计算机图形学第7章(3).ppt

第七章曲线和曲面 引言7 1曲线曲面基础知识7 2三次样条7 3几种典型的曲线曲面介绍 引言 问题的提出 由离散点来近似地决定曲线和曲面 即通过测量或实验得到一系列有序点列 根据这些点列构造出一条光滑曲线 初等几何平面 平面 圆柱面 球面自由变化的曲线和曲面 飞机 汽车的外形 7 1曲线曲面基础 7 1 1曲线曲面的表示7 1 2插值和逼近样条7 1 3连续性条件7 1 4样条的描述 7 1 1曲线曲面的表示 曲线和曲面的表示分为 非参数形式 y kx b f x y 参数形式p t x y z x t y t z t t 0 1 7 1 2插值和逼近样条 采用模线样板法表示和传递自由曲线曲面的形状称为样条 样条曲线是指由多项式曲线段连接而成的曲线 在每段的边界处满足特定的连续条件 样条曲面则可以用两组正交样条曲线来描述 曲线曲面的拟合 当用一组型值点来指定曲线曲面的形状时 形状完全通过给定的型值点列 曲线曲面的逼近 当用一组控制点来指定曲线曲面的形状时 求出的形状不必通过控制点列 插值与逼近 求给定型值点之间曲线上的点称为曲线的插值 将连接有一定次序控制点的直线序列称为控制多边形或特征多边形 图8 2曲线的逼近 7 1 3连续性条件 如何保证各曲线段在结合处的连续性 假定参数曲线段pi以参数形式进行描述 曲线段相连包括两种意义上的连续性 参数连续性几何连续性 参数连续性 0阶参数连续性 记作C0连续性 是指曲线的几何位置连接 即 1阶参数连续性 记作C1连续性 指代表两个相邻曲线段的方程在相交点处有相同的一阶导数 2阶参数连续性 记作C2连续性 指两个相邻曲线段的方程在相交点处具有相同的一阶和二阶导数 参数连续性 图8 3曲线段的参数连续性 几何连续性 0阶几何连续性 记作G0连续性 与0阶参数连续性的定义相同 满足 1阶几何连续性 记作G1连续性 指一阶导数在相邻段的交点处的比值为常量2阶几何连续性 记作G2连续性 指相邻曲线段在交点处的一阶和二阶导数的比值都是常量 7 1 4样条描述 n次样条参数多项式曲线的方程 基矩阵 Ms 几何约束条件 G 基函数 blengingfunction 或称混合函数 7 2三次样条 在此 介绍两种三次样条 自然三次样条三次Hermite样条 给定n 1个点 可得到n个分段三次多项式曲线 7 2 1自然三次样条 Spline 定义 给定n 1个型值点 现通过这些点列构造一条自然三次参数样条曲线 要求在所有曲线段的公共连接处均具有位置 一阶和二阶导数的连续性 即自然三次样条具有C2连续性 特点 只适用于型值点分布比较均匀的场合不能 局部控制 7 2 2三次Hermite样条 定义 假定型值点Pk和Pk 1之间的曲线段为p t t 0 1 给定矢量Pk Pk 1 Rk和Rk 1 则满足下列条件的三次参数曲线为三次Hermite样条曲线 Mh是Hermite矩阵 Gh是Hermite几何矢量 三次Hermite样条 三次Hermite样条曲线的方程为 三次Hermite样条 通常将TMh称为Hermite基函数 或称混合函数 调和函数 三次Hermite样条 图8 4Hermite基函数 将上式展开写成代数形式为 其中 还可将方程整理成如下形式 写成坐标分量形式则如下式 如果是平面曲线 则只有x和y分量 三次Hermite样条 特点可以局部调整 因为每个曲线段仅依赖于端点约束 基于Hermite样条的变化形式 Cardinal样条和Kochanek Bartels样条 Hermite曲线具有几何不变性 7 3几种典型的曲线曲面介绍 Bezier曲线曲面B样条曲线曲面有理样条曲线曲面 