基于桥式柔性铰链多误差源的数学建模.pdf

研究与 D OI 1 0 3 9 6 9 j i s s n 1 0 0 9 9 4 9 2 2 0 1 4 0 9 0 0 3 基于桥式柔性铰链多误差源的数学建模 周欢伟 陈新 陈新度 李克天 1 广东工业大学 广东广州 5 1 0 6 6 3 2 广州铁路职业技术学院 广东广州 5 1 0 4 3 0 摘 要 利用快 刀伺服系统加工可获得纳 米级的微结构 桥式柔性铰链 是最关键的零件之一 其柔性铰链 的误差度 直接影响零件 的加工精度 通过对多误差源的分析 探索每个误差源对精度的影响程度 包括过对桥式柔性铰链关键尺寸的加工误差 特别 是对敏感度较高的长度 宽度 厚度加工误差的分析 建立起关键尺寸与加工精度的数学模型 分析温度变化 建立基于神经 网络的加工误差数学模型 并提 出温度补偿的策略 分析重力 等原 因引起的误差变形 建立 由于重力 引起 变形量 与加工精度的 数学模型 将上述的多误差源的数学建模运用到设计和制造中 能从源头上减少误差对加工精度的影响程度 提高快刀伺服系 统加工微结构零件的尺寸精度和表 面粗糙度 关键词 柔性铰链 误差 加工精度 微结构 神经网络 中图分类号 T P 3 9 1 7 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 9 9 4 9 2 2 0 1 4 0 9 0 0 0 9一O 5 The M a t he m a t ica l M o de lin g o f M ult i Er r o r S o ur c e Ba s e d o n Br idg e Ty pe Fle x ur e Hin g e ZHOU Hua n we i CHEN Xin CHEN Xin d u LI Ke t ia n 1 Gu a n g d o n g Un i v e r s i t y o f T e ch n o lo g y Gu a n g z h o u 5 1 0 6 6 3 C h i n a 2 Gu a n g z h o u I n s t it u t e o f Ra il wa y T e ch n o l o g y G u a n g z h o u 5 1 0 4 3 0 C h in a Ab s t r a ct Us in g f a s t t o o l s e r v o s y s t e m t o ma ch in e t h e na n o me t e r g r a d e micr o s t r u ct u r e t h e b r id g e fle x u r e h in g e is a k e y p a r t T h e e r r o r o f fl e x u r e hin g e d ir e ct ly a f f e ct s t h e ma ch in in g a ccu r a cy o f micr o s t r u ct u r e T h is p a p e r e x plo r e s t h e in fl u e nce d e g r e e o n t h e a ccu r a cy t h r o u g h a n a ly z in g a ll k in d s o f e r r o r s o u r ce Th e ma t h e ma t ical mo d e l o f k e y d ime n s io n a n d ma ch inin g a ccu r a cy is e s t a b lis h e d in clu din g t h e ma ch in in g e r r o r o f b r id g e fle x u r e h in g e wh ich in clu d e s t h e s e n s it iv e s iz e o f le ng t h wid t h a n d t h ick n e s s Afte r a n a ly z in g t e mp e r a t u r e cha n g e t h e ma t h e ma t ica l mo d e l o f ma ch in in g e r r o r is e s t ab lis h e d b a s e d o n n e u r al n e t wo r k a n d t h e t e mp e r a t u r e co mp e n s a t io n s t r a t e g y is p u t f o r wa r d Aft e r An al y z in g t h e r e a s o n s o f d e f o r ma t io n e r r o r ca u s e d by gra v it y t h e ma t he ma t ica l mo de l o f d e f o r ma t io n a nd ma ch inin g p r e cis io n is e s t a b lis h e d Th e abo