初二秋.第09讲.Ptolemy定理.联赛班.pdf

1 初二秋 第 09 讲 联赛班 教师版 讲义部分 托勒密 Ptolemy 是公元三世纪古希腊天文学家 数学家 三角学创始人之一 他在推导三角 公式时发现了圆内接四边形的一个重要性质 圆内接四边形两条对角线乘积等于两组对边乘积之 和 这个命题通常称为 托勒密定理 此定理应用极广 某些复杂的几何证题 若用它为根据则显 得别具一格 简洁清新 托勒密定理的逆定理 一个凸四边形的两组对边乘积的和等于共对角线的乘积 那么该四边形内 接于一个圆 或者说该四边形的四个顶点共圆 广义 Ptolemy 定理 对于一般的四边形ABCD 有AB CDAD BCAC BD 当且仅当 ABCD是圆内接四边形时等号成立 经典例题经典例题 知识导航知识导航 知识互联网知识互联网 板块一板块一 PtolemyPtolemy 定理及其逆定理定理及其逆定理 0909 P Pt to ol le em my y 定定理理 2 初二秋 第 09 讲 联赛班 教师版 例1 证明托勒密定理 四边形ABCD内接于圆 求证 AC BDAD BCAB CD 分析 由于待证结论实质上是一种比例线段的组合形式 一般是通过 或构造 相似三角形 为 此 不妨把结论左端也化成线段两两乘积之和 解析 证法 1 几何证法 如图 在BD上取一点P 使其满足12 34 ACDBCP ACAD BCBP 即AC BPAD BC 又ACBDCP 56 ACBDCP ABAC DPCD AC DPAB CD 有AC BPAC PDAD BCAB CD 即 AC BPPDAD BCAB CD 故AC BDAD BCAB CD 证法 2 代数证法 如图 设AB aBCbCDcDAdACeBDf 即证a c b def 在ABD 中 由余弦定理 有 222 cos 2 adf DAB ad 在BCD 中 同理 有 222 cos 2 bcf BCD bc 180DABBCD coscos0DABBCD 即 222222 0 22 adfbcf adbc 整理 得 2 abcd facbd adbc 同理可得 2 adbc eacbd abcd 于是 22 feacbd 故e facbd 即AC BDAD BCAB CD 本题证法很多 如 面积法 坐标法 反演变换法 等 在此不赘 例2 证明托勒密逆定理 四边形ABCD满足AC BDAD BCAB CD 求证 四边形ABCD 是圆内接四边形 解析 依题意作图如下 其中AB CAAD BCAC BD 在四边形ABCD内取一点E 使得BAECAD ABEACD 连接DE 由上述条件可知 ABEACD 故 ABAEBE AB DCAC BE ACADDC 又BAECAD 故BACEAD 又 ABAE ACAD 从而ABCAED 故 ADDE AD BCAC DE ACBC 两式相加可得 AB CDAC BCAC BEAC DE 又AB CDAD BCAC BD 故点E必然落在BD上 从而ADBACB 故A BCD 四点共圆 点评 关于托勒密定理的逆定理的证明方法 这种方法较为简单 但是辅助线不是很好想 也不好 想到构造相似 然后证明B ED 共线 另外可以使用三角函数的知识来证 但中间又使 1 2 34 5 6 P A B C D a b c d e f D C BA E D C BA 3 初二秋 第 09 讲 联赛班 教师版 用到面积等等 比较复杂 这里不再给出 以前我们介绍过证明四点共圆的几种方法 在学 习了托勒密定理后 又多了一种证明四点共圆的方法 本定理的证明给证明abcdef 的 问题提供了一个典范 例3 如图 已知P为正ABC 外接圆的BC上一点 求证 PAPBPC A B C O P 解析 以前我们解这个题的时候 会利用圆的相关知识作辅助线 采取截长或补短的方法来证明 学过托勒密定理后 我们发现这一问题非常的简单 PA BCAB PCAC PB 又ABBCAC 故PAPBPC 点评 几何中的定理是 快捷键 熟练的掌握后 解题的速度会快很多 同时我们也意识到 同一 个问题 我们从不同的角度来思考时 问题会呈现出多种状态 解法也会各不相同 例4 等腰梯形一条对角线的平方 等于一腰的平方加上两底之积 已知 梯形ABCD ADBCABCD 求证 22 BDBCAB CD DC BA AB CD 解析 如图 等腰梯形内接于圆 据托勒密定理 有AC BDAD BCAB CD 而AD BCACBD 22 BDBCAB CD 例5 在ABC 中 已知1 2 4ABC 求证 111 ABACBC 解析 将结论变形为AC BCAB BCAB AC 把三角形和圆联系起来 可联想到托勒密定理 进而构造圆内接四边形 如图 作ABC 的外接圆 作弦BDBC 边结AD CD 在圆内接四边形ADBC中 由托勒密定理 有AC BDBC ADAB CD 易证AB ADCDAC AC BCBC ABAB AC 两端同除以AB BC AC 得 111 ABACBC 经典例题经典例题 D C BA 板块二板块二 PtolemyPtolemy 定理的应用定理的应用 4 初二秋 第 09 