期权基础知识4——期权的风险参数及特点

期权的风险参数及特点 北京物资学院证券期货教研室 刘宏 刘宏 主要内容 Delta（或 ） Gamma（ ） Theta（ ） Vega （ ） Rho（ rho） 期权的风险参数 期权的价格风险主要发生在卖权上，裸露看涨期权和看跌期权均存在较大的价格风险，与其他金融工具对冲目的相似，期权的价格风险也可以采取相应的措施加以规避或对冲。期权的风险参数可用于调整和控制期权及组合的价格风险。 目前国际金融市场上不同因素对期权价格的影响分别用不同的希腊字母表示，包括标的物价格、距离到期日时间，波动率、利率以及标的物价格变动的变动对期权价格的影响。以上因素对期权价格的影响分别用 delta、 theta、 vega、 rho、gamma等希腊字母表示。 一、 期权 的 Delta 期权或资产的 Delta （ 或 ）被定义为期权或资产价格变动对其标的资产价格变动的比率 ， 数学上看是期权价值对标的资产价格的偏导数，是期权价格与标的资产价格关系曲线的斜率。 Sf 式中： f为期权或资产的价格， S为标的资产的价格。 也看可通过布莱克斯科尔斯期权定价公式求得。 )( 1dNc 1)()( 11 dNdNp不支付红利的看涨和看跌期权的 ： 如果标的资产为有收益，且其收益率为 q,则有： )( 1dNe qTc 1)()(11 dNedNe qTqTp 可通过二叉树的无套利定价模型求得： Su- Sd=Cu -Cd 期权 的 Delta风 险 欧式看涨期权的 delta BS 期权定价动态图0204060801000 50 100 150 200当前股价欧式看跌期权与标的资产的价格关系 Delta风险是指标的资产价格变化引起的期权价格的波动。 不仅期权有 delta风险，远期、期货等衍生产品同样也有 delta风险。 远期合约的 =1，期货合约的 =ert。 期权 Delta的 特点 期权 Delta取值 ：从计算公式看出，期权 delta 绝对值的范围在 0 1之间，欧式看涨期权的 delta值总是大于 0小于 1，而看跌期权的 delta值位于 -1到 0之间，这意味着标的资产价格变动总是大于由其引起的期权价格的变动。 Delta的线性特征：对于一个组合价值为 的投资组合， = Wi*Ci ， 组合的 Delta值等于每种资产的 Delta的线性和，即： 其中 , Wi表示组合包含第 i种期权的数量。 delta值大于 0的投资组合被称为牛市组合， delta值小于 0被称为熊市组合。 1niiiw 期权 Delta特点 -标的资产价格与期权 Delta的 关系 对于看涨期权，当期权处于深度虚值，多头几乎不存在行权机会，期权价格非常小，且几乎不随标的资产价格上涨而上涨，当期权虚值程度减弱时，期权价格会随着标的资产价格上涨而上涨，且上涨速度会加快，期权的 值不断增大。 看跌期权 delta与标的资产的关系 看涨期权 delta与标的资产的关系 当标的资产价格接近行权价格，即期权接近平值时，标的资产价格稍稍的变动都会导致期权虚、实值转换，因此在上涨接近执行价格时期权价格随标的资产价格上涨程度加大，期权的上涨速度加快，期权的 值变大，在平值附近时 最大。 期权 Delta特点 -标的资产价格与期权 Delta的 关系 标的资产价格在行权价格以上时，随着标的资产价格的上涨，期权价格会随之上涨。当标的资产价格超过行权价格很多，即期权处于深度实值时，标的资产价格的进一步上涨将变得困难，期权价格接近内在价值，期权价格与标的资产价格上涨幅度保持一致， 值趋近于 1，期权价格随标的物价格上涨速度减慢，即 增大速度变缓。 所以，对于看涨期权，随着标的资产价格上涨， 变化的速度有一个先变大再变小的过程，接近执行价格时的 变动速度最快。 对于看跌期权，由于标的物价格变动方向与期权价格变动方向相反，所以看跌期权的 为负值。随着标的资产价格的下跌，期权 的绝对值不断增大，即标的物价格下跌，期权价格上涨，标的物价格接近执行价格时 值变化速度最快。 由于期权 的绝对值在 0 1之间，所以期权变化值始终小于标的资产价格变化值 。 