二次函数的图象与性质学案.doc

第2课时 二次函数yax2的图象与性质一、阅读课本：P57二、学习目标：1 会画二次函数yax2的图象；知道二次函数的图象是一条抛物线；2掌握二次函数yax2的性质，并会灵活应用三、学习过程： 合作学习，探索新知 : 画二次函数yx2的图象【提示：画图象的一般步骤：列表（取几组x、y的对应值；描点（表中x、y的数值在坐标平面中描点（x，y）；连线（用平滑曲线）】列表：x3210123yx2描点，并连线由图象可得二次函数yx2的性质：1二次函数yx2是一条曲线，把这条曲线叫做_2二次函数yx2中，二次函数a_，抛物线yx2的图象开口_3自变量x的取值范围是_4观察图象，当两点的横坐标互为相反数时，函数y值相等，所描出的各对应点关于_对称，从而图象关于_对称5抛物线yx2与它的对称轴的交点（ ， ）叫做抛物线yx2的_ 因此，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的_6 抛物线yx2有_点（填“最高”或“最低”） 四、例题分析例1 在同一直角坐标系中，画出函数yx2，yx2，y2x2的图象解：列表并填：x432101234yx2yx2的图象刚画过，再把它画出来x21.510.500.511.52y2x2归纳：抛物线yx2，yx2，y2x2的二次项系数a_0；顶点都是_； 对称轴是_；顶点是抛物线的最_点（填“高”或“低”） 例2 请在例1的直角坐标系中画出函数yx2，yx2， y2x2的图象列表：x3210123yx2x432101234y=x2x432101234y2x2归纳：抛物线yx2，yx2， y2x2的二次项系数a_0，顶点都是_，对称轴是_，顶点是抛物线的最_点（填“高”或“低”） 五、理一理1抛物线yax2的性质图象（草图）开口方向顶点对称轴有最高或最低点最值a0当x_时，y有最_值，是_a0当x_时，y有最_值，是_2 抛物线yx2与yx2关于_对称，因此，抛物线yax2与yax2关于_ 对称，开口大小_3当a0时，a越大，抛物线的开口越_； 当a0时，a 越大，抛物线的开口越_； 因此，a 越大，抛物线的开口越_，反之，a 越小，抛物线的开口越_六、达标练习1填表：开口方向顶点对称轴有最高或最低点最值yx2当x_时，y有最_值，是_y8x22若二次函数yax2的图象过点（1，2），则a的值是_3二次函数y(m1)x2的图象开口向下，则m_4如图， yax2 ybx2 ycx2 ydx2 比较a、b、c、d的大小，用“”连接26.2.2 二次函数的图像和性质（2）学习目标：1、经历探索二次函数y=ax2+k(a0)的图象作法和性质的过程；2、能够理解函数y=ax2+k与y=ax2的图象的关系，知道a、k对二次函数的图象的影响；3、能正确说出函数y=ax2+k的图象的性质。教学过程：一、叙述二次函数y=ax2的图象和性质。二、探索二次函数y=ax2+k(a0)的图象作法和性质1、操作（1） 列表：0123(2)在下图的直角坐标系中，描点并画出函数和的图象；2、思考：函数y=x2+1的图象与y=x2的图象有什么关系？（1）函数y=x2+1的图象与y=x2的图象的形状相同吗?（2）从表格中的数值看，相同自变量的值所对应的两个函数值有何关系？（3）从点的位置看，函数y=x2+1的图象与函数y=x2的图象的位置有什么关系？（4）观察右图，思考：函数y=-x2+3的图象可由y=-x2的图象 平移 单位长度得到；函数y=-x2-2的图象可由y=-x2的图象 平移 单位长度得到。3、归纳：图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?函数y=ax2 (a0)和函数y=ax2+ k (a0)的图象形状 ，只是位置不同；当k 0时，函数y=ax2+ k的图象可由y=ax2的图象向 平移 个单位得到；当k0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向 平移 个单位得到。4、导练一：（1）函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象向 平移 个单位得到；y=4x2-11的图象可由 y=4x2的图象向 平移 个单位得到。（2）将函数y=-3x2+4的图象向 平移 个单位可得y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 平移 个单位得到可由 y=2x2的图象。将y=x2-7的图象向 平移 个单位可得到 y=x2+2的图象。（3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的抛物线的函数式是 。 