几何画板在圆锥曲线习题中的应用(吕世琼).doc

几何画板在圆锥曲线习题中的应用吕世琼数信学院 数学与应用数学 10290133【摘要】随着信息技术的高速发展，以及科学技术在教育领域中越来越广泛的应用，教师从事教育活动的手段有了根本的改观，作为新时代的数学老师，熟练掌握几何画板并将其应用于数学教学过程中是非常必要的。本文就几何画板在圆锥曲线习题教学中做了一个简单的研究，对于部分有关的圆锥曲线的习题进行分析研究，主要是利用几何画板进行辅助解决，提高习题教学效率，也为中学教师提供参考。【关键词】几何画板 圆锥曲线 习题教学在圆锥曲线方程这章中，一些与数形结合有关的题目等比较抽象，学生难以理解，且运用代数方法运算非常复杂，使用几何画板进行辅助教学，能够拓宽学生的思维，通过几何画板的画图、计算等功能，给学生留下更为深刻的印象，使学生摆脱枯燥的数学。这样既激发了学生的兴趣，又大大提高了学习效率。本文将从圆锥曲线轨迹问题、最值问题进行研究。1利用几何画板探究轨迹问题圆锥曲线轨迹问题是整个圆锥曲线章节的重点也是难点，在高考中所占比值也相对较大，解决这类问题的关键点在于抓住不变量，仅仅通过代数运算有时很难发现其中的不变量，借助几何画板精确的画图、演示、计算功能有助于解决这方面的问题，大大提高教学效率。例1 圆的半径为定长，是圆内的一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹是什么？为什么？当定点在圆外时，点的轨迹是什么？为什么？【制作目标】动态可视化的观察、猜想、探究、发现图形中的不变量。【方法步骤】（1） 构造点，线段，以为圆心为半径画圆。（2） 在圆内任取一点，圆上任取一点，构造线段、。（3） 构造线段的垂直平分线交线段于，连接.（4） 追踪的轨迹，如图（1）。（5） 将点移动到圆外，观察轨迹，如图（2）。图（1）图（2)设计意图：通过几何画板的直观表现，让学生通过对图像的观察分析抓住图中的不变量。为解题指明了方向，避免盲目的利用代数方法进行运算。当点在圆内时，通过追踪点的轨迹发现轨迹为椭圆。解题的关键在于抓住不变量+=+=.,即轨迹是以两点为焦点，长轴长为的椭圆。当点在圆外时，通过追踪的轨迹发现轨迹为双曲线。通过对图中各个量的观察与分析，只要引导学生发现题中的不变量。即解题的关键在于抓住=.即轨迹为以两点为焦点，长轴长为的双曲线。例2 如图，轴，当点M在的延长线上，且,当点在圆上运动时，求点的轨迹方程，并说明轨迹的情况，与高中数学选修2-1教材页例2相比，你有什么发现？【制作目标】动态可视化的观察、猜想以及推广到一般情况。【方法步骤】（1） 选用蚂蚁坐标系，绘制点，构造线段，度量其长度，改标签为，以原点为中心，半径构造圆。（2） 在圆上任取一点，过点作轴的垂线，交轴于点。（3） 构造线段，度量其长度，改标签为，分别度量点的横纵坐标，计算的值。（4） 绘制点，。（5） 追踪点的轨迹。图（3）设计意图：本题与教材例2非常相似，不同点在于的比值不同，由几何画板可知，两题的结论相同，轨迹都为椭圆，如图（3）。这时可以提出猜想，无论比值如何变，轨迹都为椭圆。如何验证这个猜想呢？这时可以改变的长度，即的值就可以实现比值的改变。通过改变的长度我们可以不难发现，点的轨迹都为椭圆，当的值小于1时，轨迹为焦点在轴上，长轴长等于圆直径的椭圆。当的值等于1时，轨迹就是圆。当的值大于1时，轨迹为焦点在轴上，短轴长等于圆直径的椭圆。由此可见椭圆的轨迹方程由圆的半径与的比值决定。那椭圆的轨迹方程与圆的半径与的比值又有怎样特殊的关系呢？经由前面的讨论我们已经知道，当的值小于1时，椭圆的长半轴长=，那么只需要确定的值就可以确定椭圆的轨迹方程。