荷系 计算的步骤大致如下 任取电荷元dq 写出dq在待求点的场强的表达式 选取适当的坐标系 将场强的表达式分解为标量表示式 进行积分计算 写出总的电场强度的矢量表达式 或求出电场强度的大小和方向 在计算过程中 可以根据对称性来简化计算过程 带电体 68 环心处 x 0 E 0请记住 均匀带电圆环轴线上一点的场强 设正电荷q均匀地分布在半径为R的圆环上 计算在环的轴线任一点P的电场强度 69 特殊情况下 如果此带电直线是无限长的 那么由 1 0 2 可得到 例3均匀带电直线外任一点场强 70 带电粒子或带电体在外电场中所受的作用 若已知外电场中某点的场强E 则放在该点的一个点电荷q所受到的静电作用力为 一带电粒子可看作点电荷 其所受作用力可直接由上式计算 但对于带电体就比较复杂了 即首先要计算带电体上各个电荷元dq所受到的作用力 然后用积分方法求出此带电体上所受到的合力或合力矩 71 三高斯定理Gausstheorem 电力线lineofelectricforce 为形象地了解电场分布 通常引入电力线的概念 利用电力线可对电场中各处场强的分布情况给出较直观的图像 前面讲过电场中的每一点的场强E都有一定的方向 使这些曲线上的每一点切线方向都与该点处的场强E的方向一致 这些曲线就叫做电力线 高斯 72 电力线的数密度 为使电力线不只是表示出电场中场强的方向的分布情况 且表示出场强的大小的分布情况 可引入电力线数密度的概念 在电场中任取一小面积元 S与该点场强方向垂直 设穿过 S的电力线有 N根 则比值 N S就叫做该点电力线的数密度 它的意义就是该点附近单位垂直截面的电力线根数 在作电力线图时总是使电场中任一点的电力线数密度与该点场强大小成正比 即 电力线稀疏的地方表示场强小 电力线稠密的地方表示场强大 73 电力线的性质 电力线总是起始于正电荷 或来自无穷远处 终止于负电荷 或伸向无穷远 但不会在没有电荷的地方中断 在没有点电荷的空间里 任何两条电力线都不会相交 电力线不会形成闭合曲线 74 通过一曲面S的电通量 e 通过一闭合曲面S的电通量 e 电通量 75 高斯定理的表述 通过一个任意闭合曲面S的电场强度的通量 e 等于该曲面所包围的所有电荷电量的代数和 q除以 0 与闭合面外的电荷无关 用公式来表示 则有 这闭合曲面S习惯上叫做高斯面 76 高斯定理常写成矢量形式 令 面元矢量 单位法线矢量 电通量可写成 高斯定理可写成 77 均匀带正电球壳内外的场强 半径R 带电q 因为球壳很薄 其厚度可忽略不计 电荷q近似地认为均匀分布在球面上 由于电荷分布是球对称的 所以电场强度的分布也是球对称的 因此在空间中任意点的电场强度的方向沿径矢 大小则依赖于从球心到场点的距离 即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相等的 根据电场球对称性的特点 以球心到场点的距离为半径作一同心球面 则通过此球面的电通量为 高斯定理的应用 78 上述分析对于球面内外的场点都是适用的 所以上式对于比球壳小的高斯面也是适用的 r R 均匀带电球壳在外部空间所产生的电场 与其上电荷全部集中在球心时产生的电场一样 其球壳内部空间的场强处处为零 r R 79 可以画出场强的大小随半径r的变化情况 由图可看出 场强在球壳上 r R 的数值有个突变 80 均匀带正电球体内外的场强分布 球体带电q 半径为R 在此例里 电场的分布也是球对称的 我们可把此带电球体分割成一层层的同心带电球壳 这样就可以利用上题的结果了 如图 取高斯面为同心球面包围球体 即场点P在球外 