将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的抛物线的函数式是 。5、通过上面的探究，你能总结函数y=ax2+ k的性质吗？6、导练二：（1）抛物线y=-3x2+5的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 。（2）抛物线y=7x2-3的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y随x的增大而 ，在对称轴的右侧，y随x的增大而 ，当x= 时，取得最 值，这个值等于 。（3）二次函数y=ax2+c (a0)的图象经过点A（1，-1），B（2，5），则函数y=ax2+c的表达式为 。若点C(-2,m),D（n ,7）也在函数的图象上，则点C的坐标为 ，点D的坐标为 。7、导练三：（1）已知二次函数y=3x2+4，点A(x1，y1), B(x2，y2), C(x3，y3)，D(x4,y4)在其图象上，且x2 x40, 0x3|x1|， |x3|x4|， 则 ( ) A.y1y2y3y4 B.y2y1y3y4 C.y3y2y4y1 D.y4y2y3y1（2）已知二次函数y=ax2+c ，当x取x1，x2（x1x2，x1，x2分别是A,B两点的横坐标）时，函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为 （ ） A. a+c B. a-c C. c D. c（3）函数y=ax2-a与y=在同一直角坐标系中的图象可能是 （ ）（4） 抛物线经过（2，0）和（1，-1），求此抛物线的解析式。26.2.3 二次函数的图像和性质（3） 学习目标：1、经历探索二次函数y=a(x-h)2(a0)的图象作法和性质的过程；2、能够理解函数y= y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系，知道a、h对二次函数的图象的影响；3、能正确说出函数y=a(x-h)2的图象的性质.教学过程：一、叙述二次函数y=ax2+k(a0)的图象和性质。二、探索二次函数y=a(x-h)2(a0)的图象作法和性质：1、操作：（2） 列表：0123(2)在下图的直角坐标系中，描点并画出函数，y=(x+3)2的图象；2、思考：（1）函数y=(x+3)2的图象与y=x2的图象有什么关系？（2）函数y=(x+3)2的图象与y=x2的图象的形状相同吗?（3）从表格中的数值看，函数y=(x+3)2的函数值与函数y=x2的函数值相等时，它们所对应的自变量的值有什么关系?（4）从点的位置看，函数y=(x+3)2的图象与函数y=x2的图象的位置有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? 3、结论:函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x2的图像沿x轴向 平移 个单位长度得到,所以它是 ,这条抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ,当x 时,y随x的增大而增大,当x 时,y随x的增大而减小.4、观察右图,思考并回答下列问题:抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴 平移了 个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x2沿x轴 平移了 个单位.图象向左平移还是向右平移,移多少个单位长度,有什么规律吗?5、归纳：二次函数y=a(x-h)2(a0)的图象和性质：三、例题：1、二次函数y=2（x+5）2的图像是 ，开口 ，对称轴是 ，当x= 时，y有最 值，是 。它是由二次函数y=2x2向_平移_个单位得到。它向左平移6个单位后的二次函数的解析式为_。2、将函数y=3（x4）2的图象沿x轴对折后得到的函数解析式是 ； 将函数y=3（x4）2的图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 。3、把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛物线y=- 3（x-h）2的图象，则a= ，h= 。若抛物线y= a（x-4）2的顶点A，且与y轴交于点B，抛物线y= - 3（x-h）2的顶点是M， 则SMAB= .4、9如图所示，在直角坐标系中，函数与的图象大致是（） 5、将抛物线向右平移2个单位后与直线AB相交于B,C两点,如图,已知A点的坐标是(2,0),B点坐标是(1,1). (1)求直线AB和平移后的抛物线所表示的函数解析式; (2)如果平移后的抛物线上有一点D,使得,求这时点D的坐标. 