v e ma t h e ma t ica l mo d e lin g a p p lie d f o r t h e d e s ig n a n d ma n u f a ct u r in g p r o ce s s ca n r e d u ce t h e ir in fl u e n ce o n ma ch in in g a ccu r a cy a n d it a ls o ca n h e lp t h e f a s t t o o l s e r v o s y s t e m t o impr o v e micr o s t r u ct u r e s iz e p r e cis io n a n d s u r f a ce r o u g h n e s s Ke y wor d s fl e x u r e h in g e e r r o r ma ch in in g a ccu r a cy micr o s t ruct u r e n e u r a l n e t wo r k s O引言 柔性铰链 是快刀伺服系统 中实现微位移 的关 键零件之一 桥式柔性机构具有拓扑结构简单 应力分布均匀以及固有频率高等特点 目前关于 桥式柔性机构 的研究报道多见 于运动放大机构 L o b o n t iu 等 一 利 用卡氏第二定理推导 了桥式柔性放 大机构刚度 的闭环解析公式 并研究了相关几何 参数对刚度的影响趋势 R y u t 睬用矩阵分析的方 法对桥式柔性放大机构的变形进行分析 理论结 果同实验结果的误差小于 1 0 K i m等p 利用同样 广东省引进创新科研团队计划 编号 2 0 1 0 0 1 G 0 1 0 4 7 8 1 2 0 2 收稿 日期 2 0 1 4 0 7 2 8 的方法对空间桥式柔性放大机构f 两个二维桥式柔 性 机构交叉联 接 的变形 进行分 析 通过实 验测 试 其分析误差也小于1 0 柔性铰链的精度包 括尺寸精度 表面粗糙度 形位公差等 合理控 制零件的加工精度 有利于保证减小加工误差 很多学者对柔性铰链机构的精度进行了较为详细 和深入的研究 包括制造公差和装配误差 的影 响 并对误差建模及精度标定等 N i a r i t s i r y 等 歹 IJ 出了柔性铰链几种缺 口的误差 并将 这些误差代 人整个平 面少 自由度机构模 型进行 有限元仿真 与开发 叶鑫 等人以一种 3 P P T V R S微动工作 台为例 利 用矢量闭环 在微动工作 台单支链标准模型的基 础上建立基 于杆长的误差模型和基 于柔性铰链 的 误差模型 本文以特定的桥式柔性铰链为研究对象 分 析多误差源可能给定位精度带来影响 研究 由于 加工 温度 重力等 的影响 建立与加工精度对 应 的数学模 型 提 炼 出影响加 工精度 的敏感 元 素 从而减少由于误差给精度带来的精度误差 1 柔性铰链加工误差分析 桥式 柔性 铰链 具有结 构对 称性 强 运动 平 稳 消除了 y 轴的耦合性 并且具较大的放大 倍数 其具体的拓朴结构示意图如图 1 所示 y 1 2 I FI 11 8 9 l 4 7 l r 10 12 图 1 桥式柔性铰链 的示意 图 1 1 角度误差建模 如图 1 所示 第 1 到第 8 个柔性铰链缺 口按直 角型设计 第9 到第 1 2 个柔性铰链按半圆性柔性 铰链 进行设 计 设计时要 求柔性铰链 f f s 与 水平成 7 2 夹角 左边固定 Z 和 Z 成平行状沿 轴进行移动 由 Z Z Z Z 构成 的驱 动刀架部分沿 轴正向平移产生微位移 但是由于以下制造因素会造成柔性铰链产生 的微位移产生误差 1 Z Z 与水平 夹角误 差 设计要求成7 2 夹角 但由于加工为线切割 加工 会产生 A a的角度误差 2 柔性 铰链缺 口厚度误差 直角缺口设计要求为 1 3 m m 半圆 缺 口设计要求为 1 5 mm 但其厚度造成 的误差直 接影响其 刚度 3 对称度误差分析 设计要求 f 9 1 l f l 0 1z 长度相等 达到平行移动 但由于加工 误差使得刀架不能完全以水平方式进行平移 会 造成位移误差 由于逆压 电效 应而产生 的微位 移为 如 图 2 所示 设计角度为 o l 由于加工误差 使得 本 来 点 变 为 曰 其 角 度 由 原 来 的 o t 变 为 o l A o z 图 2角度误 差 通过分析可得 h h h 一 h A h h A Bs i n A 0 0 按设计要求时 工作微位移为 h AB s in h A B s in A s in 巫 s i n 丢 一A B s i n o r A o t A B s i n c t A B s i n a s in o l一 0 一 s in a s in O L O l a r cs in s in a一 a 一 s in a s i n a 1 a r cco s 2 压电陶瓷工作微位移为 2 A h 2 h h 2 一 2 A B 1 一 A co s 一ABco s 由于角度存在误差 工作微位移为 A B co s O L C O S O r 一 由于加工误差产生角度误差 使得 A B co s O l C O S C O S O C O S O A a 3 