这时各层球壳上的电荷好象全部集中在球心一样 从而有 或 81 球体内外E的变化情况如图 可以看出在球体内部E与r成正比地增加 在R r处 球体内外场强大小趋于同一数值 即场强是连续的 并且数值最大 r R r R 82 均匀带正电的无限长圆柱面的场强 半径R 电荷面密度 可以看出 这个体系具有轴对称性 即在任何垂直于圆柱面的平面内的同心圆周上场强的大小都一样 而且由于圆柱面是无限长 只要是离开轴线的距离比柱面的长度小得多的地方 这个带电圆柱面所产生的电场的方向都垂直于圆柱面 向外呈辐射状 只要保持r的大小不变 场强的数值也不变 83 根据上面的分析 高斯面应取一圆柱面 设此面长为l 半径为r 轴线和无限长圆柱面的轴线重合 上下两底用垂直于柱面的平面封口 形成闭合面 这样通过这闭合面的电通量为 在上下两底 2 cos 0 即通过上下两底的电通量为零 在侧面上 各点E的大小相等 方向处处与面正交 且E是常量 cos 1 所以有 84 这闭合面只包围长度l的一段圆柱面 其中的电荷是2 Rl 所以按高斯定理有 即 如果我们在圆柱面内作同样的分析 由于其内部不包围电荷 因此圆柱面内部的场强等于零 即 85 设圆柱面单位长度上的电荷为 则有 即 代入到 得到 由此可见 无限长均匀带电圆柱面对柱外各点的作用 就像所有电荷全部集中在其轴线上的均匀带电直线一样 或 86 无限大均匀带正电平面薄板的电场 电荷面密度 对于此例的对称性分析和上题有相似之处 可以看出 两侧距平板等远的点场强大小一样 方向处处与平板垂直 根据场强的特点 我们可以取高斯面如图 通过平面上一小面积 s 取一封闭柱面S 柱面的轴线和平面正交 两底面的面积都等于 s 按高斯定理有 87 侧面上 2 cos 0 即通过侧面的电通量是零 S面内所包围的电荷的代数和 88 底面上 0 cos 1 即 因为 所以 即 89 如果板上所带的是负电荷 上式也完全适用 只是场强方向相反 从两侧指向平板 90 利用上面的结果 我们也可以求出真空中带等量异号电荷的一对无限大平行平面之间的场强 按场强迭加原理 有 由对称性可知 除边缘附近以外E分别为无限大均匀带电平面的场强 场强的方向如图 两平面之间 两平面外侧 91 两平面之间 两平面外侧 两平行平面均匀带有等值异号电荷时 如果平面线度远远大于两平面之间的距离时 除边缘外 电场全部集中与两平面之间 而且是均匀的 在实验室中我们常用此产生匀强电场 92 电势 电场力的功 试验电荷在任何静电场中移动时 电场力所作的功只与这试验电荷电量的大小及其起点 终点的位置有关 而与路径无关 这说明电场力是保守力 静电场的环路定理 此式表示 静电场中场强沿任意闭合环路的线积分恒等于零 这是静电场的重要特性之一 它表明 静电场力是保守力 由于这种特性 我们才有可能引入电势的概念 93 电势能 在电场中把一个试验电荷q0从a点移到b点 它的电势能的减少Wab定义为在此过程中静电场力对它所作的功Aab 电势差 a b两点间的电势差定义为从a到b移动单位正电荷时电场力所作的功 或者说 单位正电荷的电势能差 94 五电势的计算 1点电荷电场中的电势 下面计算一点电荷q产生的电场中任一点P处的电势 设q到P点的距离是r 选无穷远点的位置为参考位置 则按电势的定义 有 因为静电场力的功与路径无关 计算上式中的积分时 就选取一条便于计算的路径 即沿矢径的直线 于是有 95 电势迭加原理 点电荷系电场中某点的电势 是各个点电荷单独存在时的电场在该点电势的代数和 3任意带电体电场中的电势 如果产生电场的带电体上的电荷是连续分布的 则前式中的求和号应换成积分号 设dq为电荷分布中的任一电荷元 