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第四章原子的精细结构 电子的自旋 1 2 玻尔的原子理论 很好地解释氢原子的谱线系 主要考虑原子核与电子的静电相互作用 问题 碱金属谱线的双线结构 需要考虑电子运动时产生的磁相互作用 3 4 1原子中电子轨道运动的磁矩 4 3电子自旋的假设 4 2施特恩 盖拉赫实验 4 4碱金属双线 教学内容 4 5塞曼效应 4 4 1原子中电子轨道运动的磁矩 一 电子轨道运动的磁矩二 轨道取向量子化理论 5 一 电子轨道运动的磁矩 由经典电磁理论 载流线圈的磁矩 1 经典表示式 6 电子绕核运动等效于一载流线圈 必有一个磁矩 电子旋转频率 则原子中电子绕核旋转的磁矩为 电流产生磁矩示意图 旋磁比 则电子绕核运动的磁矩为 2 电子轨道运动的磁矩 负号电子轨道运动的磁矩与轨道角动量反向 7 B z 此力矩将引起角动量的变化 即 磁矩在均匀外磁场中受到一个力矩作用 电子轨道如何变化 3 拉莫尔进动 8 的意义 分析矢量 的进动 图 b 取自与B垂直的 进动平面上的一小块扇面 与B的垂直距离即为扇面半径 显然 于是 由此知即为角速度 B z a b 在均匀外磁场中高速旋转的磁矩不向B靠拢 而是以一定的进动角速度 绕B作进动 B的方向与 一致 如 a 示 9 拉莫尔进动 10 二 轨道磁矩量子化条件 由量子力学结果 轨道角量子数 轨道磁量子数 物理意义 11 磁量子数 L的大小 Z Z 例 12 13 玻尔 bohr 磁子 其中 磁量子数 的空间量子化 来源于角动量L的空间量子化 共有个取值 磁矩大小量子化 磁矩的空间取向量子化 14 电偶极矩在均匀电场中的势能为 电偶极矩 磁偶极矩在均匀磁场中的势能为 B 补充 15 玻尔 bohr 磁子 上式说明磁相互作用至少比电相互作用小两个数量级 bohr磁子是轨道磁矩的最小单元 是原子物理学中的一个重要常数 改写一下 原子的磁偶极矩的量度 原子电偶极矩的量度 精细结构常数 第一玻尔半径 磁相互作用与电相互作用相比 三 史特恩 盖拉赫实验 目的 证明原子在外磁场中具有空间量子化特征 N S 银原子 为使氢原子束在磁场区受力 则要求磁场在 的线度范围内是非均匀磁场 实验的困难所在 非均匀磁场 17 18 沿x方向进入磁场的原子束只在Z方向上受力 原子束在磁场区内的运动方程为 原子经磁场区后与x轴的偏角 Z方向偏移距离Z2的计算 19 Z2的计算 能量按自由度均分定理 平衡态下 每个平动自由度都均分kT 2的平均动能 原子束落至屏上P点时偏离x轴的距离 20 如何判断磁矩的空间量子化 而空间取向不是量子化的 即 即Z2不是量子化的 是连续的 而实验测得Z2是分立的 反过来证明 是量子化的 其空间取向也是量子化的 此实验是空间量子化最直接的证明 21 问题 按照 一般实验室条件下 原子都处于基态 即理论上只会出现一条分立线 而实验上出现了两条分立线 矛盾 说明理论还不完备 22 4 3电子自旋假设 实验背景 史特恩 盖拉赫实验出现的偶数分裂意味着 2l 1 为偶数 只有角动量量子数为半整数 而轨道量子数l却只能为整数 1925年 时年不到25岁的荷兰学生乌仑贝克与古兹米特根据上述实验事实 大胆提出了电子不仅具有轨道运动 还有自旋运动 23 一 电子自旋假设 自旋角动量S 轨道角动量L 1 电子不是点电荷 除轨道角动量外还有自旋运动 具有固有的自旋角动量 内禀角动量 S 类比 施特恩 格拉赫实验 24 25 2 电子的自旋磁矩 内禀磁矩 电子轨道运动的磁矩 若类比 与实验不符 B z 电子的自旋不能理解为像陀螺一样绕自身轴旋转 