看涨期权价格对标的物价格波动的敏感度： Call(European)： K=50， T=20周， r=5%， =13% c a l l 的D e l a t0.00000.20000.40000.60000.80001.00001.200035.00 40.00 45.00 50.00 55.00 60.00 65.00看跌期权价格对标的物价格波动的敏感度： Put(European)： K=50， T=20周， r=5%， =13% p u t 的D e l a t-1.2000-1.0000-0.8000-0.6000-0.4000-0.20000.000035.00 40.00 45.00 50.00 55.00 60.00 65.00 期权 Delta特点 -到期时间对期权 Delta的 影响 看跌期权 delta与到期时间的关系 看涨期权 delta与到期时间的关系 因为对于看涨期权， S实值 S平值 S虚值 ,由于 S越大期权的值越大，所以 实值 平值 虚值 。对于实值期权，随着到期日的临近其不断增大，直至等于 1；对于虚值期权随着到期日的临近不断变小。例如，一个处于深度实值的期权，在其他条件不变的情况下，随着到期日的临近，其处于实值以上的概率将越来越大，期权价格变化将于标的资产价格变化趋于一致，趋于 1 。 期权 Delta特点 -到期时间对期权 Delta的 影响 对于虚值期权，随着到期日的临近标的物价格涨到执行价格以上的概率越小，因此，对于虚值期权，越接近到期其 delta越小，而且随时间推移期权的时间价值加速下降，最终下降到零并停留在那里，由于时间太短，标的资产价格变化已难影响到期权，期权的 delta值变为零。 对于平值期权，不论何时，其价格向上或向下走的概率基本相等，因此平值期权的 delta理论上是等于 0.5的，但是由于标的资产价格不可能小于 0，其价格上行的空间要远大于价格下行的空间，因此平值期权的 delta会略高于 0.5。平值期权的 delta是近似线性的，在到期日 delta接近 0.5。 对于看跌期权， 小于 0， S实值 S平值 S虚值 , S越小期权值的绝对值越大，考虑绝对值， 实值 平值 虚值 。对于实值期权，随着到期日的临近其得的绝对值不断增大，直至等于 -1；对于虚值期权随着到期日的临近由负值向 0趋近。 期权 Delta特点 -波动率对期权 Delta的 影响 波动率对看涨期权 delta的影响 之前对 delta的讨论都是基于布莱克斯科尔斯定价公式，基于波动率不变的前提，波动率会对期权 delta产生怎样的影响？ 标的资产波动率高时，期权处于虚值状态的情形对标的资产价格的变化会相对敏感，而在实值状态下反应相对迟钝。 标的资产的波动率越小，看涨期权的时间价值较少，因此在虚值状态它对标的资产价格的变动并不敏感，delta会很小，但是在实值状态，它的 delta值就会变得很大。 Delta对冲 即利用 delta计算对冲期权头寸风险的套保比率 例 1.某金融机构卖出 10万份无息票股票的欧式看涨期权，收入30万美元。假设股票价格为 49美元，期权执行价格为 50美元，无风险利率为每年 5%，股票价格的波动率为每年 20%，期权期限为 20周（ 0.3846年），股票的期望收益率为每年 13%。 S0=49， K=50， r=5%， =0.20， T=0.3846， =0.13 0 5 4 2.03 8 4 6.0*2.03 8 4 6.0*)2/2.005.0()50/49l n ( 21 d)( 1dN 欧式看涨期权的 = =0.522 Delta为 0.522，表明期权价格变化是其标的股票价格变化的0.522倍。 Delta对冲 金融机构要对冲 100000份看涨期权空头头寸的风险，看通过买入 100000*0.522=52200股股票的方式实现。 当股票价格由 49美元上涨至 50美元时，期权价格应该由 3美元上涨至 3+0.522=3.522美元， 100000份期权空头损失0.522*100000=52200美元；而股票多头盈利 52200美元。 如果 股票价格由 49美元下跌 2美元至 47美元时，股票多头合计亏损 104400美元，而期权价格应该下跌 0.522*2=1.044美元，至 1.565美元， 100000份空头盈利 1.044*100000=104400美元。 以上情况看出，无论标的股票上涨还是下跌，组合均可实现盈亏相抵。 考虑资金成本和标的资产价格变化 买入股票的资金 =49*52200=2557800美元，如果借入资金的成本为 5%，借入一周需要资金 2557800*5%（ 4937/360）=2486.75美元。 