隧道的衬砌计算.ppt

8隧洞的衬砌计算一 荷载及荷载组合二 圆形有压隧洞的衬砌计算三 无压隧洞的衬砌计算四 渐变段衬砌计算简介五 衬砌的边值问题及数值解法 前言 目的 核算在设计规定的荷载组合条件下衬砌的强度 使之满足规范要求 计算方法 一类 1 将围岩与衬砌分开 按文克尔假定考虑围岩的弹性抗力 衬砌上承受各项有关荷载 然后按超静定结构解算衬砌内力 缺点 与实际情况不太吻合 2 采用衬砌常微分方程边值问题数值解法 二类 有限元法将围岩与衬砌视为整体 其准确性取决于计算模型和原始参数E C等 岩体性态复杂多变 上两者难以准确确定 一 荷载及荷载组合 作用在水工隧洞衬砌上的荷载有 山岩压力 内水压力 外水压力 衬砌自重及灌浆压力 温度荷载 地震力等 其中内水压力 自重比较明确 而其余的力只能在一些简化和假定的前提下进行近似计算 一 荷载及荷载组合 一 围岩压力 山岩压力 隧洞开挖后围岩变形或塌落作用在支护上的压力 影响山岩压力大小的因素 围岩的地质条件和力学特征 强度和变形性能节理 裂隙的分布和发育情况 初始应力 地下水 隧洞的走向 埋深和几何形状 开挖方法 衬护时间 衬护形式 影响因素很多且错综复杂 难精确计算 一 荷载及荷载组合 目前 确定围岩压力的方法 松散介质理论 塌落拱法 此方法视岩体为具有一定的凝聚力的松散介质 在洞室开挖后 由于岩体失去平衡形成 塔落拱 拱处的围岩仍保持平衡 拱内岩块重量就是作用再衬砌上的荷载 山岩压力 普氏用 坚固系数 亦称拟摩擦系数 代替岩石颗粒间的真实摩擦系数 式中 岩石抗剪强度 岩石内摩擦角 正应力 c 粘结力 一 荷载及荷载组合 实际工程中 一 荷载及荷载组合 普氏推导出坍落拱的形状为抛物线 坍落拱高度h按下式计算 两侧无滑动面时 两侧有滑动面时 一 荷载及荷载组合 没有侧向山岩压力作用岩体中的隧洞A 隧洞顶是平的 洞顶受到山岩压力的压强量q B 曲线形洞顶 认为铅直山岩压力可以减少30 一 荷载及荷载组合 侧向山岩压力计算e1 e2为水平山岩压力强度 A 在洞顶面处 B 在洞底面处 一 荷载及荷载组合 为简化计算 在设计中多采用e1 e2的平均值 即e e1 e2 2作为均匀侧向水平山岩压力 对于中等坚硬以上的岩石 即 可以不考虑水平山岩压力 普氏理论提出仅与岩石的强度有关 而并未考虑到山岩压力有关的其它因素 因而理论上比较粗糙 实践也证明是很不准确的 一 荷载及荷载组合 围岩压力系数法 1966年 水工隧洞设计暂行规范 建议的方法 用 山岩压力系数法确定山岩压力 铅直向强度 水平向强度 一 荷载及荷载组合 系数随围岩情况不同而异 应用时查表 山岩压力系数并不是实测成果 而是结合已建成的工程 对普氏理论中坚固系数分析整理得出的经验数据 粗略地反映了节理 裂隙或风化程度的影响 但并未克服普氏法的根本弱点 我国1983年 水工隧洞设计规范 根据全面分析 综合考虑的原则 采用从工程实际出发用经验估计的方法 即提出首先坝功臣所在的围岩进行分类 然后按围岩的类别采用经验公式计算围岩压力 一 荷载及荷载组合 弹塑性理论法此法是在理论化的基础上 简单的地质条件推导出来的 难以反映实际情况 岩体的工程地质 水文地质条件错综复杂 