r为dq到给定点P的距离 那么P点的电势为 96 例1均匀带电圆环轴线上任一点的电势 设圆环半径为R 带电为q x轴沿轴线方向 圆点在环心 由于电荷可以看作是连续分布的 要按带电体的公式来计算 把圆环分成许多个电荷元 在环上任一点处取一电荷元dl 因为总带电量是q 所以它的电荷线密度是 电荷元所带的电量为 电荷元在P点产生的电势为 97 x 0 例1均匀带电圆环轴线上任一点的电势 98 例3均匀带电球面电场中任一点的电势 设球面带电q 半径R 前面已求出带电球面的场强分布为 E的方向沿矢径 因此在计算电势时可以和计算点电荷的电势一样 沿着矢径积分 99 在球面外 r R 此结果和点电荷的情形一样 一个均匀带电球面 在球面外任一点处的电势 与电荷集中在球心 即一个点电荷在该点产生的电势一样 100 在球面内 r R 在球壳内 电势处处与球面的值一样 为一常数 即球面内为一等电势区域 101 一均匀带电球面 在球面外任一点处的电势 与电荷集中在球心 即一个点电荷在该点产生的电势一样 在球壳内 电势处处与球面的值一样 为一常数 即球面内为一等电势区域 在球面表面处 U与E不同 它的数值没有突变 102 例4均匀带电球体电场中任一点的电势 设球体带电量为q 半径为R 所带电荷均匀地分布球体内 由高斯定理可求出电场强度的分布 方向沿径向 当r R时 103 6 8一均匀带电球面 电荷面密度为s 球面内电场强度处处为零 球面上面元dS带有sdS的电荷 该电荷在球面内各点产生的电场强度 A 处处为零 B 不一定都为零 C 处处不为零 D 无法判定 C 球面内场强为零 只说明空间所有电荷的场强矢量和为零 而电荷元ds在空间 球面内及球面外 产生的电场强度不为零 104 6 13有一边长为a的正方形平面 在其中垂线上距中心O点a 2处 有一电荷为q的正点电荷 如图所示 则通过该平面的电场强度通量为 D 整个空间通量 按高斯定理取一立方体 q放在立方体中心 六面体之一面通量 105 6 14半径为R的均匀带电球面的静电场中各点的电场强度的大小E与距球心的距离r之间的关系曲线为 B r R r R 106 6 16有N个电荷均为q的点电荷 以两种方式分布在相同半径的圆周上 一种是无规则地分布 另一种是均匀分布 比较这两种情况下在过圆心O并垂直于圆平面的z轴上任一点P 如图所示 的场强与电势 则有 A 场强相等 电势相等 B 场强不等 电势不等 C 场强分量Ez相等 电势相等 D 场强分量Ez相等 电势不等 C 电势为标量迭加 电势相等 场强为矢量迭加 因为电荷分布于X Y平面上 所以其沿Z轴方向的分量相等 107 6 17图中实线为某电场中的电场线 虚线表示等势 位 面 由图可看出 D 电力线稀疏的地方表示场强小 电力线稠密的地方表示场强大 因此A点场强小 C点场强大 电力线的方向指向电势降落的方向 因此C点的电势低 A点的电势高 108 6 19半径为R的半球面置于场强为的均匀电场中 其对称轴与场强方向一致 如图所示 则通过该半球面的电场强度通量为 通过半球面的通量与通过圆面的通量相等 109 6 25如图所示 真空中一长为L的均匀带电细直杆 总电荷为q 试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度 6 30图中所示为一沿x轴放置的长度为l的带电细棒 棒均匀带电 电荷线密度为 0 取无穷远处为电势零点 求坐标原点O处的电势 110 6 25如图所示 真空中一长为L的均匀带电细直杆 总电荷为q 