期权头寸的 Delat随着标的股票价格的变化而变化，需不断调整股票头寸以使得组合头寸的 Delat为 0。见下表。 对冲期权空头头寸所需股票数 45800股 ,需减持 52200-45800=6400股股票。 退出资金 =6400*48.12=307.97千元 , 资金占用 2557.8-308+2.5=2252.3 Delat=N(-0.1054)=1-N(0.1054)=1-0.542=0.458 一周后 Delat的计算（剩余时间为 19周 =0.3654年） : 1 0 5 4.03 6 5 4.0*2.03 6 5 4.0*)2/2.005.0()50/12.48l n ( 21 d周数 股票价格 Delta 购买股票数量 购买股票费用 (千 ) 累计现金流 (千 ) 利息费用 (千 ) 0 49.00 0.522 52200 2557.8 2557.8 2.5 1 48.12 0.458 -6400 -308.0 2252.3 2.2 2 47.37 0.400 -5800 -274.7 1979.8 1.9 3 50.25 0.596 19600 984.9 2966.6 2.9 4 51.75 0.693 9700 502.0 3471.5 3.3 5 53.12 0.774 8100 430.3 3905.1 3.8 6 53.00 0.706 -300 -15.9 3893.0 3.7 7 51.87 0.706 -6500 -337.2 3559.5 3.4 8 53.87 0.674 -3200 -164.4 3398.5 3.3 9 53.00 0.787 11300 598.9 4000.7 3.8 10 49.88 0.550 -23700 -1182.2 2822.3 2.7 11 48.50 0.413 -13700 -664.4 2160.6 2.1 12 49.88 0.543 12900 643.5 2806.2 2.7 13 50.37 0.591 4900 246.8 3055.7 2.9 14 52.13 0.768 17700 922.7 3981.3 3.8 15 51.88 0.759 -900 -46.7 3938.4 3.8 16 52.87 0.865 10600 560.4 4502.6 4.3 17 54.87 0.978 11300 620.0 5126.9 4.9 18 54.62 0.990 1200 65.5 5197.3 5.0 19 55.87 1.000 1000 55.9 5258.2 5.1 20 57.52 1.000 0 0.0 5263.3 Delta对冲 利用 Delta计算对冲股票组合风险的套保比率 例 2.假设有一个复制沪深 300指数的股票组合，价值为 3000万元。股票组合的管理人计划持有该组合半年，并为该组合设置了 5%的止损线，即当组合价值跌到 2850万以下时平仓出局。为了股票组合的价值得到充分保护，投资人最理想的办法是能买入一个执行价格为 2850万元的看跌期权，还有一种办法就是通过 delta复制，创造出所需要的期权（卖出标的资产同时买进看涨期权，等同于买进看跌期权）。 假设无风险利率为 3%每年，红利收益率为 1%每年，市场波动率 25%，于是有： S0=3000元， K=2850元， r=3%， q=1%，T=6/12， =25%。可以算出所需期权的初始 delta值为： 3 1 8 4.01)( 1 dNe qT如果交易者用看跌期权来对冲股票组合的风险，需买进10000/0.3184份看跌期权。 如果股票价格下跌 3%，价格跌至 3000*（ 1-3%） =2910，价格下跌 3000-2910=90元，股票组合的市值降至 2910万元，下跌 90万元。看跌期权价格会上涨，每张期权会上涨 90*0.3184元，期权总头寸将上涨（ 10000/0.3184） * 90*0.3184=90万元，组合头寸盈亏平衡。 随着股票价格的下跌， 对于期权的 delta的绝对值增加，所需期权空头头寸应该减少。 例 1中，金融机构 10万份看涨期权空头头寸的 Delta为： 0.522*（ -100000） =-52200美元。 