初二秋.第08讲.四点共圆的应用.联赛班.pdf

1 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 讲义部分 经典例题经典例题 知识互联网知识互联网 0808 四四点点共共圆圆的的应应用用 板块一板块一 利用四点共圆确定角度关系利用四点共圆确定角度关系 2 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 例1 如图 已知ABC 中 AH是高 AT是角平分线 且TDAB TEAC 求证 AHDAHE BHCH BDCE TH E D CB A 解析 TDAB TEAC 90ADTAET A DTE 四点共圆 且AT是直径 AHBC 90AHT H也在圆上 即A DTHE 五点共圆 AT是角平分线 DTET ADAE AHDAHE 由 可知 BT BHBD BA CH CTCE CA BHBA BDBT CHCA CECT AT是角平分线 ABAC BTCT BHCH BDCE 例2 在四边形ABCD中 25BAC 20BCA 50BDC 40BDA 求CPB A B C D P E P D C B A 解析 延长BD到E使得DEAD 连接AECE 40ADB ADED 20DAEDEA 20ACB ACBAED ABCE 四点共圆 25CEBCAB 50BDC 25DECDCE CDDE D是圆心 70DABDBA 257095CPBBACABD 3 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 例3 第 26 届 IMO O 过ABC 顶点AC 且与ABBC 交于KN K与N不 同 ABC 外接圆和BKN 外接圆相交于B和M 求证 90BMO N C O A K B M 解析 证法证法 1 如图 延长BM至H 连接MN AM AO ON MBKN KACN MBAC均是圆内接四边形 HMNBKNACBBMA m AONAKN 1 2 ACBAKN 2AONACB 即180AONHMNBMAAMN 180AONAMN A M N O四点共圆 又OAON AMONMO 故 1 18090 2 BMAAMOHMNNMO 即90BMO 证证法 法 2 如图 设MO交圆BNK于I 连接AM交圆BNK于S 连接 KI KS MN MBKS NKAC均为圆内接四边形 AKSBMA BKNACB 又 BMA 与ACB 为同一弧上的圆周角 BMAACB AKSBKN 又 SKIAMO NKINMO 由上证可知AMONMO SKINKI 1 18090 2 BKNNKIAKSSKI 故90BKI 又 B M I K四点共圆 90BMIBMO 证证法 法 3 如图 作直线CMP 连接MK KO CO MBAC NKAC为圆内接四边形 BMPABNK 又 BMKBNK BMPBMKA 2 mm KOCKNCAPMK M B K A O C N S I M B K A O C N P H M B K A O C N 4 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 M K O C四点共圆 又OKOC KMOCMO 1 18090 2 BMKKMOBMPCMO 90BMO 证证法 法 4 如图 连接MN并延长交圆O于D 连接AM AD AO DO 180BKNBMN 又BNKADM 180ADMBMN BMAD MADBMA 又 ADMACNBMA MADADM 点M在AD的垂直平分线上 而AODO 点O亦在AD的垂直平分线上 MOAD MOBM 故90BMO 证证法 法 5 如图 设ABC BKN 的外接圆圆心分别为 1 O 2 O 取BM的中点E 连接 1 O E BM为圆 1 O 2 O的公共弦 1 O 2 O E三点共线 且 1 OEBM 连接BO交 1 O E于F 又连接 1 OO 并延长 2 BO交圆 2 O于G 则BG为圆 2 O的直径 2 111 90 222 m O BNBKNGNBNBNG 又BKNBCA 2 90O BNBCA 2 BOAC 21 BOOO 2 BO在BC上的射影为 1 2 BN 又 1 BO CO分别在BC CN上的射影为 1 2 BC 1 2 CN 1 OO 在BC上 的 射 影 为 111 222 B CC NB N 21 BOOO 又 21 O BFOOF 21 BFOOFO 21 BO FOOF BFOF 又BEME 1 OEOM 又 1 OEBM OMBM 故90BMO D M B K A O C N M B K A O C N E O1 O2 F G 5 