试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d的P点的电场强度 解 设杆的左端为坐标原点O x轴沿直杆方向 带电直杆的电荷线密度为l q L 在x处取一电荷元dq ldx qdx L 它在P点的场强 方向沿x轴 即杆的延长线方向 111 6 30图中所示为一沿x轴放置的长度为l的带电细棒 棒均匀带电 电荷线密度为 0 取无穷远处为电势零点 求坐标原点O处的电势 1 解 细杆的电荷线密度l q l 在x处取电荷元dq ldx 它在P点产生的电势为 112 导体的静电平衡条件 体内场强处处为零 几点推论 导体是个等势体 导体表面是等势面 导体外的场强处处与它的表面垂直 电荷分布 在达到静电平衡时 导体内部处处没有未被抵消的净电荷 0 电荷只能分布在导体的表面 导体壳 壳内无其它带电体 在静电平衡条件下 导体壳的内表面上处处没有电荷 电荷只能分布在外表面 空腔内没有电场 或者说空腔内的电势处处相等 导体壳 壳内有其它带电体 导体壳空腔内有其它带电体时 在静电平衡状态下 导体壳的内表面所带电荷与腔内电荷的代数和为零 例如腔内有物体带电q 则内表面带电 q 113 电容定义 平行板电容器 电场强度 两极板间电势差 电容 114 同心球形电容器 两导体之间的电场强度 两球形电极A B之间的电势差为 电容 115 同轴柱形电容器 两导体间的电场强度为 两极板间的电势差 电容 116 电容器的电能 117 7 9当一个带电导体达到静电平衡时 A 表面上电荷密度较大处电势较高 B 表面曲率较大处电势较高 C 导体内部的电势比导体表面的电势高 D 导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零 D 在达到静电平衡以后 导体是个等势体 导体表面是等势面 所以导体内任一点与其表面上任一点的电势差等于零 导体表面面电荷密度大的地方场强大 面电荷密度小的地方场强小 118 7 12A B为两导体大平板 面积均为S 平行放置 如图所示 A板带电荷 Q1 B板带电荷 Q2 如果使B板接地 则AB间电场强度的大小E为 C B板接地 无Q2 B板感应电荷Q1 因 Q S 两板间电场 119 7 13一空心导体球壳 其内 外半径分别为R1和R2 带电荷q 如图所示 当球壳中心处再放一电荷为q的点电荷时 则导体球壳的电势 设无穷远处为电势零点 为 D 120 7 16一个平行板电容器 充电后与电源断开 当用绝缘手柄将电容器两极板间距离拉大 则两极板间的电势差U12 电场强度的大小E 电场能量W将发生如下变化 A U12减小 E减小 W减小 B U12增大 E增大 W增大 C U12增大 E不变 W增大 D U12减小 E不变 W不变 C d增大 则C减小 电源断开 电荷不变 C减小 则U增大 E不变 Q不变 W增大 121 7 17如图所示 两同心导体球壳 内球壳带电荷 q 外球壳带电荷 2q 静电平衡时 外球壳的电荷分布为 内表面 外表面 q q 外球壳带电荷 2q全部分布在外表面 内表面有感应电荷 q 外表面有感应电荷 2q q q 122 7 22一导体球半径为R 带电为Q 求带电导体球的电势以及电场强度大小的分布 123 解 1 由静电感应 金属球壳的内表面上有感生电荷 q 外表面上带电荷q Q 2 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的 因为任一电荷元离O点的距离都是a 所以由这些电荷在O点产生的电势为 3 球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在O点产生的电势的代数和 