山岩压力显然不能用一个简单的公式予以概括 一 荷载及荷载组合 二 围岩的弹性抗力当衬砌承受荷载向围岩方向变形时 将受到围岩的抵抗 这个抵抗力叫弹性抗力 弹性抗力的大小和性质与工程地质条件有密切的关系 坚固完整的岩石 弹性抗力大 围岩软弱破碎 弹性抗力小 甚至不能利用 为了减少山岩压力 有效地利用弹性抗力 常对围岩进行灌浆加固 并填实衬砌与围岩间的空隙 以保证衬砌与围岩紧密相接 弹性抗力的计算 通常假定岩石为理想弹性体 按文克尔假定 认为岩石 一 荷载及荷载组合 的弹性抗力P与衬砌的变位Y成正比 即 P KY 式中K 弹力抗力系数 K表示能够阻止面积为1cm2的衬砌变位1cm所需的力 如果P的单位式KN cm3 则K的单位KN cm2 附 对于有衬砌的圆形有压隧洞 可以看作式位于理想弹性体围岩中一个厚壁圆筒 根据弹性理论可得 一 荷载及荷载组合 经验和分析说明 在同样得围岩中 洞径大 K值小 洞径小 K值大 而且大致成反比 为了计算方便 人们采用半径为1m的圆形坑道的K值 作为标准 用Ko表示 亦称单位弹性抗力系数 当用m为单位时 以cm为单位时 表示实际开挖半径 说明 是坑道的半径 而不是衬砌里壁的半径 是半径 不是直径 对不是圆形的坑道 B 坑道水平向最大净宽度 一 荷载及荷载组合 K0值可以 查表 类比 按上式计算求得 最好的办法是现场实测 影响弹力抗力系数的因素很多 而且整个隧洞不一定用同一个K0值 在隧洞的衬砌计算中 考虑了弹性抗力 可抵消一部分作用于衬砌上的荷载 因而降低计算出来断面中的拉应力 设计结果 衬砌厚度可以减小 节约建材 在什么情况下可考虑弹性抗力 有压隧洞 围岩厚度大于隧洞开挖直径的3倍 洞周没有不利的滑动面 在内水压力作用下不致产生滑动和抬动 衬砌和围岩的空隙 必须回填结实 一 荷载及荷载组合 围岩厚度大于内水压力水头的0 4倍 无压隧洞 弹性抗力只存在于衬砌变位向着围岩的部分 而不产生于背着围岩部分 因此 它在外周的分布形成 随着衬砌的不同而不同 一 荷载及荷载组合 三 内水压力及外水压力 内水压力 1 无压隧洞 只要算出洞内的水面曲线 即可确定内水压力 2 有压隧洞 内水压力式有压隧洞中的重要荷载 常对衬砌的计算起控制作用 为了使计算简单 将有压隧洞中的内水压力分解为两部分 均匀内水压力 非均匀无水头满水压力 均匀内水压力的强度是 洞顶内壁到设计水位先之间水头引起的 无水头满水头压力是指洞内刚刚充满水的情况 洞顶压力为0 洞底压力为 一 荷载及荷载组合 有压引水发电隧洞 内水压力 全水头 水击引起的压力增值 一 荷载及荷载组合 外水压力 地下水压力 外水压力是地下水头引起的 规范规定 外水压力是作用在衬砌外表的边界力 外水压力对无压隧洞经常引起控制作用 对有压隧洞径则对内水压力有抵消的作用 地下渗流的情况十分复杂 影响因素也多 准确值无法确定 常用的方法 1 规范 将地下水面以上的水柱高乘以折减系数 作为外水压力值 值视地质 水文地质及防渗 排水等情况而言 本方法简单方便 在工程上一直广泛应用 虽然近似粗略 一 荷载及荷载组合 2 围岩于衬砌组成一个紧密结合的整体 两者又都是不同程度的透水材料 因此内外水是连通的 不能截然的分为内 外水压力 