将式 1 2 代人 3 得位移误差与角度 之间的关系 A x A 鱼 会 堕 c o s c o s a rc s i n s i n 一 一 s i n O s i n O co s a A 4 周欢伟 等 基于桥式柔性铰链多误差源的数学建模 研究与开 1 2 宽度和厚度的误差建模 由于缺 口制造过程中产生误差 根据 刚度计 算能分析出其宽度 b 对柔性铰链的影响 设计厚 度为 b 实 际加工厚度为 b 根据材料力学 的要 求 以A B杆的第8 点缺口为例进行研究 由于极 T 惯性矩 其刚度为 E为该材料 的弹性 上 二 模量 设计厚度 b 故此处 只研究厚度 b 对压 柔性铰链 的影 响 如 图 3 所 示 其加工厚 度误差 Ab b b 图3宽度加工误差 根据式计算可得 舞嘲 si n F1 2 1 2 3 Fil l1 2 s in 咖 n X 一4 F 1 2 1 2 co s o t F 1 1 1 12 t 2 s i n a t a n E f 6 一 A b t 5 根 据 所 选 材 料 为 3 0 4不 锈 钢 时 E 为 2 0 6 GPa l1 2 5 8 9 m m 7 2 可得 出 与 A b 的关系 1 3长度误差建模 加工过程中 柔性铰链 的长度 l 与位移的行 程相关 通过建模 可得 c os s 吣 儿 当长度 由 z 变为 时 其长度变化为 2 z 一 0 C O S 2 b t O l s in t a n 凸 此 f 二 堡 二 c E6 F A 1 s in t a n 2热误差补偿 的数 学模型 2 1基于 RB F的神经 网络模型的热误差模型 1 R B F的神经网络模型的数学模型 R B F R a d ica l B a s is F u n ct io n 神经 网络 即径 向基 函数 神经 网络是 一种 高效 的前馈 式神经 网 络 它具有其他前向网络所不具有的最佳逼近性 能和全局最优特性 并且结构简单 训练速度 快 同时 它 也是一 种可 以广 泛应用 于模式 识 别 非线性 函数逼近等领域的神经网络模型 在 理 论 上 R B F网络 和 B P B a ck P r o p a g a t io n 多层前馈网络都是以任意精度逼近任何非线 性函数 它们使用的中隐层节点的基函数都采用 了 高斯条函数 但R B F 网络将每个输人维的高 斯响应加权求和 使得其成为具有唯一最佳逼近 的特性的神经 网络系统 且无局部极小问题存在 R e x p 一 式中 i表示第 个高斯条单元 即隐层节点 表示 输入维 M 为其维数 c 乱 分别是输入 向量 和第 个 高斯条 函数 的中心 C 宽度 以及权矢量wl 的第 项 2 热应力的产生原因 桥式柔性铰链热应力变形 的主要来源为 1 在桥式柔性铰链 内 当温度场 的变化时 金属外 表面与内部之间因膨胀不同而相互牵制 引起强 迫膨胀或约束 使得尺寸变化不一致产生变形 2 当温度场均匀时 对于同一物体由于热胀冷缩 的原因 促使产生热变形 几何尺寸发生变化 柔性铰链在不同方向上的变形位移分量 u 研究与开发 Zy M 是 连 续 仔 征 的 应 父 分 量 是 阴 鄙 分 乙 棚 一 部 分 由应力 引起 的 一 部分 由温度变 化 引起 的 根据虎克定律有 去 一 0 x 1 O y o rz 去 一 o rx O ry 4 0 z 鲁 去 一 Y x y 蠢T 壶T 赢 0 0 0 热 应变 列阵 s 分别表示 Y z 三个方 向 的应变量 or o r o r 分别表示 Y z 三个方 向的应力 y y 分别在 y z 三个平 面的剪切应变量 7 分别在 y z 三个平 面的剪应力 G 剪切弹性模量 变温 O 热膨胀系数 2 2热误差计算 金属具有热胀冷缩的属性 柔性铰链 由于温 度变化使得缺口加工精度对定位精度产生影响 由于柔性铰链各部分结构尺寸不 同 环境温度的 变化结构膨胀大小不一 具体伸长长度如下 7 J 6 根 据 3 0 4钢 的热 膨 胀 系数 为 仅 1 7 0X 1 0 根据设计 铰链 固定端 7 8 点 构成 3 4 9 1 0的 平 台 的 7点 到 l0点 的 距 离 f 1 2 8 2 mm 根据式 6 所示 温度升高 l C 则 L 2 1 7 94 I x m 2 3基于 R B F的热误差补偿方法 快刀伺服系统的误差受加工条件 以及周 围环 境 等多种 因素 的影响 呈现非线性 及交互作用 为提高 加工精 度 需 采取有 效 的措施减 少热 误 差 通过温度传感器而在实时补偿过程中用机床 温度值来预报热误差 神经网络理论是利用工程技术手段模拟人脑 神经 网络结构和功能的一种非线性动力学系统 以神经网络为代表的智能补偿技术已运用到热误 差建模 中 一般采用 B P 算法 的前 传多层感知 器 网络 根据感知器 网络权重初 始化的随机性 难 以根据热误差 的实际情况确定一组较好 的初始 值 而 R B F理论提供 了一种新颖 而有效 的手段 能有效地将 B F 结合起来 把由于温度误差通过神 经网络有效地进行补偿 3缺口处重力变形的误差模型 3 1重力对加工误差的影响规律 快刀伺服 系统 中桥式柔性铰链 拉杆 1 拉 杆2 压 电陶瓷 刀具等存在本身的重力 如图4 所示 使缺 口部分受重力 