7 23如图所示 一内半径为a 外半径为b的金属球壳 带有电荷Q 在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q 设无限远处为电势零点 试求 1 球壳内外表面上的电荷 2 球心O点处 由球壳内表面上电荷产生的电势 3 球心O点处的总电势 124 在曲面上任取一面元ds 此面元ds所在处的B与单位法线n之间的夹角是 那么通过此面元的磁通量为 通过一有限大小曲面的磁通量 m就等于通过这些面积元ds上的磁通量d m的总和 即 磁通量的计算 和定义电通量类似 通过磁场中某一曲面的磁力线数叫做通过此曲面的磁通量 用 m表示 磁场中的高斯定理 通过任意闭合曲面的磁通量必等于零 125 毕奥 萨伐尔定律 载流导线上任一电流元Idl 它在真空中某点P的磁感应强度dB的大小与电流元的大小Idl和电流元到P点的矢径r之间的夹角 的正弦成正比 并与电流元到P点的距离r的平方成反比 dB的方向垂直于dl和r所组成的平面 其指向由右手螺旋来决定 126 如果导线为无限长 1 0 2 则 请记住 请记住此结果 载流长直导线的磁场 长直圆柱形载流导线内外的磁场 127 圆心处 x 0 请记住 载流圆线圈轴线上的磁场 128 安培环路定理 在磁场中 磁感应强度沿任何闭合环路L的线积分 等于穿过这环路所有电流强度的代数和的 0倍 长直螺线管内的磁场 129 安培定律 磁场对电流元Idl的作用力 在数值上等于电流元的大小 电流元所在处的磁感应强度以及电流元Idl与磁感应强度B之间的夹角 的正弦之乘积 亦即 安培力的方向由右手螺旋决定 即右手四指由Idl经小于180 的角弯向B 此时大拇指的指向即安培力的方向 若用矢量式表示 则为 130 磁场对载流线圈的作用 上式不仅对矩形线圈成立 实际上对于匀强磁场中任意形状的平面线圈也同样成立 131 洛仑兹力实验表明 运动的带电粒子在磁场中受力F的大小与粒子的电荷q 速度v 磁感应强度B之间有如下关系 是v和B之间的夹角 F的方向和v B所构成的平面垂直 另外F的方向还和q的正负有关 下图是正电荷受力的情形 若是负电荷 则F的方向与此相反 上式可写成矢量式 由于洛仑兹力的方向总与带电粒子速度的方向垂直 所以洛仑兹力永远不对粒子作功 它只改变粒子运动的方向 而不改变它的速率和动能 132 带电粒子在磁场中的运动 设有一匀强磁场B 一电量为q 质量为m的粒子以初速v0进入磁场中运动 重力的作用忽略不计 若v0与B同向 在此情况下 因为B与v0之间的夹角为零 所以作用于带电粒子上的洛仑兹力 带电粒子仍作匀速直线运动 不受磁场的影响 133 若v0与B垂直 此时粒子将受到与运动方向垂直的洛仑兹力f 此力的大小为 方向垂直于v0和B 所以粒子的速度大小不变 只改变方向 带电粒子将作匀速圆周运动 而洛仑兹力起着向心力的作用 因此 134 即 式中R是圆形轨道的半径 由上式可知轨道半径与带电粒子的运动速度成正比 与磁感应强度B成反比 速度越小 或B越大 轨道就弯曲的越厉害 带电粒子绕圆形轨道运行一周所需的时间即周期是 这一周期与B成反比 但与带电粒子的运动速度无关 135 8 14四条皆垂直于纸面的载流细长直导线 每条中的电流皆为I 这四条导线被纸面截得的断面 如图所示 它们组成了边长为2a的正方形的四个角顶 每条导线中的电流流向亦如图所示 则在图中正方形中心点O的磁感强度的大小为 136 8 14四条皆垂直于纸面的载流细长直导线 每条中的电流皆为I 这四条导线被纸面截得的断面 如图所示 