它是电子内部的属性 与运动状态无关 在经典物理中找不到对应物 是一个崭新的概念 电子自旋假设受到各种实验的支持 是对电子认识的一个重大发展 狄拉克于1928年找到一种与狭义相对论相融洽的理论 可由狄拉克相对量子力学严格导出电子自旋的自然结果 自旋 概念是量子力学中的新概念 与经典力学不相容 一经提出便遭到泡利等一批物理学家的反对 但后来的事实证明 自旋的概念是微观物理学最重要的概念之一 如果视电子为带电小球 半径为10 16m 它绕自身的轴线旋转 则当其角动量为时 表面处的切向线速度大大超过光速 27 自然界基本粒子按照自旋的不同可以分为玻色子和费米子 自旋为整数的是玻色子 比如胶子 光子自旋为1 引力子2等等 自旋为半整数倍的为费米子 比如中子 质子 电子 中微子 夸克等自旋为1 2 28 二 朗德 Lande 因子 g因子 并不普遍适用 表明在原子体系中 解决办法 定义一个g因子 使得对于任意角动量量子数j所对应的磁矩及其在Z方向的投影均可表为 朗德因子g是反映微观粒子内部运动的一个重要物理量 至今仍是一个假设 gj可以表示为 此关系式的推导在后面 29 引入g后 电子的轨道磁矩 自旋磁矩和总磁矩以及在z方向的分量分别表示为 当只考虑轨道角动量时 当只考虑自旋角动量时 30 三 单电子的g因子表达式的推导 考虑到 总磁矩的方向 合角动量 总磁矩 总磁矩并不在总角动量j的延线方向 1 总磁矩的方向 是否在j的反向 31 角动量的运动 2 总磁矩的运动 2 电子自旋运动会产生磁场 轨道角动量l会绕磁场旋进 电子轨道运动会产生磁场 自旋角动量s会绕磁场旋进 且磁场方向随时变化 角动量l与s如何运动 分析 1 电子与核之间的库仑力 电子轨道和自旋之间的相互作用力都为内力 其内力矩为0 因此角动量守恒 即在l和s旋进过程中 两者的夹角始终不变 结论 总结 角动量l和s会旋进 且要满足角动量守恒 即l和s旋进时 总角动量j的大小和方向始终不变 32 单电子磁矩的运动 总磁矩的运动 33 3 单电子的g因子的推导 单电子磁矩与角动量的关系 34 即 只在外磁场不足以破坏s l耦合时才成立 35 在导出上式时隐含着的两个假定 1 外磁场的强度不足以破坏s l耦 因为当外磁场很强以致s l不能耦合为j时 s l将分别绕外磁场进动 上式不成立 2 对多电子原子 当为L S耦合时 g因子仍具有与以上相同的形式 对的进一步讨论 36 4 角动量的合成 LS耦合 单电子的自旋和轨道运动相互耦合的总角动量 量子力学可证明 j可能的取值是 角动量的的大小 角动量的z分量 37 未考虑自旋之前量子态的表示 考虑LS耦合相互作用之后态的表示 38 39 由于mJ J J 1 J共有 2J 1 个值 故有 2J 1 个分裂的z2值 即在感光板上有 2J 1 个黑条 表明有 2J 1 个空间取向 由此得出一种通过实验确定g因子的重要方法 四 对史特恩 盖拉赫实验的解释 将电子的轨道运动和自旋运动一起考虑 即原子的总磁矩由轨道磁矩和自旋磁矩合成 则能解释史特恩 盖拉赫实验中原子在非均匀磁场中的偶分裂现象 观测屏上谱线条数的多少由z2的取值个数决定 1 定性分析 单电子 Jj 对于氢 单电子 因氢原子处于基态 进而可得出gj 2 故有 考虑到具体实验参数 此计算结果表明处于基态的氢原子束在不均匀磁场作用下分裂为两层 各距中线1 12cm 与实验甚符 2 单电子体系中原子的史特恩 盖拉赫实验结果的解释 41 史特恩 盖拉赫实验结果证明 1 原子磁矩在外磁场中的空间取向呈量子化 2 电子自旋假设是正确的 氢原子在磁场中只有两个取向即s 1 23 电子自旋磁矩的数值为 42 