当点在轴上时，的长即为椭圆的短半轴长，即。同理，当大于1时，有。综上讨论，对于这一类型的题，点为以原点为中心为半径的某圆上的一点，轴与轴交于点，点M在的延长线上，且,当点P在圆上运动时，求点的轨迹方程。当椭圆的轨迹方程为。当时，椭圆的轨迹方程为例3 .求定点到定直线距离之比是的点的轨迹方程。【制作目标】动态可视化的观察、猜想、探究点的轨迹与之间的关系。【方法步骤】（1） 构造线段、，分别度量其长度，改标签为、。计算、的值。（2） 新建函数，构造点。（3） 以点为圆心，为半径构造圆，新建函数、。（4） 构造函数与函数分别与圆的交点并追踪其轨迹。图（4）设计意图：构造到定点距离与到定直线距离之比等于某个常数的点的轨迹，在构造过程中，通过几何画板的直观性，我们不难发现函数的图像与函数的图像与圆的交点到函数的距离为，交点在圆上，所以交点到定点的距离为半径。这样就实现了到定点的距离与到定直线的距离之比为，即离心率。通过改变的长度，即的值就可以观察到满足条件的点所形成的轨迹。通过改变或的值则轨迹的形状有所变化。当的值小于1时，轨迹为椭圆，当的值大于1时，轨迹为双曲线。当的值等于1时，轨迹为一条抛物线，如图（4）。这样不仅融合和了几个习题，还统一了圆锥曲线的定义。通过几何画板的演示，我们发现轨迹的形状是由，即离心率的值确定的，但是几何画板只能直观的演示，给解题指明方向或者是对结论的演示。对于求轨迹的方程不能给予严格的证明，这时就需要利用代数的方法进行严格证明。到定点的距离与到定直线的距离之比为，化简得到。假设，当时，再次化简得到，即双曲线的标准方程。当时，化简得到，即椭圆的标准方程。当时，化简得到，为什么不是抛物线的方程呢？为什么会出现这种情况呢？抛物线的定义是到定点的距离和到定直线（不经过点）距离相等的点的轨迹，不经过点，因此到定点的距离与到定直线的距离之比应写为，化简得到，即抛物线的标准方程。例4 从双曲线上一点A引直线的垂线，垂足为，求线段中点的轨迹方程。如果曲线为椭圆，轨迹又有怎样的变化？【制作目标】动态可视化的观察、猜想提供解题思路。【方法步骤】（1） 构造线段、 度量其距离并改标签为、。（2） 绘制点、。（3） 选择自定义工具中圆锥曲线双曲线/椭圆（焦点+离心率），以、为焦点，为离心率构造曲线。（4） 构造线段、度量其长度并改标签为、,计算的值。、（5） 绘制点，过两点构造直线。（6） 在曲线上任取一点，过点作直线的垂线，垂足为，构造线段的中点。（7） 选中点与点，构造轨迹。（8） 改变的大小，观察轨迹的变化。设计意图：由于几何画板的缺陷，不能直接构造某点到函数图上的垂线，因此采用通过直线与坐标轴的交点绘制直线。通过几何画板的直观性观察轨迹的变化，当曲线为双曲线时，中点C的轨迹为双曲线，如图（5）。但几何画板只为题目提供一个思路或者是结果的验证。具体求出轨迹的方程还需要结合代数的方法进行解决。设中点的坐标为，点A的坐标为，由中点坐标公式可知B点的坐标为，代入方程中，得 又AB垂直于直线，故，由解方程组得的值，再将其带入双曲线的标准方程中，得到关于的方程，即中点的轨迹方程。当曲线为椭圆时，通过几何画板的直观演示可知，中点的轨迹方程为椭圆，讨论方法与双曲线方法一致，可由学生自己讨论。并让学生下来讨论，如果曲线为抛物线，中点的轨迹是否为抛物线，并验证结论。在此题的解题过程中即体现了数形结合的思想方法，也培养了学生一定的探究能力。图（5）圆锥曲线中关于求轨迹问题在整个圆锥曲线章节所占比重比较大，也是高考的重点也是热点，因此掌握好轨迹问题的解决方法非常重要。在圆锥曲线这章节中求轨迹问题绝大多数轨迹是圆锥曲线，即椭圆、双曲线或抛物线，有时候也会是圆。