讲 联赛班 教师版 例6 如图 已知圆的内接正五边形ABCDE P为AB上的一点 则PAPBPDPEPC A B C D E P O A B C D E P O 解析 连接BECE 设该正五边形的边长为a 对角线长为b 则在圆内接四边形PBDA中 由 托勒密定理可知 AB PDPB ADPA BD 即a PDPB bPA b 同理 在四边形PCDE中 有PD CEPC DEPE CD 即PD bPC aPE a 在四边形ABCE中 有AC BEAB CEBC AE 即 22 baba 由 可得 PAPBPDPEPC 例7 凸四边形ABCD中 609021ABCBADBCDABCD 对角线AC BD 交于点O 如图 求sinAOB O D C BA P AB C D O 解析 因90BADBCD 则A B C D四点共圆 延长BA CD交于P 则60ADPABC 设ADx 有3APx 2DPx 由割线定理 有 23 32 12 xxxx 求得2 32ADx 43 2 BP BC 对四边形ABCD应用托勒密定理 有 43 2 32 2 1 10 312BD AC 又 13 2 2 32 43 22 ABDBCDABCD SSS 四边形 从而 13 3 10 312 sin 22 AOB 故 156 3 sin 26 AOB 5 初二秋 第 09 讲 联赛班 教师版 拓1 如图 在 ABC中 60A ABAC 点O是外心 两条高 BECF交于H点 点 MN分别在线段 BHHF上 且 满足BMCN 求 MHNH OH 的值 H N F E O B C A M 解析 易证120BOCBHC 即 BOHC四点共圆 应用 Ptolemy 定理 有 BO CHBC OHBH OC 即 3CHOHBH 其中 BHCHBMMHCNNHMHNH 即 3 MHNH OH 拓2 若a b x y是正实数 且 2222 11abxy 求证 1axby y x A B C D a b 解析 如图构造直径1AB 的圆 在AB两边任作RtACB 和RtADB 使AC aBCbBDxADy 由勾股定理知a b x y是满足题设条件的 据托勒密定理 有AC BDBC ADAB CD 1CDAB 1axby 思维拓展思维拓展 6 初二秋 第 09 讲 联赛班 教师版 拓3 12 CC是同心圆 2 C的半径是 1 C的两倍 四边形 1234 A A A A内接于圆 1 C 41 A A的延长线交圆 2 C于 1 B 12 A A的延长线交圆 2 C于 2 B 23 A A的延长线交圆 2 C于 3 B 34 A A的延长线交圆 2 C 于 4 B 试证 四边形 1234 B B B B的周长 2 四边形 1234 A A A A的周长 B4 B3 B2 B1 A1 A2 A4 A3 解析 对 441 OABB应用 Ptolemy 定理 有 144441414 B BOAA BOBA B OB 144441 22 B BA BA B 于是 14444111 22 BBA BA AAB 同理 21111222 22 B BABAAA B 32222333 22 B BA BA AA B 43333444 22 B BA BA AA B 四式相加 证毕 拓4 设ABCDEF是凸六边形 且 ABBCCDDEEFFA 证明 3 2 BCDEFA EBDAFC 并指出等号成立的条件 A B D C E F 解析 设 ACaCEbAEc 对四边形ACEF运用托勒密不等式 得 AC EFCE AFAE CF 由 于E FA F 故 F Ac F Cab 同 理 D Eb D Aca BCa BEbc 故 3 2 BCDEFAabc EBDAFCbccaab 等号成立需要 ACEFABCEACDE都是圆内接四边形 即ABCDEF为圆内接四边形 且 abc 时 等号成立 7 初二秋 第 09 讲 联赛班 教师版 拓5 1991 年全国初中数学联赛 2 试 ABC 中 ABACBC D点在BC上 E点在BA 的延长线上 且BDBEAC BDE 的外接圆与ABC 的外接圆交于F点 如图 求证 BFAFCF D C F E A B 1 2 M B A E F C D 6 4 3 5 2 1 B A E F C D 解析 证法 1 如图 延长AF到M 使FMCF 连CM DF 在EBD 与FCM 中 由于BEBD FMCF 因此EBD FCM 都是等腰三角形 EBDMFC BEDCMF 又BEDBFD CMFBFD 在BFD 与AMC 中 21 BFDCMF BDAC BFDAMC BFAMAFFM 又 FMCF BFAFCF 证法 2 如图 连EF DF 12 23 13 45 56 46 AFCEFD 于是 EFDEDF k AFACCF 即EFk AF DEk AC DFk CF 由托勒密定理 知BF DEBD EFBE DF 即BF k ACBD k AFBE k CF 0ACBEBD BFAFCF 8 初二秋 第 09 讲 联赛班 教师版 习题1 如图 在ABC 中 A 的平分线交外接圆于D 连结BD 求证 AD BCBD ABAC