NURBS 7 3 1Bezier曲线的定义 Bezier曲线是参数多项式曲线 它由一组控制多边形折线的顶点唯一确定 如下图所示 在各个控制多边形的顶点中 只有第一个和最后一个在曲线上 其他的用来定义曲线的导数 阶次和形状 Bezier曲线的参数方程表示如下 Bernstein基函数具有如下形式 其中 Pk xk yk zk k 0 1 n是控制多边形的n 1个顶点 BEN t 是Bernstein基函数 一次Bezier曲线 n 1 可见 一次Bezier曲线是连接两个控制点的直线段 二次Bezier曲线 n 2 抛物线 三次Bezier曲线 n 3 其中 任何三次Bezier曲线都是由这 条曲线的线性组合而成 Bezier曲线的生成 绘制一段Bezier曲线Bezier曲线的拼接由于高次Bezier曲线设计较复杂 所以工程上常使用分段三次Bezier样条曲线来描述 也就是将一段段的三次Bezier曲线首尾相连拼接起来 关键 保证连接处具有G1和G2连续性 7 3 4Bezier曲面 1 Bezier曲面定义利用两组正交的Bezier曲线可生成Bezier曲面 BENi m u 与BENj n v 是Bernstein基函数 控制网格 所有的控制顶点构成的空间的一张网格称为控制网格或Bezier网格 样条曲线曲面 B样条曲线与Bezier曲线比较Bezier曲线的不足 1控制多边形的顶点数决定了Bezier曲线的阶次2Bezier曲线不能作局部修改 改变一个控制点 对整条曲线都有影响 B样条曲线保留了Bezier曲线的优点 并克服了其不具备局部性质的缺点 样条曲线曲面 具有局部控制的能力可在不改变曲线阶数下增加曲线的控制点可将曲线的阶数原本由控制点个数所决定下独立出来 因此由四个控制点定义的Bezier曲线只能建立出三次曲线 而B spline曲线却可有一次至三次不同的曲线 B spline曲线具有这些特性的主因就在于B spline所选择的基函数与Bezier曲线选择不同 B样条曲线的定义 B样条曲线的数学表达式 Pk为n 1个控制点 又称为deBoor点Bk m t 是B样条基函数 其表达式见下页 参数说明m是曲线的阶数 可以取值2到n 1 m 1 为B样条曲线的次数曲线在连接点处具有 m 2 阶连续 B样条基函数的表达式 B样条曲线 结点矢量分为三种类型 均匀的 开放均匀的和非均匀的 均匀周期性B样条曲线当结点沿参数轴均匀等距分布 即tk 1 tk 常数时 所生成的曲线称为均匀B样条曲线 B样条曲线 均匀二次 三阶 B样条曲线不妨设结点矢量为 T 0 1 2 3 4 5 6 B样条曲线 B样条曲线 B样条曲线 图8 10四段二次 三阶 均匀B样条基函数 B样条曲线 曲线的起点和终点值 均匀二次B样条曲线起点和终点处的导数 B样条曲线 对于由任意数目的控制点构造的二次均匀周期性B样条曲线来说 曲线的起始点位于头两个控制点之间 终止点位于最后两个控制点之间 对于高次多项式 起点和终点是m 1个控制点的加权平均值点 若某一控制点出现多次 样条曲线会更加接近该点 B样条曲面 B样条曲面是B样条曲线的二维拓广 其数学表达式如下 有理样条曲线曲面 有理样条 RationalSpline 又被人们习惯称为非均匀有理B样条 NonuniformRationalB Spline 简称NURBS NURBS是两个样条参数多项式之比 这种方法既能描述自由型曲面 又能精确表示二次曲线与曲面的有理参数多项式 NURBS曲线曲面定义 NURBS曲线的数学表达式 NURBS曲面的数学表达式 49 NURBS曲线曲面的定义 例 假定用定义在三个控