这时就必须把握好各种曲线的定义以及性质，方便在解题前进行判断，为解题指明方向，避免盲目的计算。通过以上的几个例题，我们可以发现比较简单的求轨迹问题可以直接通过圆锥曲线定义来判断，进而进行求解。这时的关键在于找到题目中的不变量。其次是通过圆锥曲线的第二定义进行判断，通常是与比值有关。这时就需要紧紧抓住圆锥曲线的第二定义，若比值没有规定范围，则还要进行分类讨论。再则就是各种知识点混合，这就需要学生有将强的分析能力，有时候还会涉及到坐标。但无论知识点再复杂，必须把握住圆锥曲线的第一第二定义，这是解题的关键。2 利用几何画板探究圆锥曲线最值问题圆锥曲线中最值的探索问题在高考试题中出现频率很大，且几乎都是寻求解决方法，复杂的代数运算往往会让不少同学望而却步。几何画板作为优秀的数学教学软件，同时也是我们研究最值问题的有力武器。它使得最值问题具体化、动态化、形象化，能够更直观有效的解决问题。下面结合集体案例给出借助几何画板探究圆锥曲线中最值问题的构造过程及其设计流程。例5已知点是双曲线的左焦点，定点，是双曲线右支上动点，则的最小值为多少？ 若圆锥曲线为椭圆或者双曲线，是否有最值，最值又为多少？ . 【制作目标】动态可视化的观察、猜想、通过转化观察出取得最值时点的特殊位置。【方法步骤】（1）构造线段、 度量其距离并改标签为、。（2）绘制点、。（3）选择自定义工具中圆锥曲线A双曲线/椭圆（焦点+离心率），以、为焦点，为离心率构造曲线。（4）任取双曲线外一点,曲线右支上一点，连接、，并度量其长度。计算的值，移动点 观察随移动的值。图（6）设计意图：通过几何画板的直观性，通过移动点P可以直观的观察出的最小值，但是通过几何画板所得到的最小值并不能作为我们的结论，它存在一定的误差，且没有严格的说服理由。但他能为我们的解题提供可视化的猜想。当处于最小值时，点的位置有什么特殊吗？通过直观的观察，当点A在双曲线外部时，当处于最小值时，点、位于通一条直线上，即图（6）所示。因此我们猜想当点、共线时，的值最小。如何证明我们的猜想呢？我们要紧紧抓住三点共线，三点共线可以转化为代数关系的值最小，最终求得是的最小值，我们可以再次转化，=2a+，因此当点、位于通一条直线上时，的值最小，即的值最小。当点在双曲线内部时，当点、共线时，当曲线为椭圆时，只需改变线段的长度，即的大小。当A点在圆内时，当点P在椭圆上移动时，当点、共线时，有最大值与最小值。如何证明猜想呢？这时我们也必须引导学生进行猜想与转化，=,当的值最小时，有最小值，=，即点、共线且处于图（7）位置时。图（7）同理，当的值最大时，有最大值，=,即点、共线且处于图（8）位置时。图（8）当点在椭圆外时，当点、共线时，即有最小值。图（9）当圆锥曲线为抛物线时,点在抛物线内。【方法步骤】（1） 利用自定义工具中抛物线（焦点+准线）画出抛物线。（2） 任取抛物线内一点，抛物线上一点，连接、，并分别度量其长度。（3） 过点作抛物线准线的垂线，垂足为（4） 计算的值。设计意图：通过几何画板的直观性，通过移动点可以直观的观察出的最小值，这是点、三点的位置并没有特殊之处，这是就需要利用抛物线的性质，将点到点的距离转化为点到准线的距离，这时不难发现当点、共线时，如图（10）。=有最小值。图（10）当点在抛物线外时，点、共线时，如图（11），有最小值。图（11）变式：【的最小值】其中，点为曲线椭圆，双曲线或抛物线）内一定点（异于焦点），是曲线上的一个动点，是曲线的一个焦点，是曲线C的离心率。分析：由双曲线的第二定义知等于双曲线上的点P到左准线的距离，从而=+，由图知，当、三点共线时，+取得最小值，即有最小值。例6 求椭圆上某点到直线距离的最大值与最小值，并求出取得最值时椭圆上点的坐标。