26.2.4.2二次函数的图像和性质（4） 学习目标：1、经历把函数y=ax2的图象沿x轴、y轴平移后得到y=a(x-h)2+k的图象的探究过程，进一步了解上述图象变换的实质是：图像形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化；2、能通过对函数y=ax2的图象进行平移的方法，画出函数y=a(x-h)2+k的图象；教学过程：1、 情境：二次函数y=a(x-h)2+k的图象也是抛物线吗？它与二次函数y=ax2的图象有什么关系？它有什么性质？二、思考探索：二次函数y=(x+1)2+2的图象是抛物线吗？观察右图，把函数y=x2的图象沿x轴向 平移 个单位长度，可得y=(x+1)2的图象；再把函数y=(x+1)2的图象沿y轴方向向 平移 个单位长度就可以得到函数y=(x+1)2+2的图象。你能解释函数y=(x+1)2与y=(x+1)2+2之间的数量关系吗?由此可见,函数y=(x+1)2+2的图象是抛物线。2、练习一：（1）函数y=-2(x-2)2、y=-2(x-2)2+3的图象与函数y=-2x2的图象 都相同，只是 发生了改变，把函数y=-2x2的图象沿 轴向 平移 个单位长度，即可得到函数y=-2(x-2)2的图象；再将所得图象沿 轴向 平移 个单位长度，即可得到函数y=-2(x-2)2+3的图象。（2）函数y=a(x+m)2+k的图象是由函数y=的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到的，则a= ；m ；k= 。三、请你说说函数y=(x+1)2+2具有的性质：四、归纳：请小结二次函数y=a(x-h)2+k（a0）的性质：（介绍顶点式）五、练习二：1、一个二次函数的图象与抛物线的形状相同，且顶点为（1，4），求这个函数的解析式。2、已知，抛物线。（1） 求抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴； （2）求抛物线与轴的交点坐标；（3） 抛物线与轴的交点坐标。3、已知，抛物线的顶点坐标是（2，2），且抛物线经过点（0，1）。求的值； 画出该函数的图象； 根据函数图象回答，当取何值时，随的增大而增大？当取何值时，随 的减小而减小？4、已知，抛物线的顶点是A，抛物线 的顶点是B。（1）判断点A是否在抛物线上，说明理由；（2）如果抛物线经过点B。a) 求的值；b) 这条抛物线与轴的两个交点和它的顶点A能否构成直角三角形？若能，试求出的值；若不能，请说明理由。26.2.4.4二次函数的图像和性质（5）学习目标：1、经历探索二次函数的图象作法和性质的过程，进一步体会配方法的重要作用；2、能通过配方确定二次函数的图象和性质。教学过程：一、情境：函数的图象是抛物线吗？如果是，请你指出它是由哪个函数的图象怎样平移得到的？并说说它具有的性质。二、思考探索：（一）探究1：二次函数的图象是抛物线吗？它有什么性质？（介绍二次函数的一般式）开口方向顶点坐标对称轴最值增减性（二）学以致用（学生板演）把下列函数化成顶点式，并写出它们的顶点坐标及最大值或最小值。 （三）探究2：你能画出函数的图像吗？（介绍五点作草图的方法）点拨：要画出二次函数的图象，可以先确定这个图象的顶点和对称轴的位置。根据图象的对称性，列表、描点连线如下：x-4-3-2-10y请按以下步骤进行探究：（1）函数化为顶点式为：_； (2)其对称轴为_，顶点坐标为_； (请在直角坐标系中用虚线画出对称轴并描出顶点) （3）完成上面表格，通过填表，你发现了什么? (4)由图像可知，当_时，函数有最_值为_。（四）小试牛刀：画出函数y=的图象，并求出它的最大值或最小值。x y根据图象的对称性，列表、描点连线如下：（五）例题讲授例1已知二次函数。求它的最值；当x为何值时，y随x的增大而减小?例2已知函数的图象与函数的图象的形状、大小、开口方向都相同，且顶点坐标是（-2，4），求a、b、c的值.例3已知函数y=。确定该函数的图象的顶点在第几象限；如果该函数的图象经过原点，求它的顶点坐标。例4已知抛物线的顶点A在直线上，求抛物线的顶点坐标。例5求以抛物线的顶点与轴两个交点为顶点的三角形的面积。五、课后探究1已知二次函数，根据下列条件求的值：图象经过原点；图像的对称轴是y轴；图像的顶点在x轴上。2已知二次函数的图象如图。根据图中提供的信息求二次函数的关系式；求图象与x轴的交点坐标；观察图象解答：当x为何值时， y0?y=0?y0?26.2.4.6二次函数的图像和性质（6）教学目标1继续探究二次函数的图象和性质；2探究具有特殊位置的二次函数的系数特征。教学重点和难点：具有特殊位置的二次函数的系数特征教学过程：一、复习：请你说说二次函数的图象和性质。二、思考探索：1、二次函数的图像的特征是_；由此可以得出二次函数的图象的对称轴是轴（或顶点在轴上）的条件是_。