Delta中性 每股股票的 Delta为 1， 52200股股票多头的总 Delta为 52200美元。股票头寸的 Delta与期权头寸的 Delta抵消，金融机构组合头寸的 Delta为 0。 Delta为 0的头寸被成为 Delta中性。 表明金融机构所持标的股票每股涨跌 美元，期权总头寸将反向变化 52200美元。 由于 Delta会变动，投资者的 Delta策略（或 Delta中性状态）只能维持在一段短暂的时间里，要实现对冲风险的目的，对冲策略需要不断调整，持续保持 Delta中性。 Delat动态调整的特点 要维持 Delat中性就要根据标的物价格的变化而导致的Delat值的变化对股票持仓进行调整。 因此， Delat动态调整的缺陷是追涨杀跌！ 当使用标的股票空头对冲看跌期权空头时，标的股票上涨时期权 Delat的绝对值减少，需买入一定量的股票头寸保持组合的 Delat中性；当标的股票下跌时 Delat绝对值增大，需卖出更多的股票头寸对冲看跌期权空头。 Delat度量的是标的资产价格变化引起的期权价格的近似变化，标的资产价格变化引起的Delat的近似变化用 表示。 期权的 是指 证券组合价值 Delta变化与标的资产价格变化的比率。 是证券组合关于标的资产价格的二级偏导数， gamma也被称作期权价格与标的资产价格关系曲线的曲率 。 TSdNSS 0122 )()( 看涨和看跌二、期权的 Gamma（ ） 例 1的 值等于 0.0656，表明当股票价格变化 S时，期权的价值变化为 0.522 S， Delta变化为 0.0656 S。 是度量 Delta对标的资产价格波动敏感度的指标， 风险是指标的物价格波动引起的期权 Delta的波动。当 gamma的绝对值较大时，表明 delta对标的资产价格波动十分敏感，标的资产的微小变动会导致期权的大幅变动，期权的 风险很大，此时若不对 delta中性投资组合的持仓进行调整就将产生较大的价格风险。调整的目标是使组合头寸的 gamma等于 0， gamma为 0的投资组合被称为 gamma中性。 同一标的资产的看涨和看跌期权的 gamma值相等。 期权 Gamma（ ）的特点 只要是期权多头，无论是看涨还是看跌， 值均大于 0；反之，只要是期权空头，无论是看涨还是看跌， 值均小于 0。买入期权又被称为买入 ， 为正值 ,买入期权即期权多头，又称为期权长头寸，所以买入 包括看涨期权长头寸和建立看跌期权长头寸；卖出期权被称为卖出 ， 为负值，卖出 包括看涨期权短头寸和看跌期权短头寸。 之前对 的分析可知，当标的资产价格在执行价格附近时，期权 的 变动最快。所以平值期权的 最大。 随着标的资产价格的增长 值不断变大的，所以 delta对标的资产价格的偏导数应为一个正值，即 值总是大于 0。 与 一样，证券组合的 值就等于组合内各种衍生证券 值的总和。对于远期、期货等收益曲线为线性的金融工具而言，他们的 为 0。 期权 Gamma（ ）的特点 Delat对标的物价格波动的敏感度： Call和 Put(European)： K=50， T=20周， r=5%， =13% 看涨与看跌期权的Gam ma0.00000.01000.02000.03000.04000.05000.06000.07000.080035.00 40.00 45.00 50.00 55.00 60.00 65.00 实值、平值、虚值期权受到期时间变化的影响不同。 期权 Gamma（ ）的特点 -到期时间对 的影响 对于平值期权，期权价格会紧随标的资产价格变动而变动，越临近到期， delta值变化越剧烈，其 gamma值越高。因此平值期权在临近到期时， gamma会变得很大。 依据对 delta和标的资产价格的关系， 随着标的资产价格的提供， delta的变化速度是先大后小，在平值期权附近 delta变化速度最大，所以接近平值时的 gamma值最大， 虚值期权的gamma 高于实值期权的 gamma。 当期权的到期时间还有很长时，标的资产价格变化对期权价格的影响相对较小， delta随时间变化十分缓慢而稳定，相对应的 gamma值也比较稳定且数值不大。 Gamma也可用来估计一个 delta中性的投资组合当价格变化时该投资组合价格的变动。 