即不应将外水压力视为一种边界力 而应视为在一定边界条件下 隧洞在地下水位以下的空间渗透力 通过渗流场计算 可以求得作用在衬砌外表面得水压力 如果视钢板衬砌 外水压力才是边界力 一 荷载及荷载组合 四 衬砌自重衬砌自重是指沿隧洞轴线1m长的衬砌的自重 均匀作用于衬砌厚度的平均线上 计算的厚度应考虑平均超挖回填部分 其平均厚度可取0 1 0 3m 单位面积上的自重强度g为 式中 衬砌材料的容重 KN m3 包括超挖在内的衬砌厚度 一 荷载及荷载组合 五 灌浆压力 回填灌浆产生原因 衬砌在施工时 其顶部与围岩之间难于填满而留有空隙 需要进行回填灌浆 荷载性质 主要是存在于施工完建时期的荷载 完建以后 即逐渐减少 因水流的凝固 灌浆压力即逐渐消失 属施工情况的临时荷载 分布规律 与地质条件 施工方法关系很大 通常认为 分布载顶部中心角900 1200以内 沿衬砌背部均匀分布 并与背部正交 径向分布 施工灌浆压力值 一般为2 3kg cm2 固结灌浆均匀分布于整个隧洞断面周围 一 荷载及荷载组合 六 温度压力产生的原因 衬砌之外的围岩阻碍衬砌自由胀缩 所以在衬砌内部产生温度应力 施工期 混凝土的水化热和干缩 运用期 水温的变化 气温的变化对洞的影响小 升温时产生压应力 降温时产生拉应力 混凝土耐压不耐拉 故温降为控制情况 隧洞衬砌混凝土能承受的降温度只有7 10 超过则产生裂缝 减小温度应力的工程设施 施工期 选择适宜的水泥 低热 控制水灰比 加强养护 缩短浇筑的长度 洞线轴向 配置适量的温度钢筋 如何考虑 如何计算 非寒冷地区 影响较小 一般不考虑 一 荷载及荷载组合 寒冷地区 有压圆形隧洞 根据弹性理论折算为等效内水压力 例 有压圆形隧洞 内直径4米 花岗岩 2 5T m3 衬砌厚0 40米 岩石原始温度T 12 冬季平均最低温度0 2 混凝土浇筑温度T1 12 混凝土在水中的膨胀值相当于T 5 求衬砌温度应力相当于多少内水压力 T使坑道半径减小P 衬砌温度应力 相当于内水压力16m水头 无压隧洞 在确定温差后 用结构力学的方法计算内力 一 荷载及荷载组合 七 地震力地震力对埋置在地下建筑物的影响远小于对地面建筑物的影响 埋置较深的比埋置较浅的要小 隧洞埋在地下深处 与围岩紧密结合的衬砌 地震对其影响很小 洞身设计时一般不予考虑 但当隧洞通过设计烈度高于8度 特别是地基较弱 围岩破碎和节理发育地区 则应进行抗震计算 对隧洞进出口建筑物 应按规定进行抗震设计 八 荷载组合基本荷载 山岩压力 衬砌自重 正常水位或宣泄设计洪水时的内水压力和外水压力 一 荷载及荷载组合 特殊荷载 校核水位时内 外水压力 灌浆压力 温度荷载 地震力 施工荷载等 衬砌计算时常采用下列荷载组合 基本组合 1 正常运行情况 山岩压力 衬砌自重 宣泄设计洪水时内水压力 外水压力 不同地段岩计弹性抗力北方考虑温度荷载石情况不同不考虑弹性抗力非寒冷地区不考虑温度荷载特殊组合 2 施工 检修情况 山岩压力 衬砌自重 可能出现的最大外水压力 3 非常运用情况 山岩压力 衬砌自重 宣泄校核洪水时的内水压力 外水压力 正常运用情况 用以设计衬砌的尺寸和进行配筋 其它情况用来校核 二圆形有压隧洞的衬砌计算 