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 例4 在RtABC 中 AD为斜边BC上的高 P是AB上的点 过A作PC的垂线交过B所作AB 的垂线于Q点 求证 PDQD E Q P D CB A 解析 AEPC BQ AB ADBC 90AEPABQADC CADABC B PEQ A EDC 分别四点共圆 CEDCAD CEDABC BDEP 四点共圆 B PEDQ 五点共圆 90PDQPEQ PDQD 例5 如图所示 在锐角ABC 中 BD CE分别是边AC AB上的高 以AB为直径作圆交 CE于点M 在BD上取点N 使得ANAM 求证 ANCN H N M E D C B A 解析 证法一 连结DM 由AB为直径 BDAC 得A B M D四点共圆 ABDAMD 又90ACECAEABDAMD ADMAMC 22 AD ACAMAN ANCN 射影定理的逆定理 N M H E D CB A N M H E D CB A 经典例题经典例题 板块二板块二 利用四点共圆确定线段的位置关系利用四点共圆确定线段的位置关系 6 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 证法二 连结BM EN 则由射影定理得 22 AMANAE AB AENANB ANEABN 又BCDE 四点共圆 ABNACE ANEACE AENC 四点共圆 90ANCAEC 即ANCN 例6 1 2009 年 数学周报杯 全国初中数学竞赛 如下左图 过ABC 的顶点C作这个三角 形 的 外 接 圆 的 切 线l AP和BQ是ABC 的 两 条 高 1 QQl 1 PPl 求 证 11 QQPP l O Q1 Q P1 P C B AAB C P P1 Q Q1 O l 2 如下右图 在ABC 的边ABAC 上分别取点Q P 使得 1 2 PBCQCBA 求证 BQ CP Q P C B A M A BC PQ 解析 1 连接PQ AP BQ 是ABC 的高 90APBAQB A B PQ 四点共圆 CPQCAB l是O 的切线 1 BCPCAB 1 CPQBCP PQ l 1 PPl 1 QQl 11 PPQQ 11 PPQQ 经典例题经典例题 板块三板块三 利用四点共圆确定线段的等量关系利用四点共圆确定线段的等量关系 7 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 2 1 2 PBCQCBA BQCBPCAACQAABP AABPPBCACQBCQ 180AABCACB 作点P关于BC的对称点M 于是180BQCBMC MCPC BMCQ 四点共圆 MBCPBCBCQ BQCM BQCP 例7 如图所示 锐角ABC 的三条高AD BE CF交于点H 连接DF交BH于点P 过点 P作PQ AD 且交AB于点Q 求证 QE平分线段AH K Q P H F E D C B A A B C D E F H P Q K 解析 如图 联结EF 设QE与AH交于点K 由A F H E四点共圆知FEHFAH 由PQ AD 得 FAHFQP 故 FEHFQP 于是 F P E Q四点共圆 所以 QEPBFD 由F D C A及D C E H分别四点共圆 得BFDDCAAHE 所以 QEPAHE 于是KHKE 又90KEAKEH 90KHEKAE 则KEKA 从而KHKA 故QE平分线段AH 板块四板块四 利用四点共圆确定线段的数量关系利用四点共圆确定线段的数量关系 8 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 例8 如图 在ABC 中 ADBC BEAC AD与BE交于点H P为边AB的中点 过 点C作CQPH 于Q 求证 2 PEPH PQ Q P H E D CB A A BC D E H P Q 解析 连接CH EQ 由已知可得 90CQPCEB C QEH 四点共圆 EQHECH P是AB的中点 PAPEPB PEBPBEECH PEHEQH PEHPQE 2 PEPH PQ 另 此题亦可证明PE是圆的切线 然后用圆幂定理得到结论 例9 如图 动点P在O 外 O 的半径为r 过P任作O 的两条割线PAB PCD ADBC 交于点 Q 求证 不论点 P 与割线 PAB PCD 的位置怎样变化 222 OPOQPQ 恒为定值 Q P O D C B A K Y X N M A B C D O P Q 解析 如图 设直线 PO 交O 于 X Y 直线 QO 交O 于 M N 在作 CDQ 的外接圆交射线 PQ 于点 K 于是PQ PK