抢渡长江的数学模型_数学建模论文.doc

抢渡长江的数学模型数学建模论文抢渡长江的数学模型摘 要本文就竞渡策略问题建立了竞渡路线优化模型.模型一根据问题一给出的条件为一个速度能保持在1.5米/秒的人选择了游泳方向，并算出了他的成绩为15分10秒，游泳方向为和正河岸成，并且求出了冠军的速度大小为1.54米/秒，和正河岸的夹角为。然后分析了1934年和2002年能到达终点的人数的百分比差别之大的原因，并给出了能够成功到达终点的选手的条件，其中2002年达到终点的选手的最小速度为1.43米/秒。在对随后问题的分析过程中，我们提出了依据水速的变化来变竞渡者速度的方向的思路， 然后基于此思路建立了模型二，模型三，在保证能到达终点的前提条件下，提出了竞渡策略,使得到达终点的时间最短。而模型四又提出了一种比较理想化的竞渡策略，即依据水速的变化随时变换人的速度方向，并根据所得的结果提出了一个较合理的水速分布函数，而根据实际情况分析了水速的另一个更为合理的分布函数，建立了改进后的模型五。利用LINGO和MATHMATIC数学软件较好地解决了问题，得到了问题优化解，提出了竞渡策略。在模型二中，求出三个不同区域的速度方向分别为最小时间，并画出最优路线如图3。在模型三中，也求出了三个不同区域的速度方向分别为，最小时间，也绘出最优路线如图4所示）。在模型四中，求得最小时间为885.747秒。在最后又将本文所建立的模型做了一些推广，它们可以应用到航空,航天和航海等。 一、 问题提出中国第一大江长江万里奔腾龙跃武汉，引出了一道亮丽的风景“渡江大赛”。在看似简单的渡江大赛中玄机不断，奥妙百出。玄机一：同一条江为何在1934年的横渡长江游泳竞赛活动中，44人参加就有40人到达终点，而在2002年的“武汉抢渡长江挑战赛”中186名选手（其中专业人员近一半），仅34人到达终点，相差如此悬殊，其中奥秘耐人寻味。玄机二，在高手如云的参赛选手中为何拿到男女冠军的却分别是中国高中生宋济和17岁的美国女学生爱瑞克罗斯呢？难道他们自有秘诀？ 为此本文建立了数学模型很巧妙的解决了上述疑问，仔细分析实际问题其实万事皆有原因，答案尽在其中。二、问题分析在渡江问题中，我们先简化现实问题建立数学模型，在前两问中由于游泳者的速度和方向不变，竞渡区域每点流速均为1.89米/秒，（由定理一）只需保证游泳者能朝着起点（武昌汉阳门码头）到终点（汉阳南岸咀）的方向前进即可。根据第一名的游泳时间和向量分析很容易就可算得她的游泳方向和速度，同时将速度1.5米/秒带入模型中即可得此人的游泳方向，并估算出他的成绩为15分12秒。如果游泳者始终沿和岸边垂直方向游，则他（她）的速度必须达到2.19米/秒，而这一速度是一般人是达不到的（奥运会百米游泳冠军的速度为2.09米/秒）。1934年和2002年能游到终点的人数的百分比有如此大的差距主要是由于游泳路线的不同以及水速的差异从而导致到岸的最小速度发生变化，由MATHMATIC算得两个最小速度分别为1.4315米/秒和0.4271米/秒，显然达到前一速度更难。而同时在L不同的情况下所要求的游泳者游泳角度也不同，分别为和，很容易看出当L越小游泳者开始的角度就越大，而根据一般人惯例很少会选择大角度。第三问中流速离岸边距离成三段不同分布区域，游泳者保持速度大小不变，游泳者要成功抵达终点，就必须随着水速来改变自己的速度方向，由于水速在三段区域中一定，我们可以认为人的速度在每个区域保持一个特定的方向。并且在选择的方向中存在一组方向使得游泳者所用的时间最少，由此建立数学模型二。第四问所给的条件是流速离岸边距离成连续分布，对此本文建立了两个模型分别从不同角度分析由于不同水速而给游泳者带来游泳路线的影响。