合同变换与初等几何的应用.doc

合同变换在初等几何中的应用作者：李鑫志指导老师：李洪明摘要合理利用合同变换解决初等几何问题，在很大程度上需要思维的高强度转换，使之以空间思维转换使几何问题变得形象、思路顺畅、运算简单。 关键词 合同变换 不变性 平移 旋转 反射 abstractBeing solve the elementary by means of congruent transformation . It needs translate elementary geometry more visualize by space thought,unhindered think,and simple operation key wordsCongruent transformation invariance translation rotate reflect 引言合同变换作为一种解决初等几何问题工具，在中学几何中应用的并不广泛，所以使得部分学生对空间思维转换有不理解、没接触、不清楚。但这一部分同学中不乏有对空间转换有天赋、有爱好的，所以变换作为一种解决数学问题行之有效、做之有难、悟之深刻的工具之一。本文就是来探讨合同变换下直线反射、平移、旋转等一系列问题中的方法，方法中的思路。目录一初等几何变换1. 概念 2. 分类二合同变换基本形式1. 平移变换 定义 例题 总结2. 旋转变换 定义 例题 总结3. 反射变换 定义 例题 总结三结束语四参考文献 一、初等几何变换1.概念诠释： 在几何中，不仅要研究各个变换的性质，还要研究变换之间的联系，是否可逆要首先考虑的，这个变换能否施行或者连续施行，于是一一映射就自然而然的成为了变换的限制。 几何变换：对平面上每一点P，通过某一确定的法则，在平面几上皆有一点Q与之对应，且这种对应是一一对应，则称是平面上的一个变换。2.分类 初等几何变换通常包括合同变换和相似变换两大类，相似变换与本文没有多大联系，所以就暂不介绍，下面主要介绍一下合同变换。 相似变换（保性变换）初等几何变换 平移（保向）合同变换（保距变换）旋转（保向）反射（变向）二、合同变换的基本形式1.平移变换 ：如果平面上任一点P变换到P，使得(1) 射线PP有给定的方向;(2) 线段PP有给定的长度。那么这个从平面到它自身的变换叫做平移变换。射线PP的方向叫做平移方向，通常用T表示平移变换。例题1小时候玩具不多，不像现在要什么玩具都能用钱买到，那时我记忆最深刻的就是我爷爷给我做的风车了，在手里攥着，风一吹转呀转呀不亦乐乎。现在我们手里有一“小风车”如下图，其中 AA=BB=CC=1 求证:证明：如图做平移，则OQ=1，RQ平行于CC,延长QR，BB交于点P，连接BRPQ平行于CCOB+PB=BB=1OB=PB同理PR=OC 总结：先从题目来看，已知三条线段长相等为1，三个角六十度，然后让你去求三个三角形的面积和小于，首先看这个有没有觉得很熟悉，对它就是边长为1的正三角形的面积，由此可看那就是想办法把这三个三角形放到一个大三角形里面去，而且正好有60度角，也有长度为1的线段，就想办法找一个正三角形，于是平移就自然会用到了。2.旋转变换 ：若一平面到它自身的变换，使原点0变换到它自身，其他任何点X变换到X并且(1)OX=OX，(2)这里从射线OX到0X的方向与已知Q角的定向相同，那么，这个变换叫做绕中心O，按已知方向旋转Q角的旋转变换，记作R(O，Q)，O点叫旋转中心，Q叫做旋转角。例题1 如下图，M，N分别在正方形ABCD的边BC、CD上，已知的周长等于正方形ABCD周长的一半，求.证明：做旋转变换由旋转变换性质知：AM=AN，总结：这类题首先已知条件不多，就一条，其余的几乎没有，没有具体数字。所以就从这唯一的已知条件下手，已知三角形MCN的周长是正方形的一半（BC+CD），那么就会有MN=DN+MB。已知就只有这些，会让你感觉无从下手，这时候就应该让你的思维转换一下，你看DN和MB不在一个地方，那这不就有思路了，自然就会想到变换，而这种只有旋转变换能够解决了。3.反射变换 :一个平面到它自身上的变换，如果存在一定直线L，使对于平面上的每一点P及其对应点P，其连线PP都被定直线L所垂直平分，那么这个变换就叫做平面上的直线反射变换或对称变换，记作S(L)，直线L叫做反射轴或对称轴，点P叫做点P关于轴L的对称点。例题1如图，在中， ,D在BC上，已知,P是AD上的任意一点。证明：AC+BPAB+PC(1994年祖冲之杯数学邀请赛试题)分析：这个题目已知条件松散，没有在一个三角形内。因为AD垂直BC，就这个不规则图形来说我们把AD作为反射轴证明：令,则B必落在CD上AB=AB，PB=PB，设AB于CP交于E在三角形AEC中 ACAE+EC(1)在三角形PEB中 PBEB+EP(2)(1) +(2)得：AC+PBAE+EC+EB+EP即总结：在解答初等几何问题中，若题目中的图形是轴对称图形，那么就经常做出它的对称轴当作反射轴，可以充分运用轴对称性质。如果题目中的几何图形是不规则图形，那么就寻找一条合适又方便的直线作反射轴，将一侧的几何图形反射到另一侧那就会显得较为自然。题目中将三角形ABD经过AD反射后，结果一目了然。相信大家对这类型题目也有了一定了解。例题2已知CD为直角三角形ABC斜边上的高，AE平分交CD于F，FG平行AB，交BC于G，求证:CF=GB证明：如图做直线反射变换且AC=AH,CF=HF,且于是故HF平行BG，又已知FG平行AB三、结束语以上就是我们对初等几何变换题目中的合同变换的具体应用，原本没有思路的题目，原本不敢接触的奥数、奥赛题目现在他们以另一种角色展现在我们面前，是不是亲切了很多。通过以上几个题目也让我见识了合同变换的巨大魅力，而且知道了它们的秘密，是它们揭去了几何题目神秘的面纱，让图形更自然的展现。希望大家看完以后要少死板，少固定，多思考，多想象。让大脑放飞，你能放多大，他就会飞多远。四、参考文献1 朱德祥，初等几何研