期权 Gamma（ ）的特点 -到期时间对 的影响 gamma与距离到期时间的关系 Gamma（ ）对冲 要规避投资组合的价格风险，不仅要保持 delta中性， delta对标的资产变化比较敏感时，还要保持组合的 gamma中性。由于标的资产及其衍生出来的期货和远期合约的 Gamma（二阶导数）等于 0，所以不能通过他们来改变投资组合的 gamma。要实现Gamma中性，只有使用像期权那样价格与标的资产价格呈非线性关系的工具来进行对冲。当在组合中加入新的期权合约时，也改变了投资组合的 delta值，为了使投资组合重新实现 delta中性，还需要计算新的 delta值并利用标的资产或者标的资产的远期（期货）合约来进行对冲，以期实现新的 delta中性状态。Gamma中性策略可以看做是 delta中性策略的一个补充。当标的资产价格变动较小的时候， delta中性即可为投资组合提供足够的保护，但是当价格发生较大的变化时，则需要利用 gamma中性来提供额外的保护。 Gamma（ ）对冲 假设某 delta中性的有价证券组合其 gamma值为 -4500，某具有相同标的资产的看涨期权的 gamma值为 1.5， delta值为 0.51，我们用这个期权来实现 gamma中性，需要购入 4500/1.5=3000份这一期权。购入期权后，新的组合的 delta值为0.51*3000=1530。为了实现新的 delta中性，需要卖空 1530份标的资产。 投资者先决定用于 gamma对冲的期权，再计算加入新的期权后整个投资组合的 delta值，然后选择相应数量与方向的标的资产进行 delta对冲即可。但是，与 Delta对冲类似， Gamma对冲也只能保持短时间 Gamma中性，要完全的对冲掉 gamma的风险也需要进行动态对冲。 Gamma（ ）对冲 例：假设某 delta中性的投资组合 gamma为 -10000，当资产价格在极短的时间内发生 -1或者 +1的变动，该投资组合的价值将减少（ 1/2） *10000*12=5000。 对冲该 Gamma风险，可采用看涨期权长头寸或看跌期权长头寸策略。如果采用看涨期权长头寸来实现 Gamma中性， 新组合的delta会大于 0，需卖出一定量的标的资产来实现 delta中性；如果采用看跌期权长头寸来实现 Gamma中性， 新组合的 delta会小于 0，需买进一定量的标的资产来实现 delta中性。 期权的 Theta定义为在其他条件不变时，证券组合价值变化与时间变化的比率。 Theta也被称为时间的损耗（ time decay）。对于一个无股息股票的 欧式看涨期权，根据 Black-Scholes-Merton模型，期权的 Theta为： 2/ 221)( xexN 三、 Theta（ ） 在计算 时，时间以天为单位，因此 为在其他条件不变时，在一天过后交易组合价值的变化。如果计算每日历天 ，上面的公式必须除以 365，如果计算交易日 ，上面的公式应该除以 252。 ）（）（欧式看涨）2102( dNr K eTdNS rT ）（）（欧式看跌）2102( dNr KeTdNS rT d1和 d2可由Black-Scholes-Merton模型求得 . 前例中，不支付股利的股票看涨期权，股票价格为 49美元，期权执行价格为 50美元，无风险利率为 5%，期限为 20周（ 0.3846年），股票价格的波动率为 20%。计算期权的 。 3 9 8 4.09 9 8 5.0*2121)0 5 4 1 7.0()( 2/05417.012 eNdN3 0 5.44 7 2 2.0*50*%53 8 4 6.02%20*3 9 8 4.0*49 3846.0%*5 e05417.05.03846.0*%20 02692.00202.05.03846.0*%20 3846.0*)2/2%20%5()50/49l n(1 d06986.05.03846.0*%20 3846.0*)2/2%20%5()50/49l n (2 d每日历天的 Theta为 -2.98/365=0.00815，每交易日的 Theta为 -2.98/252=-0.1183。 N(d1)=0.5216, N(d2)=0.4722 用来衡量投资组合时间损耗的速度。随着组合持有时间的增长，到期日越来越临近，期权的时间价值越来越小，因此买权和卖权的 值 通常为负数， 而随着时间的流逝，期权空头方将得到时间价值，所以买权和卖权空头的 值一般为正数。 