一、游泳者可以按照第三问的方法，即在三个区域中分别选择一个特定的方向渡江，这样能成功到达终点（建立模型三）；二、若游泳者的速度方向时刻变化，游泳者可以沿着一条从起点到终点的直线前进，以最短的时间到达（建立模型四），模型四是较为理想的情况，经过调查研究，参考各种文献书籍，我们认为水速应该呈抛物线分布，于是我们建立了模型五。三、 基本假设1、 游泳者身体健康在比赛过程中不会出现意外，速度大小不受水速影响，能够按照我们模型的进度前进，在前三问中速度保持在1.5米/秒，在第四问中速度大小也保持不变。2、 江中不会出现旋涡、急流等自然现象，江水的速度始终水平于岸边且严格符合题目所给要求。3、 两岸保持平行且间距为1160米，在整个竞技区域内江面平缓没有任何障碍物。四、符号说明 游泳者的游泳速度； 水流速度； 合速度(游泳者受水速影响的最终游泳速度)；, 起点(武昌汉阳门码头)和终点(汉阳南岸咀)； 游泳者游泳方向和水流方向(正岸边方向)夹角； 合速度方向和水流方向夹角； T 游泳者渡河总时间； 第i区域渡河所用时间(i=1,2,3)； 第i区域游泳者前进的水平距离(i=1,2,3)； 第i区域游泳者垂直前进的距离； 游泳者离开始点的水平距离； 游泳者离开始点的垂直距离。五、建立模型以及模型分析1160m1000m长江水流方向终点: 汉阳南岸咀起点O: 武昌汉阳门建立数学模型，为了简化模型假设在竞渡区域两岸为平行直线，它们之间的垂直距离为1160米，从武昌汉阳门的正对岸到汉阳南岸咀的距离为1000米，见示意图。定理一：当游泳者和水流的方向和速度大小始终不变时，游泳者最终必须延方向前进。即当和 不变，则固定且方向始终。证明： 、固定则由向量分析，为、的合向量肯定也是固定的。则若的方向不为游泳者肯定到不了终点。人速随水速变化分两种情况进行分析，在此画出一般情况（如图1）。 图11、解答问题一：由题目可知第一名的游泳时间为848秒，当时的水流速度为1.89米/秒，由于她到终点则符合定理一（人的合速度中，水平速度所用的时间等于垂直速度所用的时间）于是建立数学模型一： 式中T=848秒 解方程 得：；当游泳者速度为1.5米/秒时，米/秒，带入方程组，得： 所以，冠军的速度为1.54米/秒，和正河岸的夹角为117.46；一个速度保持在1.5米/秒的人应选择的游泳方向为和正河岸成121.86，总时间为15分10秒。2、解答问题二若游泳者以和岸边垂直的方向游，则： 解 得： 他（她）要到达对岸，速度必须为2.19米/秒，而中的假设为1.5米/秒，所以他（她）不能到达终点。1）、在水流速度均不变的情况下，分析L对速度的影响：由方程组可知，要使游泳者到达对岸必须满足条件（在水流速度均不变的情况下）： L为起点到终点的水平距离。由MATHMATICA4.0可得不同L值时的的最小值。=1.89 （具体计算见附录1）当L=1000米时，；当L=4863.58米 ， 米/秒。由此可见，要达到对岸不同，不同的L所要求的最小速度由于L=1000米所要求的最小速度要为1.43米/秒，这显然增加了到岸难度。由于游泳者无法达到这速度无论他（她）如何改变方向都不可能到达对岸。2）、在水流速度不变、人的速度一定的情况下，得出L对游泳角度的要求：同时在游泳者游泳速度保持不变时，不同的L所要求的游泳者游方向也不同，当L=1000米时， ；当L=4863.58时， 。由两角度的差距可得当L=1000米时所选择的逆水角度很大，而一般人仅仅只看到目标而不考虑水流的影响从而没有选好游泳角度被水流冲出目标码头，而当L=4863.58时游泳者比较好选择自己的游泳方向而不至于被水冲离目标码头。3）、总结：在这两次比赛中，到岸比例如此悬殊的最关键原因是始点到终点的水平距离有很大的差距，1000米远远小于4863.58米从而导致对游泳者的游泳速度和游泳方向的更严格要求，在1000米中速度和角度的选择几乎都快达到极限，一般人很难做到。