有压隧洞多圆形断面 在大多数情况下 它的主要荷载是内水压力 此外尚考虑山岩压力 衬砌自重 外水压力等 由于内水压力比较大 更应充分利用围岩的承载能力 为充分利用围岩弹性抗力 应尽量使衬砌与围岩紧密贴结 计算步骤 指各种荷载单独作用下 求出衬砌中的弯矩和轴力 然后根据荷载组合进行迭加 本书介绍的方法 弹性特征因素法 根据弹力厚壁管公式 推导出来设计混凝土和钢筋混凝土 有压圆形衬砌的方法 本方法适用 埋深度大于三倍洞径 岩体坚固系数 6 仅均匀内水压力作用 内水压力在20m以下 用素混凝土 超过20m 宜用钢筋混凝土 二圆形有压隧洞的衬砌计算 计算方法的基本原理 将衬砌视为无限弹性介质中的厚壁圆管 根据衬砌和围岩接触面的径向变位相容的条件 求出以内水压力P所表示的弹性抗力Po 再利用轴对称受力圆管的弹性力学厚壁管公式计算衬砌的内力 一 均匀内水压力作用下的内力计算 二圆形有压隧洞的衬砌计算 如图所示 在内水压力P的作用和弹性抗力Po作用下 按图衬砌在均匀水压力弹性理论平面变形情况 求得厚壁管管壁任意半径r处的径向变位u为 取 得衬砌外缘的径向变位为 式中E 衬砌材料的弹性模量 衬砌材料的泊松比 衬砌外半径之比 一 均匀内水压力作用下的内力计算 二圆形有压隧洞的衬砌计算 当开挖的洞壁作用有po时 按文克尔假定 洞壁的径向变位 此处 K为岩石的弹性抗力系数 Ko为单位弹性抗力系数 根据变形相容条件 整理后可得围岩的弹性抗力为 A为弹性特征因素 式中的E Ko分别以kPa和kg cm2计 若以和为单位 则需要将式中的E改为0 01E 一 均匀内水压力作用下的内力计算 8 18 8 19 二圆形有压隧洞的衬砌计算 按弹性理论的解答 厚壁管在均匀内水压力p和弹性抗力po作用下 管壁厚度内任意半径r处的切向正应力 t为 将式 8 18 代入式 8 20 分别令 即可得到单层衬砌在均匀内水压力p作用下边缘切向拉应力 i和外边缘切向拉应力 e为 8 20 8 22 8 21 二圆形有压隧洞的衬砌计算 因为 显然 这表明衬砌内壁的切向应力恒大于外壁的切向应力 当不考虑弹性抗力时 即Ko 0 则A 1 如果1 围岩厚度大于3倍开挖洞径衬砌计算只考2 洞径D 6时虑内水压力 混凝土衬砌求混凝土的衬砌厚度h 在8 21式中 令为混凝土允许轴心抗拉强度 抗拉极限强度 抗拉安全系数 二圆形有压隧洞的衬砌计算 解出t得 8 23 8 23 式存在缺点 当 hl 与P的数值逐渐接近时 h逐渐扩大到不合理程度 二圆形有压隧洞的衬砌计算 为了不使混凝土衬砌过厚 对坚固岩体内的混凝土衬砌 一般限制水头不大于20m 超过时 宜用钢筋混凝土 混凝土应力校核 除内水压力外 还有其它的荷载作用 计算各种荷载单独作用时产生的轴向力和弯矩 再按下式校核混凝土衬砌的切向拉应力 式中 W 抗力矩 F 断面积 即F bh 二圆形有压隧洞的衬砌计算 如需求出在均匀水压力作用下的断面内力 可先算 i e 然后近似按直线分布 求出轴向拉力N和弯矩 二圆形有压隧洞的衬砌计算 钢筋砼衬砌用 gh 代替 hl即得 8 25 钢筋混凝土的允许轴心抗拉强度如果 8 25 式中 求出h为负值 或小于结构的最小厚度时 则应采用结构的最小厚度 