Theta（ ）的特点 Theta的损耗是非线性的，越临近交割日其损耗越快。 theta和标的资产价格的关系与 gamma 和标的资产价格的关系十分相似，在实际运用中 theta经常被当做是 gamma的镜像值。对于 delta中性的投资组合而言， gamma和 theta是近似互为相反数的两个值。当买入期权，也就是买入了 gamma，但同时也就要承担时间价值也就是 theta的损失，也就是卖出了 theta。对于这两者的操作是不可能同向的。 Theta（ ）的特点 theta和标的资产价格的关系 theta和距离到期时间的关系 四、 Delta（ ）、 Theta （ ）和 Gamma（ ）之间的关系 依据 Black-Scholes-Merton模型， 无息票股票的单个衍生产品的价格满足下式： rfSfSSfrStf222221Delta : 标的资产价格每变动 1个单位，期权价格的变化值 Gamma :标的资产价格每变动 1个单位， 期权 Delta的变化值 Theta : 假设标的资产与其他参数不变，每天期权的变动值 当期权的 为负时， 为正，反之依然。由于在其他条件不变的情况下，期权的价值会随着期限的缩短而降低，所以，通常情况下，买权的 为负值，而 为正值。 由衍生产品所组成的资产组合 也一定满足以下方程： rSSSrSt 222221 根据 Delta（ ）、 Theta （ ）和 Gamma（ ）的定义，上式可变为： rSrS 2221 对于 Delta中性的组合， =0，有： rS 2221 上式说明，当 很大并为正时，交易组合的 有很大但为负，反之依然。同时也说明，对于 Delta中性的组合，可以将 作为 的近似。 交易组合的 Vage被定义为交易组合价值变化与标的资产波动率变化的比率。 五、 Vega （ ） 上面的研究均假设衍生证券的波动率为常数，但实际中，波动率会随时间变化，这意味着衍生证券的价值既会随标的资产价格与期限的变化而变化，也会随着波动率的变化而变化 。 对于无股息股票的欧式看涨和看跌期权， 计算前例的 ： )( 10 dNTS 即当标的资产波动率变化 1%时，期权价格将变化 0.121。 1.123 9 8 4.0*3 8 4 6.0*49 S=49， T=0.3846， N（ d1） =0.3984 标的资产的头寸 以及标的资产的远期合约、期货合约的价格与波动率无关，因此他们的 vega值均为 0。 Vega （ ）的特点 在其它条件不变的情况下，标的资产的波动率越高，多头的机会越大，期权的价值越高。所以，对于期权多头，不论是看涨期权还是看跌期权， 都是正值；而期权空头的 为负值。 值为正表明波动率增大期权价值下降， 值为负表明波动率降低期权价值提高。 当标的资产价格接近执行价格的时候，波动率的稍稍改变都将引起期权从实值与虚值之间的转换，因此期权趋于平值时， 值最大。而对于深度实值或是深度虚值的期权，波动率的变动并不能引起期权价值太大的变动 , 值较低。 如果交易组合的 的绝对值很大，表明该组合的价值会对波动率变化非常敏感，而 的绝对值很小时，表明资产波动率的变化对交易组合价值的影响很小。 当距离到期的时间比较长，标的资产的波动率发生变动，标的资产价格会有充分的时间发生改变，从而影响期权的价格，因此距离到期时间越长 vega越大，当临近到期，即使波动率变大，也已无足够时间让标的资产价格发生变化，因此当接近到期的时候 vega值会迅速减少 。 Vega （ ）的特点 Vega （ ）的特点 vega与标的资产价格的关系 Vega （ ）的特点 vega与到期时间的关系 如同对冲 gamma风险一样，要改变投资组合的 Vega ，必须使用那些 Vega不等于零的工具，比如期权。当调整期权头寸使证券组合处于 vega中性状态时，新期权头寸会同时改变证券组合的 gamma值与 delta值，因此，若套期保值者要使delta中性的证券组合同时达到 gamma中性和 vega中性，至少要使用同一标的资产的两种期权。 Vega （ ）对冲 同样的，一个 Gamma中性的交易组合一般不会是 Vega中性，反之亦然。投资者要想使一个交易组合同时达到 Gamma和Vega中性，就必须引入与标的产品有关的两种不同衍生产品才能达到目的。 假如某交易组合的 Delta中性， Ga