2、若二次函数的图像经过原点，将（0，0）代入函数解析式得_；由此可以得出二次函数的图像经过原点的条件是_。3、二次函数的图像与_轴必有一个交点，此交点坐标是_（注：叫抛物线在轴上的截距，截距可正可负，主要取决于的符号）。c决定抛物线与y轴交点P(0,c)的位置，当c_， P在y轴正半轴上；c_，P在原点；c_，P在y轴负半轴。：4、二次函数的图像的特征是_；此时抛物线与轴只有一个公共点，由此可以得出二次函数的图象顶点在轴上的条件是_。5、若二次函数的图像与轴有两个交点分别为A、B，则A、B两点之间的距离_。6、 二次函数的图象永远在轴上方的条件是_；二次函数的图象永远在轴下方的条件是_；三、例题讲授：1、已知二次函数。根据下列条件求m的值：图象经过原点；图像的对称轴是y轴；图像的顶点在x轴上。2、已知抛物线的顶点在坐标轴上，求的值3、若抛物线y=x2-2mx+m2+m+1的顶点在第二象限，则常数m的取值范围是 （ ）Am2 B.-1m2 C.-1m14、小明从右边的二次函数yax2+bx+c图像中，观察得出了下面的五条信息：a0 c0 函数的最小值为3当x0时，y0 当0x1x22时，y1y2。你认为其中正确的有_个。 5、已知抛物线 。 求抛物线与x轴交点的坐标； 若将此抛物线进行平移，使它通过原点，并且在x轴上所截得的线段长为4，问应作怎样的平移? 求出平移后的抛物线所表示的函数的解析式。 6、已知抛物线的顶点为P（3，2），且在x轴上截得线段AB长为4。 （1）求这个抛物线的解析式； （2）抛物线上是否存在点Q，使QAB的面积等于12？如果存在，求出Q点坐标；如果不存在，请说明理由。26.2.4.7二次函数的图像和性质（7）教学目标1理解掌握二次函数的第三种表示形式两根式的意义；2能选取合适的方法求二次函数的解析式。教学重点和难点：能选取合适的方法求二次函数的解析式教学过程：一、探究：我们知道：如果二次函数y=ax2+bx+c（a0）图象与x轴有两个交点（x1，0）、(x2，0),那么一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的两个实数根是x=_或x=_。那么二次三项式ax2+bx+c（a0）因式分解为_。因此，二次函数y=ax2+bx+c（a0）可以写成_的形式。我们把具有形式_的二次函数的解析式叫做二次函数的两根式，也叫两点式。例1、求与x轴两个交点分别为（-5，0）、(1，0)，且经过点（-4，5）的抛物线的解析式。二、小结：二次函数解析式的三种形式为：1、一般式：_；2、顶点式：_；3、两根式：_。交流：你能说出这三种解析式的各自特点吗？三、例题讲授：（一）求经过无特征位置的三点的抛物线解析式的求法例2、求经过点（-1，6）、(2，5)，（1，2）三点的抛物线的解析式。（二）求经过有特征位置的点的抛物线解析式的求法例3、已知二次函数的顶点坐标为（3，-2）且过（2，）求函数解析式。例4、求经过点（2，-3）、(3，0)，（0，-9）三点的抛物线的解析式。例5、二次函数图象的对称轴是x=2，且过（1，4）和（5，0），求函数解析式。例6、已知y=0，图象过点E（-3，-12）和F（3，0），求函数解析式。例7、抛物线y=ax2+bx+c过（-1，-22），（0，8），（2，8）三点，求它的开口方向、对称轴和顶点坐标。例8、已知二次函数y=ax2+bx+c过A（1，0）点，对称轴是x=，一次函数y=2x-4与抛物线的一个交点的横坐标为3，求：(1)抛物线的解析式；(2)直线2-4与抛物线的另外一个交点坐标。（3） 求有比例关系的抛物线解析式的求法例9、已知抛物线y=ax2+bx+c中abc143且最小3，求它与x轴的两个交点之间的距离。（四）其它：已知抛物线过（1，1）（-1，-3）两点，且在x轴上截得的线段长为求抛物线的解析式。26.2.4.8二次函数的图像和性质（8） 学习目标：1、能利用二次函数的图像和性质确定a、b、c及相关代数式的符号；2、能运用数形结合的数学思想确定函数值或自变量的取值范围；3、进一步体验数形结合的数学方法。教学过程：一、情境：已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论： ； ； ； ； ，（的实数）其中正确的结论有 （ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个二、探究，小结归纳：1、确定a、b、c的符号(1)二次函数：， a的符号由_决定；(2) 的符号由_决定，结合a的符号，可确定_的符号；(3)c的符号由_决定，当抛物线与y轴交点在y轴的正半轴时，c_，当抛物线与y轴交点在y轴的负半轴时，c_。(4)确定了a、b、c的符号，易确定abc的符号。2、确定类似代数式a+b+c的符号当x=1时， y