分裂条数为2J 1条 43 4 4碱金属双线 碱金属原子的光谱 系限的波数末态 动项初态 一 简单回顾 44 主线系 第一辅线系漫线系 第二辅线系锐线系 柏格曼系基线系 45 二 碱金属谱线的双线结构 特征 1 主线系的双线间距随波数的增加而减少 2 锐线系的双线间距不随波数的增加变化 波数增加 波长减小 主线系 nP2S态的跃迁 锐线系 nS2P态的跃迁 S态和P态 到底哪个态分裂 46 定性分析 若末态分裂 双线间距不会变化 若初态分裂 双线间距可能会变化 主线系 nP2S态的跃迁 锐线系 nS2P态的跃迁 双线间距随波数的增加而减少 双线间距随不随波数变化 可以判定 P态分裂成两条 S态不分裂 47 锂的第二辅线系 锐线系 锐线系的双线间距不随波数的增加变化 锂的主线系 主线系的双线间距随波数的增加而减小 48 角动量的观点解释 S态不分裂 P态分裂成两条 碱金属双线的存在 是提出电子自旋假设的根据之一 49 三 自旋 轨道相互作用 定量分析 原子核的旋转运动在电子处产生的磁场B 电子的自旋磁矩 引起的 附加能量 称为自旋 轨道耦合能 即电子内禀磁矩在磁场作用下具有的势能 从核为静止的坐标系中观察 从电子为静止的坐标系中观察 1 概念定性理解 50 2 具体计算 从电子为静止的坐标系中观察 毕 萨定律 电子自旋磁矩 电子的静能 电子的角动量 电子静止坐标系中的附加能量 51 相对于核静止的坐标系的附加能量 1926年托马斯通过相对论坐标变换得到 由于相对论效应 以上的两个坐标系不等效 考虑到 自旋 轨道耦合能 从核为静止的坐标系中观察 52 3 精细结构裂距 因要与实验值相比较 则需得出相关的平均值 由 由于 与类氢原子半径相关的也必须求其平均值 任务 通过精确计算考察精细结构的裂距 53 自旋 轨道耦合能 54 单电子的自旋 轨道耦合能和差值 U也可写成以下形式 55 例 氢原子2P的分裂 可得 or 这些结果都与实验事实相符 56 讨论 57 d 单电子辐射跃迁的选择定则 可用量子力学导出 58 精细结构能量量级是是粗结构的倍 这也是将 称为精细结构常数的原因 能量数量级 能谱的精细结构 此外 Z越大 裂距越大 所以碱金属原子谱线的精细结构比氢原子容易观察到 能谱的粗结构 谱线产生原因 电子与核之间的库仑力 电子自旋与轨道之间的作用力 59 四 碱金属的精细结构 1 原子态 60 2 碱金属光谱的精细结构 主线系 锐线系 第二辅线系 漫线系 第一辅线系 基线系 柏格曼系 选择定则 双线结构 三线结构 2P1 2 2P3 2 2S1 2 2P1 2 2P3 2 2S1 2 双线结构 三线结构 2P1 2 2P3 2 2D3 2 2D5 2 2D3 2 2D5 2 2F5 2 2F7 2 61 锂原子光谱的精细结构 62 锂原子各线系的波数表示 63 64 1 能量的主要部分 是有效电荷数 对氢 1 氢原子能级 量子力学的结果 1926年海森堡得到 2 相对论修正对能量的影响 五 氢原子光谱的精细结构 65 3 电子自旋与轨道的相互作用能 66 4 氢原子精细能级的总能量 67 2 当l 0时 每一个l联系着两个j 且具有相同n值及相同j值 而具有不同l值的能级是简并的 比如P态分裂成P1 2和P3 2 D态分裂成D3 2和D5 2 且3P3 2与3D3 2的能量相同 能级简并这一点与碱金属原子的情况不同 2 氢原子能级分析 总能量 1 当l 0时 只有一个j值 故能级只是向下移动而不发生分裂 即S态不分裂 并且随n的增大 这种移动迅速减小 68 3 氢原子光谱的精细结构谱线 1 赖曼系 赖曼系是激发能级跃迁到n 1能级产生的 n 