PC PDPX PY 22 OPr OPrOPr 联结 KD 注意到180180 oo PADBADBCD 180QCDQKDPKD 所以 P A K D 四点共圆 故PQ QK AQ QDMQ QN 22 rOQ rOQrOQ 得 PQ PKQK 2222 OPrrOQ 即 2222 2PQOPOQr 故 2222 2OPOQPQr 定值 经典例题经典例题 9 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 10 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 拓1 如图 点P在平行四边形ABCD内 且ABPADP 求证 DAPDCP P D C B A A B C D P E 解析 过P点作AD的平行线 过D点作AP的平行线 二者交于点E 连接CE 则四边形APED是平行四边形 PEAD ABCD是平行四边形 ADBC ADBC PEBC PEBC 四边形PBCE是平行四边形 CEBP CEBP ABPDCE ABPDCE ABPADP DPEDCE CEDP 四点共圆 PCDPED DAPDCP 拓2 过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线 切点为AB 所作割线交圆于CD 两点 C 在PD 之间 在弦CD上取一点Q 使 DAQPBC 求证 DBQPAC Q P D C B A 解析 如图 连结AB AQPADCDAQABPABCPBC 又 DAQPBCADCABC AQCABP A QBP 四点共圆 BQPBAP 又 BQPBDQDBQBAPBACCAP 且 BDQBAC DBQPAC 拓3 如图 EF 分别是正方形ABCD的边CDAD 的中点 BECF 相交于H 思维拓展思维拓展 11 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 求证 AHAB H F E D CB A A BC D E F H 解析 连接BF EF 是CDAD 的中点 BCECDF CBEDCF 90DCHBECCBEBEC 即90BHF ABHF 四点共圆 AHBAFB CFDCFD 很明显AFBCFD ABHAHB AHAB 拓4 如图所示 在梯形ABCD中 ADBC 1BCBD ABAC 1CD 且 180BACBDC 求CD的长 A BC D E F A BC D 解析 如图 作点D关于BC的对称点E 连接AE BE CE 设AE与BC交于点F 由ADBC 知点A E到BC的距离相等 则AFEF 设CDCEx AFEFm 由180BACBDC 得180BACBEC 故A B E C四点共圆 由ABAC 得ABCACB 故AEBACBABCAEC 又EBFEAC BEAE BFEACE EFCE 故 2 2mAE EFBE CEx 由角平分线的性质得 1BFBE CFCEx 又因为1BFCF 所以 1 1 BF x 1 x CF x 2 2 1 x mAF EFBF FC x 于是 由 2 2 1 x x x 解得21x 故21CD 拓5 在圆心为O的圆外有一点P 设弦AB垂直于直线OP 若直线PA和该圆的交点为C 直 12 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 线OP和BC相交于点D 求证 2 OD OPOA AB C P O D E F F E D O P C BA 解析 连接OBOCAD 由题意可知 PO垂直且平分AB ECEF 于是EOCFBC 从而其补角POCPBC 故有P B O C四点共圆 OPCOBC 可是OBDOAD 因此DPADAO 所以OA与PDA 的外接圆相切于点A 故 2 OD OPOA 另 在证明出OPCOBC 以后 还可得到OCBOPC 那么CODPOC 2 OCOD OP 则 2 OD OPOA 13 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 习题1 如图 已知在五边形ABCDE中 3BAE BCCDDE 且1802BCDCDE 求证 BACCADDAE E DC B A A B CD E 解析 连接BDCE BCCD 1802BCD CBDCDB 1803BDE 180BAEBDE A BDE 四点共圆 同理A BCE 四点共圆 A BCDE 五点共圆 BCCDDE BACCADDAE 习题2 四边形ABCD内部存 在一 点P 使得ABPD为平行四 边形 若CBPCDP 则 ACDBCP 反之亦然 PD C B A E AB C DP 