钢筋采用最小配筋率 对称配置 二圆形有压隧洞的衬砌计算 考虑弹性抗力作用下的内力计算 1 基本假定和计算方法 如果围岩较好 在围岩压力 衬砌自重 无水头洞内满水压力作用下 应考虑弹性抗力的存在 根据研究 约在顶拱中心角90o范围以下部分 衬砌变形指向围岩 作用有弹性抗力 如图8 29 其分布规律为 其中 分别为处衬砌受到的弹性抗力 二圆形有压隧洞的衬砌计算 现以铅直围岩压力为例 说明内力的计算方法和步骤 8 29 d 自洞顶切开 引刚臂至圆心 亦即弹性中心 由于荷载及结构左右对称 故切力X3 0 取一半计算 力法方程为 8 27 8 28 和都包含有特定的 解之得 二圆形有压隧洞的衬砌计算 根据向下的总荷载与向上的弹性抗力合力相平衡 Y 0 及在X1 X2和外力作用下 2处的变位应为 a的两个补充条件 可以解得 a和 b 将 a和 b代入公式 8 28 即可求出X1 X2 从而可解出各断面的弯矩和轴向力 计算中忽略了轴向力对压缩变形的影响以及衬砌与围岩间的摩擦力 弯矩M以内缘手拉力为正 轴向力N以受压为正 2 各种荷载作用下的内力计算 按上述方法 可求得圆形隧洞衬砌在各种荷载作用下考虑弹性抗力时的内力计算公式 二圆形有压隧洞的衬砌计算 关于在各种荷载作用下 圆形衬砌各断面的弯矩和轴力有现成的解答 弯矩以衬砌内缘受拉为正 轴力以受压为正 铅直山岩压力作用下的内力计算 计算简图见前页 式中符号见书系数A B C D F及G查表 8 29 二圆形有压隧洞的衬砌计算 衬砌自重作用下的内力计算 g 1m衬砌的重量 衬砌厚度为h时 则 混凝土的容重 系数见表 无水头洞内满水压力作用下的内力计算 二圆形有压隧洞的衬砌计算 外水压力作用下的内力计算 不考虑内水压力时 当时 衬砌所受的浮力 铅直山岩压力 衬砌重量 r 衬砌中心半径 均匀外水压力水头 即计算水位在拱顶以上的高度 二圆形有压隧洞的衬砌计算 可以看到 在外水压力的计算公式与无水头满水压力的差别 A以外半径代替内半径 B符号相反 原因是由于内水压力作用在衬砌内表面作用方向相反 外水压力作用在衬砌外表面所以符号相反 当时 应按不考虑弹性抗力的公式计算内力 表8 9中第五项条件下的公式 二圆形有压隧洞的衬砌计算 当荷载组合中包括内水压力A当荷载组合中包括内水压力 浮力通常小于自重 计算外水压力作用下不受条件的限制 实际这个条件已不存在 满洞内水重量 衬砌自重 浮力 此处尚未计入山岩压力 迭加后衬砌变形指向围岩 弹性抗力为止 因此都要计算弹性抗力 二圆形有压隧洞的衬砌计算 B当均匀内水压力P和均匀外水压力组合时如作为均匀水压力 不再计算均匀外水压力产生的内力 如作为均匀外水压力 计算内力 不再计算均匀内水压力所产生的内力 二圆形有压隧洞的衬砌计算 不考虑弹性抗力作用下的内力计算 对外水压力很大时 或岩石软弱 不考虑弹性抗力 当岩石坚固系数的时 不仅考虑弹性抗力 而且尚需计入侧向山岩压力的影响 二圆形有压隧洞的衬砌计算 此时不计入弹性抗力但计地基反力 与其它荷载相平衡 并认为地基反力以余弦分布 见上图 作用范围 下半部与直径等宽 计算方法 同考虑抗力 只是更简单些 最大反力R由即可求得 考虑弹性抗力时有两项 分布规律也简单些 此考虑弹性抗力时 