除上述原因外，居我们了解的实际情况，2002年4月下旬，长江流域连日阴雨，“五一”那天，武汉水域水位21.50米比往年高，水温16.8也比往年低，最大流速达到2.06米/秒，加上水温偏低，所有难度肯定加大导致很多运动员败北。3、解答问题三由于流速沿岸边成分三段分布,并且题目中假设人的速度大小不变,我们可以假定在每一段人的速度为一个不同的方向,它们的方向与岸的夹角分别为（如图2），人游过三段的时间分别为，总时间为T=，其中T是一个关于的函数。由此，我们可以求出总时间最小时各个的值。 图2因此,我们可以建立数学模型二：目标函数: 约束条件： ,()其中 ，,()根据以上条件可得：根据以上模型，用LINGO软件可以算出(程序见附录2)：。由此可得：，根据以上数据，可以得到y关于x的函数：用MATHEMATICA 4.0（程序见附录3）画出y关于x的图形为： 图3此图像所示的线路即为此模型的最优路线。4、解答问题四问题四所给的条件是水流速度沿岸边距离在三个区间成连续分布，假设游泳者的速度大小全程不变.游泳者成功抵达终点的方法有两个，第一个方法是游泳者在三个区域里分别选择特定的前进方向,使得游泳者最终到达终点。第二个方法是游泳者在前进过程中不断的改变自己的前进方向,使前行的方向与的方向一致。由此我们可以建立以下两个模型： 1）、游泳者在三个区域里分别选择特定的方向前进假设游泳者在三个区域里的前进方向与岸边的交角分别是，游泳者在三个区域里所用的时间分别是，总时间为T，T也是一个关于的函数，游泳者的速度大小，根据以上条件建立的数学模型三为：目标函数为：约束条件为:,其中(),由以上式子可以得到： 用LINGO软件求得。(程序见附录4)因此可以得到：，由以上数据，又可以得到x关于y的函数： 根据上面这个分段函数，可以得到函数与的函数图像，即游泳者前进路线。用MATHEMATICA 4.0（程序见附录5）画出图像为：图4其中横坐标为x,纵坐标为y，这个路线就是模型的最优路线。2）、游泳者不断改变速度的方向前行 对于模型三，因为我们只考虑了每一段的速度为一个特定的方向这种情况，沿着一条曲线向终点游去。下面我们对它做一些改进，即人的速度方向是时刻变化的，结果选手沿着一条从起点到终点的直线前进，以最短的时间到达。 根据题意，流速沿离岸距离连续分布，若人的速度大小保持不变，则人的速度方向要依水的流速的变化而变化，才能到达终点。人的速度可以分解成两个分量，如下图所示： 图5和水速方向相反，沿从起点到终点方向，选手要最快到达终点，要一方面分速度平衡水速,另一方面用全力以赴向终点方向前进（另外，可理解为人的速度与水的速度的合速度，即），如此则没走弯路,就能最快到达终点。因此建立数学模型四：因为解得: 由于合速度大小显然要大于0，而在取根时，因为，得到，所以0，因此：只能取根。又因为 分离变量并积分2: （1）根据题目所给得的流速沿岸边距离的连续分布函数: （2）根据（1）和（2）可以得到以下方程组: 经调查,一般人的速度在0.906m/s1.538m/s,7根据用MATHEMATICA 4.0软件算积分得到的结果: 即使当=1.538时,积分也无解(分析过程见附录6),即最快速度的游泳者都不能到达终点,所以我们认为题中所给的流速分布函数不合理，即在这个水速太大，没有选手能够到达终点。我们可以假定水流速度分布函数为: 经计算得：当时,k2时,以上积分式才有解, （此速度是我们查有关资料得知的2001年比赛中最晚到达终点的选手的速度）时, k1.63,以上积分式才有解(计算过程见附录6).