解析 过D作PC的平行线 过C作DP的平行线 二者交于点E 连接EA 则四边形CEDP是平行四边形 DEPC CEPD 四边形ABPD是平行四边形 AB PD AD PB CE AB 四边形ABCE也是平行四边形 AE BC AEDBCP AEDBCP DAECBP 由题意 若CDPDCE 则DAEDCE ADEC 四点共圆 ACDAEDBCP 反之 若ACDBCPAED 则ADEC 四点共圆 DAEDCE CBPCDP 复习巩固复习巩固 14 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 习题3 设点M在正三角形三条高线上的射影分别是 123 MMM 互不重合 求证 123 M M M 也是正三角形 解析 如图 设正ABC 三条高线ADBECF 交于点O 则由题意可知 312 90OM MOM MOM M 60AOFAOE 13 OMMM 四点共圆 12 OMMM 四点共圆 312 OMMMM 五点共圆 12313 60M M MM OM 23121 60M M MM OM 123 M M M 也是正三角形 习题4 设D是等腰RtABC 底边BC的中点 过CD 两点 但不过点A 任作一圆交直线AC于 点E 连接BE交此圆于点F 求证 AFBE 解析 连接EF FD 由题意可知CDFE 四点共圆 若E在线段AC上 则45BFDACB 45BAD ABDF 四点共圆 90AFBADB AFBE 若E在AC的延长线上 则45DFEACB 45BAD ABFD 四点共圆 90AFBADB AFBE 若E在CA的延长线上 则45BFDACB 45BAD ADBF 四点共圆 180AFBADB 90AFBADB AFBE 综上所述 命题成立 习题5 如图 AB为O 的直径 点C在O 上且OCAB P为BC上一点 CP的延长线与AB的 延长线交于点Q 过Q作AB的垂线交AP延长线于点R 求证 BQ QR 解析 连接BP 由题意可知90AOCAPB 45QPRAPC 45BPQ 90BPRBQR B QRP 四点共圆 BQ QR 习题6 如图 四边形ABCD是正方形 M是BC上一点 MEAM 交BCD 的外角平分线于E 求 证 AMEM FE D O M3 M2 M1 M CB A O R Q P C B A 15 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 A B C D E M M E D C B A 解析 连接ACAE 四边形ABCD是正方形 45ACD CE是外角平分线 45DCE 90ACE 90AME AMCE 四点共圆 45AEMACB 45EAM AMEM 习题7 2002 年我爱数学初中生夏令营一试 如图 设AB CD为O 的两直径 过B作 PBAB 并与CD延长线相交于点P 过P作直线与O 分别交于EF 两点 连结 AEAF 分别与CD交于G H 求证 OGOH A B C D O E F G H P T S M P H G F E O D C B A 解析 作FE中点M 连接OM 过F作FSCD 交AB于T 交AE于S 则90OMPOBP OPMB 四点共圆 OPMOBM 1 FECD OPMTFM OBMTFM BFTM 四点共圆 FBAFMTFEA TMAE 在FES 中 M是FE的中点 T是FS的中点 FSGH OGAOOH TSATTF OGOH 习题8 如图 在等腰ABC 中 6ABAC 1 2 BDCBAC 若1CP 求BP DP A B C D P E P D CB A 解析 以A为圆心 AB长为半径作A 则点C在A 上 延长CA交A 于E 1 2 BDCBAC 点D在A 上 16 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 BP DPCP EP 6ABAC 1CP 6AE 5AP 11PE 11BP DP 17 初二秋 第 08 讲 联赛班 教师版 练习1 设AD BC是圆O的互相垂直的直径 E和F分别在劣弧AB CA上 若AE和AF相 等 直线DA和直线BE的交点为G 直线FA和直线DB的交点为H 求证 HGA 是直 角 O H G F E D C B A 解析 连接AE 因为EADB是圆内接四边形 HBGEAD 又 DBEDCF EADFAD 而且FADHAG 对顶角 于是HBGHAG 所以B H G A四点共圆 故90HGAABD 练习2 如图所示 ABC 的外接圆半径为R ADBC 垂足为点D DEAB 垂足为点E DFAC 垂足为点F 求证 ABC SEF R F E DCB A 3 2 1 F E DCB A