1只有一个单层的S能级 按照选择定则 只有P能级可以跃迁到这个单层的S能级 所以 赖曼系谱线都是双线结构 双线的间隔随着n的增加而减小 最后消失 69 2 巴耳末系 巴耳末系是较高能级跃迁到n 2能级产生的 巴耳末系的第一条 n 3 n 2 70 4 兰姆移位 氢原子巴耳末系第一条谱线的五个成分的间隔很小 只能分解为两条 但实验测得的间隔比理论值小了约0 010 cm 这就是兰姆移位 71 兰姆移位 72 一 塞曼效应简单介绍 1896年开始 荷兰物理学家塞曼 P Zeeman 逐步发现 当光源放在足够强的磁场中时 所发射的每一条光谱线都分裂成几条 条数随能级的类别而不同 分裂后的谱线成分是偏振的 人们称这种现象为塞曼效应 1 塞曼效应 原子光谱在外磁场中进一步发生分裂的现象 4 5塞曼效应 73 正常三重线 镉的正常塞曼效应 镉的6438埃红色谱线的塞曼效应 不加磁场 加磁场 74 钠的5896埃和5890埃黄色谱线的塞曼效应 加磁场 反常花样 钠的反常塞曼效应 无磁场 75 横波与纵波的区别 波穿过狭缝 横波与偏振现象 76 形象说明偏振片的原理 通光方向 腰横别扁担进不了城门 77 1 线偏振光 线偏振光的图示 也叫面偏振光偏振光完全偏振光 光源的偏振状态 在纸面内振动 垂直纸面的振动 78 2 自然光普通光源发光 在垂直传播方向的平面内各个方向的光振动全有各个振动方向的强度相等 79 3 圆偏振光 椭圆偏振光 二 正常塞曼效应 磁矩为 主要是电子的贡献 的体系在外磁场B 方向沿z轴 中的势能 在z方向的投影 注意 为简便起见 所有量均略去足标J 考虑一个原子在E2 E1间的跃迁 无外磁场时 有外磁场时 要了解光谱线在磁场中的分裂 必须了解原子与磁场的相互作用 解释 能级将分裂为2J2 1个能级 能级将分裂为2J1 1个能级 注意 为简便起见 所有量均略去足标J 当体系的自旋为0时 依选择规则 有外磁场时 82 例 满足选择定则 当体系的自旋为0时 能级分裂 跃迁频率 分裂为三条 不分裂 83 能级分裂 l 0 l 1 无磁场 v0 有磁场 v0 v0 v v0 v ml 10 1 0 E 0 0 能级简并 正常塞曼效应 84 洛伦兹单位的物理意义 在没有自旋的情况下 一个经典的原子体系的拉莫尔频率 推导要点 拉莫尔进动 上式表明 外加1T的磁场而引起的分裂是14GHz 正常塞曼效应下 三条谱线间的频率间隔 角速度 洛伦兹单位 85 即正常塞曼效应的频率 一般情况的塞曼效应的频率 86 三 格罗春图表示正常塞曼效应 镉6438埃红线在磁场中的分裂情况就是正常塞曼效应 得 得 87 借助格罗春图计算频率的改变 M2210 1 2 M2g2210 1 2 M1g110 1 M2g2 M1g1 000 1 1 1 111 88 有磁场 Cd6438 的正常塞曼效应跃迁图 极化 89 塞曼效应的应用之一 导出电子的荷质比 由正常塞曼效应的谱线分裂 可进一步计算电子的荷质比e me 且算得的荷质比与其它实验所得的结果完全一致 波长已知的谱线在外磁场B作用下产生正常塞曼效应 测出分裂谱线的波长差 由于分裂的能量间隔相等 故 由上式导出的荷质比与1897年汤姆孙实验所测数值相符 这也证明在分析塞曼效应时所作的那些假设是成立的 90 定义 沿着z轴逆光观察 电矢量作顺 逆 时针转动 称为右 左 旋偏振 贝思于1936年观察到圆偏振光具有角动量 光的角动量方向和电矢量旋转方向构成右螺旋关系 P 光的传播方向L 光的角动量方向 偏振与角动量方向的定义 P L 右旋偏振 P 左旋偏振 L 四 塞曼效应的偏振特性 方向 大小 光子具有固定的角动量大小 91 