因此我们认为一般人能到达终点的水流速度分布函数为下面的函数比较合理：若且全程保持不变,可以得到T=885.747s.其中；分析：根据我们所参考的文献及书目，得知，实际的水流速度关于y的函数分布并不是呈三段线性分布，而是呈近似抛物线分布16，所以，对上面的模型，我们又可以做一些改进。3）、假设水速关于y呈抛物线分布，在江的中央，即y=580m处，水速最大，为抛物线的顶点(如图所示)，YO 图6我们可以认为最大速度为题中所给的江中央的速度2.28m/s。可设v(y)=,（a为一待定的常数）,在起点水速为0，即v(y)=0 可得a=v(y)= 与上述模型同理将v(y)代入前面所得到的积分式为：（其中）中，即可得游泳者在新的连续分布下水速中，按模型三的竞渡策略到达终点的总时间，以及游泳者的速度随y变化的规律。六、模型的优缺点分析由结果可知，模型四中所用的总时间T小于模型三中的总时间T，说明模型四中的方案确实优于模型三中的方案，可是按照模型四中的方案，不断变换速度方向，选手将很难把握，模型四太过理想化，不太符合实际情况，在实际情况中，由于各种因素的作用，如，水速对选手速度的影响，选手判断方向的误差等，选手将不能严格按照模型四中方案提供的路线前进，结果可能导致到达不了终点。如果条件允许的话，选手能随身携带一个事先按照此模型设计的一个仪器，提示选手在每一位置应该取的方向，那么就可以得到最优前进路线。在现实生活中人们通常习惯于看参照物前进，可以在不同水域中给出不同的参照物一直引领游泳者前进，在这个模型中我们要运用到坐标矢量分析和最优化求解，且系数比较多一时难以建立。七、模型的推广与运用本文共建立了五个模型，由难到易逐渐升级。模型一、三、五中游泳者的游泳最终速度始终保持不变，由此可得它们比较适合运用于一些要求固定轨道运行的情况，比如航空飞机的飞行、航海、卫星的运行等。这些模型的共同特点是无论外界条件怎么变化（外界条件每一点的情况必须相同），模型的母体均按不变的速度大小和方向前进。假设飞机在飞行过程中受到了气流的阻力，若气流的速度和方向保持不变（成一定规律变化），则要保证飞机沿同一速度前进时，飞机的必须要利用一部分速度来克制气流的影响有模型一（三、五），就很容易可以算出飞机的飞行大小和方向。对于飞机而言，它有着很先进的测量仪器，所以这一模型有很强的实际运用性。 而模型二、四则是无论外界条件怎么变化模型母体运动的方向和大小都不改变，这种模型比较适用于股票债券投资，因为无论股市行情如何变化，投资者的最终目标利益最大化都不会改变，即在投资过程中，根据股市的整体走势，用最优化模型得到投资的方向组合从而得到利润最大化。抢渡长江策略 -智慧赢得胜利 2002年五月一日，万人瞩目的中国武汉国际抢渡长江挑战赛第32届横渡长江活动在武汉长江水域举行。届时来自美国、德国、韩国、马来西亚等10个国家和地区以及北京、河南、湖北等9个省市的183名游泳好手参加了这次抢渡，而本次女子冠军，男子冠军却分别是17岁的美国学生埃瑞克罗斯和中国高中生宋济，而平时他们的静水速度并不是很快，宋济的静水速度只有1.364米/秒，在静水比赛中只有第18名，然而他们何以成为幸运儿呢？胜利女神向来青睐有准备的智慧者。赛后他们均表示是智慧和拼搏帮助他们登上领奖台。 游泳比赛不靠速度拿冠军，而智慧排在首位，为何？为此我们建立了一系列数学模型详尽的说明了问题并提出了最优方案，将数学很好的运用到实际问题中，并根据不同的现实情况提出了不同的运用实施措施，理论分析如下：以不变应万变的方法始终保证游泳者的合速度指向终点情景一：如果竞渡水域中每点的水流速度和方向均不变时，则参赛者只需使得本人速度和水流速度的合速度朝着起点到终点的方向前进。由于水速和合速度的方向、大小确定，根据向量分析我们可以推算出游泳者的实际游泳方向和大小。