它们组成了边长为2a的正方形的四个角顶 每条导线中的电流流向亦如图所示 则在图中正方形中心点O的磁感强度的大小为 C 四条无限长直导线到0点的距离相同 因此产生的磁场大小相同 方向按右手螺旋两两相同 因此总B 0 137 8 13无限长直导线在P处弯成半径为R的圆 当通以电流I时 则在圆心O点的磁感应强度大小等于 138 8 13无限长直导线在P处弯成半径为R的圆 当通以电流I时 则在圆心O点的磁感应强度大小等于 D 139 8 11有一个圆形回路1及一个正方形回路2 圆直径和正方形的边长相等 二者中通有大小相等的电流 它们在各自中心产生的磁感应强度的大小之比B1 B2为 140 圆心 正方形中心 四边在中心产生的B方向都一致 8 11有一个圆形回路1及一个正方形回路2 圆直径和正方形的边长相等 二者中通有大小相等的电流 它们在各自中心产生的磁感应强度的大小之比B1 B2为 C 141 8 25将通有电流I 5 0A的无限长导线折成如图形状 已知半圆环的半径为R 0 10m 求圆心O点的磁感强度 0 4 10 7H m 1 142 8 25将通有电流I 5 0A的无限长导线折成如图形状 已知半圆环的半径为R 0 10m 求圆心O点的磁感强度 0 4 10 7H m 1 解 方向垂直纸面向内 方向垂直纸面向内 因为0在cd延长线上所以 因此 143 法拉第电磁感应定律 如果回路是由多匝线圈组成 楞次定律 闭合回路中感应电流的方向 总是使得它所激发的磁场来阻止引起感应电流的磁通量的变化 增加或减少 144 动生电动势 直导线 均匀磁场 导线垂直磁场平移 145 感生电动势 当一导体回路固定不动 磁通量的变化完全是由磁场的变化所引起时 导体回路中也要产生感应电动势 即感生电动势 如果我们用E旋表示涡旋电场的场强 在此E旋的作用下 单位正电荷沿闭合回路L移动一周时 涡旋电场所作的功就是感生电动势 即 146 自感现象 设有一回路 通有电流I 根据毕奥 萨伐尔定律 电流I产生磁场的磁感应强度与电流I成正比 即 式中比例系数L称为该回路的自感系数 即L就是通有单位电流的回路所包围的面积内通过的磁通量 如果回路周围不存在铁磁质 自感L是一个与电流无关仅由回路的匝数 几何形状和大小以及周围介质的磁导率而决定的物理量 当决定L的上述因素都保持不变时 L是一个不变的常量 或写成 147 按照法拉第电磁感应定律 回路中的自感电动势应写为 若回路的几何形状和磁介质的磁导率都保持不变 即L为常量 则 即 或 148 互感现象 149 磁场的能量 自感磁能 150 9 10两根无限长平行直导线载有大小相等 方向相反的电流I 并都以dI dt的变化率增长 一矩形金属线圈位于导线平面内 如图所示 则 A 线圈中无感应电流 B 线圈中感应电流为顺时针方向 C 线圈中感应电流为逆时针方向 D 线圈中感应电流方向不确定 B 上面一根导线因电流变化在矩形线圈中引起的感应电流 方向为逆时针 小于下面一根导线电流变化在矩形线圈中引起的感应电流 方向为顺时针 因此线圈中感应电流为顺时针方向 B 151 9 11将形状完全相同的铜环和木环静止放置 并使通过两环面的磁通量随时间的变化率相等 则不计自感时 A 铜环中有感应电动势 木环中无感应电动势 B 铜环中感应电动势大 木环中感应电动势小 C 铜环中感应电动势小 木环中感应电动势大 D 两环中感应电动势相等 D 由麦克斯韦电磁场理论 在变化的磁场周围 无论是否存在导体都会产生具有闭合电场线的感生电场 由于铜环和木环形状完全相同 因此在二者中产生的感应电场大小相等 所以感应电动势相同 但在木环中不会形成电流 152 9 