全国数学竞赛综合试题分类篇.doc

全国数学竞赛综合试题分类篇第一类：一元二次方程的整数根问题试题1. 求实数，使得关于的方程的根都是整数（中等数学1999年第5期）试题2.在正实数范围内，只存在一个数是关于的方程的解，求实数的取值范围。（中等数学2001年第3期）试题3. 试求出所有这样的正整数，使得二次方程至少有一个整数根。（中等数学2003年第5期）试题4. 设是质数，是正整数。求证方程至少有一个整数根的充分必要条件是。（中等数学2003年第6期）试题5. 设为互不相等的实数，且，已知关于的方程有一个公共根，方程有一个公共根，试求的值。（中等数学2002年第6期）试题6. 试确定一切有理数，使得关于的方程有根且只有整数根。试题7. 求出所有的实数，使得关于的一元二次方程的两个根都是整数。（中等数学2005年第3期）试题8. 已知关于的一元二次方程与若方程的两个实数根的平方和等于方程的一个整数根，求的值。（中等数学2006年第10期）试题9.已知方程的两个为，方程的两根为。（1）若为整数，且，求的值。（2）若。（中等数学2007年第5期）试题9.已知方程与方程有且只有一个公共根。求证：这两个方程的另外两个根是方程的两个根。（中等数学2000年第4期）试题10. 若关于的方程只有一个解，求的值。（中等数学2000年第4期3）试题11. 已知关于的一元二次方程有不相等的实数根，则满足条件的有序正整数有多少对？（中等数学2006年第8期）试题12. 已知关于的方程的根都是某个等腰直角三角形的边长，求的值。（中等数学2011年第5期）试题13. 已知关于的一元二次方程有两个整数根，求实数的值。（中等数学2011年第7期）试题14.已知为整数,且,方程的两个根满足关系式试求所有的整数点对().（1997年全国初中数学联赛试题）试题15.已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根.（2007年全国初中数学联合竞赛）试题15.已知一元二次方程有两个连续的整数根，一元二次方程要整数根，求的值。（中等数学2004年第5期）第二类：二次函数（抛物线）类问题试题1 在直角坐标系中，抛物线与轴交于A,B两点，已知点A在轴的负半轴上，点B在轴的正半轴上，BD的长是AO的2倍（即)点C为抛物线的顶点。（2）求抛物线的解析式;(2)若点P在抛物线的对称轴上且P与轴，直线BC都相切，求点P的坐标。（中等数学2001年第6期）试题2 如图，开口向下的抛物线与正半轴交于A,B两点，（点A在点B的左侧），抛物线上另一点C在第一象限，且使。（1）求OC的长及的值。（2）设直线BC与轴交于点P，当C点是BP的中点时，求直线BC和抛物线 的解析式。（中等数学2000年第6期）试题3 二次函数的图像经过点（2，-1）且与半轴交于不同的两点。设图像的顶点为M。求使面积最小时的二次函数的解析式。（中等数学2002年第5期）试题4 如图抛物线若有两点在轴下方，则抛物线与轴有两个交（其中），（1）请对上述直观结论给出严格的证明。（2）当且均为整数时，求二次函数的解析式。（中等数学2006年第2期）试题5 已知是大于2005的正整数，为整数，抛物线在轴上方，且过点两点，求的最小值。（中等数学2005年第5期）试题6 已知一个两位数，其十位数字与个位数字分别为二次函数的图像与轴交于不同的两点A,B顶点为C，且1。（1）求的值；（2）求出所有这样的两位数。（中等数学2004年第1期）试题7 求二次函数绕点旋转后所得抛物线的解析式。（中等数学2006年第3期）试题8 二次函数的顶点为P，过点的直线AB与抛物线相切，且直线AB经过第一，二，四象限与轴轴分别交于A,B两点，求点P到直线AB的距离。（中等数学2007年第9期）试题9 方程的两个根为。试求二次函数，满足（中等数学1998年第6期）试题10 已知是实数，函数在内有实数根，求实数的取值范围。（中等数学2011年第12期）试题11 已知二次函数，当时，恒有；关于的方程两个实数根的倒数和小于，求的取值范围。（中等数学2012年第5期）试题12 已知抛物线与轴交于点且是方程的两个实数根，C为抛物线与轴的交点。（1）求抛物线的对称轴；（2）求直线AC,BC的解析式；（3）如果动直线与线段AC,BC分别交于D,E两点，那么在轴上是否存在点P，使得为等腰直角三角形？若存在，求出点P的位置；若不存在，请说明理由。（中等数学2012年第8期）试题13设为正整数，且，如果对一切实数，二次函数的图象与轴的两