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现代控制理论ModernControlTheory 12 俞立浙江工业大学信息工程学院 第5章状态反馈控制器设计建立了状态空间模型提出了基于状态空间模型的运动分析探讨了系统的性能 稳定性 能控性 能观性认识世界 如何来改变世界 设计控制系统 控制方式结构 开环控制闭环控制信息 状态反馈输出反馈 形式 静态反馈动态反馈反馈方式 线性反馈非线性反馈最简单的形式 线性静态 定常 状态反馈 5 1线性反馈控制系统状态反馈控制器 称为是状态反馈增益矩阵 导出的闭环系统 控制系统结构 外部输入 动态补偿器静态输出反馈控制器 静态线性输出反馈控制 v表示系统的参考输入 若在中取 状态反馈变为输出反馈 一类特殊的状态反馈 用输出误差来校正系统 用输出信号 5 1 2反馈控制的性质在静态反馈下 闭环系统矩阵变为和闭环系统矩阵的特征值决定了系统的稳定性 系统极点决定系统的过渡过程特性 结论 反馈可以改变系统的动态特性 定理5 1 1状态反馈不改变系统的能控性 已知是能控的 要证明对任意的矩阵 也是能控的 例分析系统在状态反馈下的闭环系统能控能观性 状态反馈使得闭环系统产生了零极点的对消 不能观 状态反馈可能改变能观性 能控 定理5 1 2输出反馈不改变系统的能控能观性 定理5 1 3对能控的单输入单输出系统 状态反馈不能改变系统的零点反馈形式的讨论 静态反馈不增加系统动态特性 状态和输出反馈均可保持闭环系统的能控性 输出反馈保持闭环系统的能观性 但状态反馈不能 利用系统的信息多 所能达到的性能好 5 2稳定化状态反馈控制器设计系统模型 控制律 闭环系统 问题 给出确定矩阵的方法 使得闭环系统渐近稳定稳定性分析方法 特征值方法劳斯判据李雅普诺夫稳定性理论 线性系统的李雅普诺夫稳定性分析方法线性时不变系统渐近稳定的充分必要条件是存在一个对称正定矩阵P 使得以下矩阵不等式成立 是系统的一个李雅普诺夫函数 针对闭环系统相应的李雅普诺夫不等式 进一步简化 是一个关于变量P K的矩阵不等式 非线性 稳定化控制器设计问题转化成了矩阵不等式求解问题 关键的问题 如何确定以上的矩阵K和P 5 2 1黎卡提方程处理方法如何才能成为闭环系统的李雅普诺夫函数 1 V x 是正定的 2 沿闭环系统轨线 是负定的 矩阵P是对称的 5 2 1黎卡提方程处理方法若选取其中 是待定参数 P是待定的对称正定矩阵 限制了反馈增益矩阵的结构 以性能换方便 若矩阵P满足那么 控制器设计问题转化为以下矩阵方程的求解问题 黎卡提矩阵方程 性质 若对给定的常数 以上矩阵方程有解 则对任意的都是系统的稳定化控制律 意义 正无穷大的稳定增益裕度 即闭环系统是渐近稳定的 设计算法Step1对某个 求解黎卡提矩阵方程Step2若存在对称正定解矩阵P 则构造控制律例5 2 1设计系统的一个稳定化状态反馈控制律取k 1 相应的黎卡提方程 展开矩阵方程 得到求取一个解矩阵 要的是正定对称解对任意的 稳定化控制律 另一方法 线性矩阵不等式处理方法 并不是一个线性方程组 求解一个关于变量P K的矩阵不等式 非线性矩阵不等式 难以直接求解 采用变量替换法 设法将其转化为一个线性矩阵不等式引入新的变量关于X Y的线性矩阵不等式 设计算法Step1求解关于X Y的线性矩阵不等式Step2若有解X Y 则是一个稳定化控制器的反馈增益