【制作目标】动态可视化的观察、猜想、找出取得最值时点所处的特殊位置.【方法步骤】（1）构造线段、度量其距离并改标签为、。（2）绘制点、。（3）选择自定义工具中圆锥曲线双曲线/椭圆（焦点+离心率），以、为焦点，为离心率构造曲线。（4）构造线段、度量其长度并改标签为、绘制点，过两点构造直线。(5)在曲线上任取一点，过点作直线的垂线，垂足为.(6)过点作直线的平行线，再作直线与椭圆的交点、并度量线段的长度。设计意图：在课件制作过程中必须保证直线与椭圆不相交，本题直接通过几何画板很难发现点到直线左端距离时，点的特殊位置，因此需要转化为求直线到直线之间的距离，因此过点作直线的平行线，这时直线可能与椭圆不止一个焦点，通过移动点，我们不难发现当取得最大小值时 ，两个交点重合，即直线与椭圆相切时，线段取得最值。为了计算方便下面我们讨论椭圆方程为，直线：方程为时线段最值的求法。有几何画板提供的思路我们知道当直线与椭圆相切时有最值，即设的方程为，求得到，得，即直线的方程为，因此线段的距离，取得最值时的坐标即求方程与方程的解，最后求得结果。这时，可以将此题进行推广，当圆锥曲线为双曲线或者抛物线时，应该怎样解决。这时可以改变的大小进行观察，由几何画板可以看出当两个交点重合时有最小值，没有最大值，具体的求解方法让同学们类比推广前的而方法进行求解。图（12）图（13）最值问题贯穿整个高中课程，不仅仅是在圆锥曲线这一章节，由此可见最值问题的重要性。在圆锥曲线这一章节中的最值问题，关键点在于把握好各类圆锥曲线的定义与性质，将所求问题进行转化。一般情况下在取得最值的时候点所处位置比较特殊。如例5所示，将求的最值通过定义转化为求得最值，这时点、共线时。如例6所示，当取得最值时，两个交点重合。所以求最值为题关键在于找到特殊位置。在平时练习中多注意多总结，在高考中将节约大量的时间。在这个信息时代，教师要与时俱进，单纯的黑板讲课已经过时，我们必须利用好身边的资源。几何画板在教师教学中起到了不可忽视的重要作用，因此教师应重视提高几何画板操作技术水平和应用能力，有针对性地利用几何画板来化解数学教学中的重点难点。几何画板在辅助圆锥曲线习题教学中要以新课程的基本理念为指导，根据实际情况有效的进行教学。需要把握好数形结合的原则，引起学生的兴趣，发展学生的思维，同时应注意几何画板只是起辅助作用而不能替代上课。当然几何画板在整个高中数学中的应用非常广泛，比如在立体几何、函数等方面。本文采取选用例题进行分析演示，但由于选用例题数量较少且只选取了轨迹与最值两个方面进行分析，在研究过程中存在着不足和疏漏，若能全面的详细的研究，相信对于整个圆锥曲线的教学将起到很大的作用【参考文献】1葛建华.借助几何画板探究解几定点定值问题.中小学教学研究,2013年.12期.第1页 2陶丹.几何画板在圆锥曲线中的应用研究.中国期刊网,2006年.第9页 3潘辉.几何画板在高中数学教学中的应用.飞（素质教育版），2013年.9期.第2页 4中学数学课程教材研究中心.普通高中课程标准试验教科书（数学选修 2-1）.人民教育出版社，2011年 5刘胜利.几何画板课件制作教程.科学出版社，2010年.第三版 6 薛均东.几何画板辅助初三集几何动态有效教学的研究，2009年.第54页 7张洪杰.几何画板优化圆锥曲线统一定义.数学通报，2001年.5期.第1页 8陈忠艺.圆锥曲线的最值问题与几何画板整合案例研究。新课程学习（学术教育），2011年.5期.第1页 9黄伟巍.探究几何画板在高中数学教学中的妙用.语数外学习（数学教育），2012年.4期.第1页 10杨建闻.运用“几何画板”优化数学教学方法.中国科教创新导