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交点曲线系解题例谈浙江省永康一中（321300） 颜 书平面解析几何（必修）P110习题7的题目是:如果两条曲线的方程是和,它们的交点是;证明方程 (1)的曲线也是经过点(是任意实数).由于题中是任意实数,故随着的取值变化,方程(1)也随之变化,但方程(1)所表示的曲线都是过两曲线和的交点.这就构成了由无数多条曲线组成的曲线系(不包括曲线),称为交战曲线系.特别地,当和表示两条直线时,方程(1)成为: (2)表示经过两直线:和:的交点的交点直线系(不包括).凡是求经过两条曲线(包括直线)的交点的有关曲线问题,均可应用交点曲线系解题.下面试举几例说明.例1 求经过两条直线和的交点,且垂直于直线的直线方程(解几课本P43习题三、4(3)解:应用交点直线系方程(2),可设所求的直线方程为: + (3)重组得因为所求直线与已知直线垂直,故有:得,代入方程(3),整理得所求的直线方程为: . 例2 判断方程(是参数)表示何种曲线.解:将原方程按整理得: 则由曲线系方程可知,原方程表示过两曲线: (圆)和(直线)的交点(可求得为)的曲线系.又把原方程左边配方得: 方程表示圆心为,半径为的圆.所以,原方程表示过圆与直线的交点,且圆心在直线上移动的一介圆系.例3 求圆心在直线上,且过两圆和的交点的圆 方程.解:应用交点曲线系方程(1),可设所求的圆 方程为: 整理得: (4)即 圆心坐标为,代入直线方程得,回代方程(4),并整理得所求的圆 的方程为: .评注:当方程(1)表示过两相交圆的交点的曲线系时,表示为: 上面的方程中,若,则表示过两已知圆的交点的圆系;若,则方程表示两已知圆的公共弦的方程.用此法来求两已知圆的公共弦很方便.如:求两圆 和 的公共弦所在的直线方程,只要-,即得所求的公共弦所在的直线方程为:.例4 已知四边形的四条边所在的直线方程为:, ,求此四边形的两对角线所在的直线方程.分析:本题可先求出四个交点,再由两点式求出对角线方程,但可应用交点直线系方程求解如下.解:因为对角线过两直线、的交点,故可设其方程为: 即同时,对角线又过直线与直线的交点,故还可设为: 即根据两直线重合的条件有:解得 (或,两者求其一即可)代入方程并整理得对角线所在的直线方程为: 同理可求得对角线所在的直线方程为: . 例5 求过圆 和直线的交点,且面积为最小的圆 的方程.解:由题意可设所求的圆方程为: 即 其半径欲使圆面积为最小,当且仅当半径为最小.由上式可知,当且仅当时
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