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函数的奇偶性 显微镜下的雪花 维特鲁威人 是达芬奇以比例最精准的男性为蓝本 因此后世也常以 完美比例 来形容当中的男性 问题1 在我们数学中有没有这种优美的对称呢 f 3 9 f 3 f 2 4 f 2 f 1 1 f 1 f 3 f 3 f 2 f 2 f 1 f 1 观察下图 思考并讨论以下问题 1 这两个函数图象有什么共同特征吗 2 相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的 f x x2 f x x 对于R内任意的一个x 都有f x x 2 x2 f x 这时我们称函数y x2为偶函数 性质 奇 偶函数 一般地 如果对于函数f x 的定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么f x 就叫做偶函数 例如 函数都是偶函数 图象 f 3 1 3 f 3 f 2 1 2 f 2 f 1 1 f 1 观察函数f x x和f x 1 x的图象 下图 你能发现两个函数图象有什么共同特征吗 f 3 f 3 f 2 f 2 f 1 f 1 对于R内任意的一个x 都有f x x f x 这时我们称函数y x为奇函数 性质 奇函数 一般地 如果对于函数f x 的定义域内的任意一个x 都有f x f x 那么f x 就叫做奇函数 如果一个函数f x 是奇函数或偶函数 那么我们就说函数f x 具有奇偶性 函数的奇偶性是函数的整体性质 思考 为什么说函数的奇偶性是函数的整体性质 那什么是函数的局部性质呢 例5 判断下列函数的奇偶性 函数具有奇偶性的一个前提条件是 对于定义域内的任意一个x 则 x也一定是定义域内的一个数 即函数的定义域关于原点对称 例如函数不具有奇偶性 是非奇非偶函数 用定义判断函数奇偶性的一般步骤 第一步 求函数的定义域 第二步 计算f x 第三步 判断f x 与 f x 或f x 是否有恒等关系 若有 相当于证明一个恒等式 若无 举一反例即可否定 第四步 得出结论 2 奇函数的图象关于原点对称 反过来 如果一个函数的图象关于原点对称 那么这个函数为奇函数 1 偶函数的图象关于y轴对称 反过来 如果一个函数的图象关于y轴对称 那么这个函数为偶函数 说明 奇偶函数图象的性质可用于 a 简化函数图象的画法 b 判断函数的奇偶性 奇偶函数图象的性质 偶 例 已知函数y f x 是偶函数 它在y轴右边的图象如下图 画出在y轴左边的图象 解 画法略 本课小结 1 两个定义 对于f x 定义域内的任意一个x 如果都有f x f x f x 为奇函数如果都有f x f x f x 为偶函数 2 两个性质 一个函数为奇函数它的图象关于原点对称一个函数为偶函数它的图象关于y轴对称 拓展与思考 1 若奇函数f x 的定义域为R 则f 0 的值是多少 在关于原点对称的公共定义域上 两个奇函数的和是否仍为奇函数 两
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