谱线的偏振情况可以用原子发光时遵从角动量守恒定律来说明 原子发光时的规律 原子与光子组成的系统角动量守恒 即发光前原子系统的角动量等于发光后原子系统的角动量与所发光子的角动量的矢量和 92 1 对于 m m2 m1 1跃迁 原子在磁场方向 z方向 的角动量减少了 原子和发出的光子作为一个整体 角动量必须守恒 因此所发光子在磁场 z 方向具有 的角动量 逆着磁场方向观察该光的电矢量逆时旋转 所以它是左旋圆偏振光 垂直磁场方向 如x方向 观察 只能看到Ey分量 即 B的线偏振 线 93 2 对于 m m2 m1 1 原子在磁场方向 z方向 的角动量增加了 原子和发出的光子作为一个整体 角动量必须守恒 因此所发光子在磁场 z 相反方向具有 的角动量 逆着磁场方向观察该光的电矢量顺时旋转 所以它是右旋圆偏振光 垂直磁场方向 如x方向 观察 只能看到Ey分量 即 B的线偏振 线 94 原子在磁场 z 方向的角动量不变 但光子具有角动量 由于角动量要保持守恒 所以光子的角动量一定垂直于磁场 光的电矢量必定在yz平面 假定角动量沿x轴 可以有Ey和Ez分量 但角动量在xy平面上的所有光子都满足 m 0的条件 因此平均效果使得Ey 0 3 m 0 在垂直磁场方向 只能看到Ez分量 即 B的线偏振 线 在磁场方向 观察不到Ey分量 而由于横波特性 也不会有Ez分量 所以在磁场方向看不到 线 95 正常塞曼效应的实验规律 当沿磁场方向观察时 中间的 成分看不到 只能看到两条 线 并且它们都是圆偏振的 单线系的每一条谱线 在垂直磁场方向观察时 每一条谱线分裂为三条 彼此间隔相等 中间一条 线频率不变 左右两条 频率的改变为 一个洛仑兹单位 它们都是线偏振的 线的电矢量振动方向平行于磁场 线的电矢量振动方向垂直于磁场 六 反常塞曼效应 1897年12月 普勒斯顿 T Preston 发现 当磁场较弱时 塞曼分裂的数目可以不是三个 间隔也不尽相同 这称为反常 复杂 塞曼效应 98 反常塞曼效应是乌仑贝克 古兹米特提出电子自旋假设的根据之一 利用电子自旋假设有效地解释了反常塞曼效应 同时也证明了电子自旋假设的正确性 史特恩 盖拉赫实验和反常塞曼效应 都需要用一种全新的物理图象作出解释 而正是这两个实验导致了 电子自旋 假定的提出 在量子力学和电子自旋概念建立之前 反常塞曼效应一直不能解释 约30年 被列为 原子物理中悬而未决的问题 之一 99 七 格罗春图表示反常塞曼效应 Na5890埃和5896埃谱线的塞曼效应 这两条线对应的跃迁是 和 分别计算三个能级的朗德g因子 100 101 在外磁场中 2P3 2分裂为四个塞曼能级 间距为4 3 BB 2P1 2分裂为二个塞曼能级 间距为2 3 BB 2S1 2分裂为二个塞曼能级 间距为2 BB 102 2P3 2 2S1 2 M23 21 2 1 2 3 2 M2g26 32 3 2 3 6 3 M1g11 1 1 31 3 5 3 3 3 3 35 3 借助格罗春图计算频率的改变 M11 2 1 2 M2g2 M1g1 103 2P1 2 2S1 2 M21 2 1 2 M2g21 3 1 3 M1g11 1 M2g2 M1g1 2 32 3 4 3 4 3 M11 2 1 2 104 2P3 2 2P1 2 2S1 2 无磁场 有磁场 3 2 6 3 105 1 帕邢 巴克效应上述塞曼效应是在弱磁场中 即磁场不破坏L S耦合的情况 观察到的 若外磁场增加到很强时 破坏了L S耦合 则一切反常塞曼效应将趋于正常塞曼效应 这种现象称为帕邢 巴克效应 八 帕邢 巴克效应 106 磁场很强破坏了L S耦合 此时和互不相干地各自