因素产生变形 引起位 移刀尖位移的定位精度产生误差 而对工件 的加 工精度影响是很难进行修改和补偿 的 所 以分析 缺口处重力变形的误差是十分重要的 图4 快刀伺服系统的重力变形模型 假设 零 件 的重力 为 G 长度 为 f 刚度 为 E 根据材料力学公式可得 二 二 二 二 二 y 占 S y y y L r D J I 中 c 1 S y y y 主 其 周欢伟 等 基于桥 式柔性铰链 多误差源的数学建模 研究与 O A 7 快刀伺服系统中 直接 由于重力影 响桥式柔 性铰链变形 的零件有桥式柔性铰链 上拉杆 下 拉杆 刀具 刀具固定板 螺栓等 其重力可进 行等效 并针对 1 0个缺 口处计算变形量 通过式 7 可计算获得变形量 3 2重 力误差仿真分析 将快 刀伺 服 系统 用 P r o E n g in e e r 进行 三维 数 字 建模 利用 A n s y s 仿 真 软件 得 到 如 图 5所 示 的变 形量 从 图 5中可 得 出最大 处变 形量 为 4 4 m 并且在拉杆中部 对刀具 的加工精度影 响 不 大 5O 0 图5 重力仿真分析 4小结 本文通过对快刀伺服 系统 的由于加工精度误 差 温度变化而 引起 的定位误差进行分析 首先 对柔性铰链的转 角误差进行分析 建立由于加工 误 差而 引起 的转角误 差 和 刀尖 处定 位精度 的关 系 然后探索柔性铰链缺 口宽度 厚度的误差引 起 刀尖处定位误 差的关 系 建立 了它们的数学模 型 最后分析柔性铰链 的杆长误差 建立长度误 差与定位精度的数学模型 探索 温度 的变化 引起定 位精度变化 的规律 建立 虎克定律方程的数学模型 根据温度变化程 度 构建温度误差引起 的定位精度误差的数学模 型 根据重力大小 用 A n s y s 对得力进行分析 得出因重力引起的变形误差方 向 参考文献 1 L o b o n t i u N G a r ci a E A n a l y t i ca l m o d e l o f d is p l a ce me n t 2 3 4 a mp lif ica t io n a n d s t if f n e s s o p t imiz a t io n f o r a cla s s o ff l e x u r e b a s e d co mp li a n t me ch a n i s m J co mp u t e r s a n d s t r u ct u r e s 2 0 0 3 81 2 7 9 7 2 81 0 R y u J w 6 Ax i s Ult r a p r e c i s i o n P o s i t io n in g Me h a n i s m D e s ig n a n d P o s i t i o n in g C o n t r o l D D a O n K o r e a Ad v a n ce d I n s t it u t e o f S cie n ce a n d T e ch n o lo g y 1 9 9 7 Kim J H Ki ms H K wa k Y K D e v e l o p me n t a n d o p t imi z a li o n o f 3 D b r i d g e t y p e h in g e m e ch a n i s ms J S e n s o r s a n d Act u a t o r s A P h y s ica 1 2 0 0 4 1 1 6 5 3 0 5 3 8 Wa n g J i a n MAS ORY O o n t h e a ccu r a cy o f a s t e w a r t p l a t f o r m P a r t 1 t h e e f f e ct o f ma n u f a ct u r in g t o le r a n ce s A I E E E I n t e ma t io n a l C o n f e r e n ce o n R 0 b o t i cs a I l d A u t o m a t i o n L o s lC j Ma y 2 6 l9 9 3 A t l a n t a GA US A Ne w Yo r k I EEE 2 0 3 1 l4 一l2 0 5 李嘉 6 P s s 并联微动机器人设计研究 D 北京 清华大学 2 0 0 0 1 6 j N I A R I T S I R Y T F F A Z E N D A T N C L A V E I R S i mu la t io n a n a ly s is o f t h e s o u r ce s o f in a ccu r a cy o f a p a r a lle l ma n i p u l a t o r l A J I E E E I n t e r n a t i o n a l C o n f e r e n ce O H R o b o t iz e s I n t e llig e n t S y s t e ms a n d s ig n a l P r o ce s s in g C j O c