12如图所示 一载流螺线管的旁边有一圆形线圈 欲使线圈产生图示方向的感应电流i 下列哪一种情况可以做到 A 载流螺线管向线圈靠近 B 载流螺线管离开线圈 C 载流螺线管中电流增大 D 载流螺线管中插入铁芯 B 按右手螺旋定律载流螺线管中产生的磁场方向沿轴线向右 欲使线圈产生图示方向的感应电流i 需使通过线圈向右的磁通量减少 即载流螺线管离开线圈 153 9 14如图 长度为l的直导线CD在均匀磁场B中以速度v移动 直导线CD中的电动势为 A Blv B Blvsina C Blvcosa D 0 D 不切割磁力线 无电动势产生 154 9 15如图所示 M N为水平面内两根平行金属导轨 ab与cd为垂直于导轨并可在其上自由滑动的两根直裸导线 外磁场垂直水平面向下 当外力使ab向右平移时 cd A 不动 B 转动 C 向左移动 D 向右移动 D ab向右平移时 通过回路的磁通量增加 为反抗这种增加 cd会向右移动 以使通过回路的磁通量减少 155 9 17两个相距不太远的平面圆线圈 怎样可使其互感系数近似为零 设其中一线圈的轴线恰通过另一线圈的圆心 A 两线圈的轴线互相平行放置 B 两线圈并联 C 两线圈的轴线互相垂直放置 D 两线圈串联 C 欲使两线圈的互感系数近似为零 只需让两线圈相互之间的磁通近似为零即可 当两线圈的轴线互相垂直放置时 相互之间的磁通近似为零 156 9 25一半径为R的金属圆板在均匀磁场中以角速度w绕中心轴旋转 均匀磁场的方向平行于转轴 如图所示 这时板中由中心至同一边缘点的不同曲线上总感应电动势的大小 方向 把圆板看作是由许多细杆绕轴转动 由 知电动势的方向沿曲线由圆心指向边缘 即 各点大小相同 157 k为弹簧的倔强系数 负号表示力和位移的方向相反 即弹性力的方向永远指向原点 物体在左右两个端点位移最大 因此所受力的数值最大 加速度亦最大 但由于物体静止 其速度为零 但在其原点处 位移为零 受力为零 所以加速度为零 但此时速度最大 虎克定律 158 运动方程 159 设 0 图像如下 此图像表明 随着时间的推移 m的位移x在数值A到 A之间作往复周期性的变化 即振动 A 振幅 振动物体离开平衡位置的最大位移 周期 作谐振动的物体往复运动一次所需的时间 T 160 频率 圆频率 161 谐振动的速度和加速度 已知简谐振动的位移 则物体的运动速度 加速度 162 在任一时刻t A在0 x轴上的投影是 参考圆 旋转矢量 谐振动的位相 谐振动的运动方程 163 上述结果表明 如果已知初位移x0和初速度v0 就能由上式求出谐振动的振幅和初位相 弹簧振子的周期 振幅及初位相的确定 则弹簧振子的周期 频率 初位相也可以用参考圆法来确定 164 振动曲线 起始时小球在振动正方向的端点 165 起始时小球在振动正方向的端点 起始时小球在振动负方向的端点 振动曲线 166 起始时小球在振动正方向的端点 起始时小球在振动负方向的端点 起始时在平衡位置向负方向运动 振动曲线 167 起始时小球在振动正方向的端点 起始时小球在振动负方向的端点 起始时在平衡位置向负方向运动 起始时在平衡位置向正方向运动 振动曲线 168 起始时小球在振动正方向的端点 起始时小球在振动负方向的端点 起始时在平衡位置向负方向运动 起始时在平衡位置向正方向运动 起始时过x A 2向x正方向运动 红虚线 振动曲线 169 起始时小球在振动正方向的端点 起始时小球在振动负方向的端点 起始时在平衡位置向负方向运动 起始时在平衡位置向正方向运动 起始时过x A 2向x正方向运动 红虚线 6 起始时过x A 2向x负方向运动 黑虚线 振动曲