A B C D D C B A 解析 连结CD 依托勒密定理 有AD BCAB CDAC BD BADCAD BDCD 故 AD BCAB BDAC BDBD ABAC 习题2 1985 年全国高中联赛题 在ABC 中 角A B C的对边分别为a b c 若 AB BC 且 22 baac 则角B的度数等于多少 c b a C BA AB CD a b c 解析 如图 过点C作CDAB 交ABC 的外接圆于D 连结AD 则四边形ABCD为等腰梯 形 由托勒密定理 有 22 bac CD 由已知有 22 baac 则CD a 从而ADDCCB 即2ADCBC 即2BBAC 又因为在ABC 中 AB BC 则 2 B A 从而 247180ABCAAAA 故 180 7 A 360 7 B 为所求 点评 恰当地选择或作出四边形 是应用托勒密定理的关键 复习巩固复习巩固 9 初二秋 第 09 讲 联赛班 教师版 习题3 第二十一届全苏 设 1237 A A AA是圆内接正七边形 求证 121314 111 A AA AA A A3 A4 A5 A2 A1 A6 A7 A7 A6 A1 A2 A5 A4 A3 解析 连 1535 A AA A 并设 121314 A AaA AbA Ac 本题即证 111 abc 在圆内接四边形 1345 A A A A中 有 3445 A AA Aa 1335 A AA Ab 1415 A AA Ac 于是有abacbc 同除以abc 即得 111 abc 故证 习题4 如图 设圆内接四边形ABCD的边BC为圆的直径 其余三边为a b c 求证 这圆的 直径是方程 3222 20 xabcxabc 的根 D CB A c b a a b c A BC D d 解析 由方程的对称性 不妨设AB aADbCDcBCd 连结AC BD 依托勒密定理 有AC BDa cb d 又 22 ACda 22 BDdc 代入 得 2222 acbddadc 即 22222 acbddadc 3222 20dabc dabc d是方程 3222 20 xabcxabc 的根 习题5 如图 过A的圆截平行四边形ABCD的边和对角线分别于P QR 求证 AP AB AQ ADAR AC Q R PA B C D 1 2 3 4 D C B AP R Q 解析 连结PQ PR QR 在圆内接四边形APRQ中 由托勒密定理得AP QR AQ PRAR PQ 又 1234 PQRCAB 于是 QRPRPQ ABBCCA 设上面的比值为k 并考虑到BCAD 有QR k ABPRk ADPQk CA 于是可推得AP AB AQ ADAR AC 10 初二秋 第 09 讲 联赛班 教师版 习题6 已知边长为1的正七边形ABCDEFG中 对角线AD BG的长分别为a b ab 求证 22 ababab G A B C D E F a b F E D C B A G 解析 由于待证结论是比例线段的一种组合形式 而正七边形又有外接圆 故需完善图形构造圈内 接四边形 而借助托勒密定理 连结BD BE DG EG 则BDEGGBb DGBEADa 1DEABAG 在四边形ABDG中 据托勒密定理 有AD BGAB DGBD AG 即a bab 同理 在四边形BDEG中 有BE DGDE BGBD EG 即 22 abb 变形为 22 bab 得 22 ababab 即 22 ababab 习题7 由ABC 外接圆的弧BC上一点P分别向边BC AC与AB作垂线PK PL和PM 求证 BCACAB PKPLPM A B C P K L M M L K P C B A 解析 连接PA PB PC 对于四边形ABPC利用托勒密定理有 BC APAC BPAB CP 即 BCACAB AP PKBP PLCP PM PKPLPM 由KBPLAP 可知RtKBP 和RtLAP 相似 PKPB AP PKBP PL PLPA 同理可得 BP PLCP PM 由 BCACAB AP PKBP PLCP PM PKPLPM 可得 BCACAB PKPLPM 11 初二秋 第 09 讲 联赛班 教师版 练习1 设P为正方形ABCD的外接圆的弧AD上的一点 则 PAPC PB 为定值 解析 根据题意如图 连接AC 设正方形的边长为a 则2ACa 由托勒密定理可知 PA BCPC ABPB AC 故 2PAPC aa PB 即2 PAPC PB 定值 练习2 已知 正五边形ABCDE的边长为a 如图 求对角线长x A B C D E x x a a a a a x E D C B A 解析 正五边形内接于圆 ABCD是圆内接四边形 据托勒密定理 有 2 xa aa x 即 22 0 xaxa 0 x 22 4 15 22 aaaa x 练习3 求证 锐角三角形的外接圆半径与内切圆半径的和等于外心到各边距离的和 若ABC 为直角三角形或钝角三角形 上面的结论成立吗 X Y Z A BC O O C B A Z Y X 解析 如图 ABC 内接于O的半径R ABC 的边长分别为a bc 三边的中点分别为X Y Z 由A