所以在游泳前我们只需要测出水流速度大小和方向，游泳者必须保证能够在除去逆水速度后还能刚好朝终点前进，这样就能够顺利到达终点，所用时间仅和游泳者速度有关，速度越快所用时间越短。情景二：若竞渡水域中水流速度不同且分为几个区域，每个区域的水流速度固定，在每一个区域内由于水流速度的方向和大小一定。确定在每一区域内游泳者的游泳方向和大小不变，则可以用微分、积分方法以及LINGO求出最优解。如在题中条件三的情况下在三个不同区域分别求出在三个区域的游泳角度=126.11、=118.09、=126.11，则游泳者只需按此方向前进就可以最快的到达终点。由题可知当水流比较小=1.47米/秒时游泳者可以根据用3/5的速度来克制水速，当水流变大=2.11米/秒时，过分克水速会消耗很大能量所以计算可用1/3的速度来克制逆水。情景三：若竞渡水域水流速度不同，可分为几个区域，每个区域的水流速度不一定固定在此情况下，用向量分析法每一点的水流速度大小和方向固定，并且人的速度确定，同理保证每一点的合速度指向终点，即在每一点人的游泳速度能够在抵消逆水速度后依旧朝向终点。这个是模型四的结论。但在不断变化的水流中很难保证游泳者能一直沿着这一方向前进除非游泳者身上带有类似指南针的仪器。即在不断变化的水中，这样做脱离实际，由此我们建立了另一模型-模型三。实际运用：由以上模型分析，在一般水域中这套理论都有可行之处，现实生活的竞技比赛多为情景二和情景三，本文分别虚拟了两长江水流形势情景并给出了最优方案，同时还根据2002年5月1日的武汉长江实际水势给出了参加大赛的最佳方案。虚拟情景一：假设当水流速度沿离岸边距离为连续分布，分三个区域，第一区域为线性分布越到江心水速越大，第二区域水速不变，第三区域也为线性分布也是越到江心水速越大。此时保证游泳者的合速度不变朝向终点，在第一区域他必须随着水速的增大而不断调大游泳方向，从而保证克制水流的影响。在第二区域中可以算得一个固定的游泳角度，在第三区域中游泳者越接近终点所受水流影响越小则可减小游泳角度直到终点。虚拟情景二：假设水流成抛物线形状，即整个过程中越到江心水速越大，到两岸的水速渐减，为了克制水速的影响，游泳者游泳角度随水速的增加而加大即水速越大所需要克制的速度越大。实际情景：正如2002年渡江男子冠军宋济在知识助我登上领将台中所描述，当时的长江竞技区可分为四个区域，四个区域的水速分别为一确值。这类似于情景二中的条件，在第一、二区域流水最快，三、四区域水速相对要小，则在前两区域用一定比例速度来克制水速（不要很大），在水速比较缓和的第三、四区域可以适度的调大游泳角度，直到终点。万物之中有玄机，这次比赛是智慧的较量，四两拨千金，只有好的方案才可能引领你到达目的地，否则即使你身轻如燕，箭步如飞，鱼雷窜梭也可能兵败麦城，与奖杯失之交臂。参考文献1 王志魁，化工原理，化学工业出版社，1998年。 2 同济大学应用数学系，微积分，高等教育出版社，1999年。 3 教育部高等教育司，证券投资学, 高等教育出版社，1999年。4 宋济，知识助我登上领奖台，20/cjfd/mainframe.asp?encode=gb&display=chinese&navigate=mid，2003年9月24日。 5 彭援军，毛泽东畅游九江，20/cjfd/mainframe.asp?encode=gb&display=chinese&navigate=mid，2003年9月24日。 6 史力生，用数字直接模拟层流，20/cjfd/mainframe.asp?encode=gb&display=chinese&navigate=mid，2003年9月24日。 7杨波等，抢渡长江最佳路线的探讨，数学通讯，2003年9月24日。附