二圆形有压隧洞的衬砌计算 水工隧洞沿线的地质条件及计算参数常是变化的 内 外水压力同样也随断面位置的不同而不同 要使衬砌设计达到安全和经济的目的 应当根据变化情况将隧洞沿轴线分成若干段落 分段进行设计 一般有压隧洞的内水压力是主要的荷载 当内水压力较大时 断面多属小偏心受拉情况 可布置同一直径的环向受拉钢筋 但如洞径 围岩压力均较大 而内水压力相对较小时 包括无压隧洞 断面内的正负弯矩变化较大 应力分布很不均匀 此时 应按应力分段配筋 将几段不同直径的环向钢筋焊轧起来 目前工程设计中 在设计钢筋混凝土 混凝土衬砌时 有控制抗裂稳定性和允许开裂而限制裂缝开展宽度两种不同的考虑和要求 对于无压隧洞和围岩较厚而渗水不会对附近围岩 岸坡和建筑物产生有害 二圆形有压隧洞的衬砌计算 影响的有压隧洞 可按允许开裂限制裂缝开展宽度设计 否则应按控制混凝土的抗裂稳定性要求设计 按限裂设计 裂缝的最大允许值 根据水力梯度和水质有无侵蚀性 一般限制在0 15 0 30mm 限裂设计可以大量节省混凝土和钢筋用量 而对混凝土的耐久性和钢筋的锈蚀不会产生影响 所以 目前在水工隧洞设计中已广泛应用 对高水头的有压隧洞 当围岩条件较差 单层衬砌需要的厚度过大时 可采用外层为混凝土或钢筋混凝土 内层为钢板的组合式双层衬砌 我国冯家山水库有压泄洪洞出口段 图8 8 g 图8 13 a 及西南地区一些高压引水道斜井均采用这种衬砌 如外层混凝土不开裂 且围岩有一定承载能力时 内水压力将又内层衬砌 外层混凝土和围岩共同承受 设 二圆形有压隧洞的衬砌计算 计中只要能求出内 外层衬砌之间的均布压力计算 如外层混凝土开裂 外层衬砌只起向围岩传力的作用 而内水压力将由内层和围岩来承担 但应考虑混凝土受压后径向压缩的影响 外层衬砌厚度可按施工要求或按施工期荷载用单层衬砌计算确定 因此 双层衬砌计算的主要问题 在于确定在内水压力作用下两层衬砌之间的作用力 其值可根据外层内边缘和内层外边缘径向变位一致的条件来确定 三无压隧洞的衬砌计算 岩石坚硬完整的泄水 引水 导流隧洞 常常只衬砌顶拱 而边墙和底板只做护面 甚至不加衬砌 这样 只有顶拱是承重结构 承受围岩压力 衬砌自重或灌浆压力等 无压隧洞一般多采用城门洞型封闭式整体衬砌 在岩石坚固系数的情况下 也可采用马蹄形 只衬砌顶拱的衬砌计算 一般不考虑弹性抗力 计算同无绞拱 具体解法见天大81年版 下册P158 或汪胡桢 水工隧洞设计理论与计算 三无压隧洞的衬砌计算 假定拱座弹性固结于岩石上 认为拱座垂直于地基面的变位与法向应力P成正比 即 K 为岩层的弹性抗力系数 具体求解计算见书P412 413 三无压隧洞的衬砌计算 为了便于计算 可得衬砌由边墙和底板的结合处分成直墙拱 城门洞型 或曲墙拱 马蹄型 和底板两个部分 在计算中要考虑它们之间的弹性联接作用 并将底板视为弹性地基上的梁 计算直墙拱 曲墙拱 受荷载变形特点 直墙拱 曲墙拱 在顶部山岩压力和自重荷载作用下 根据衬砌的变形观测和理论计算表明 如衬砌和围岩无相对垂直位移 则在顶部部分中心角约90o的范围向下变位 墙基摩擦力大 认为没有水平位移 侧面边墙的变位与结构形式及其刚度有关 利用文克尔假定 衬砌受到的弹性抗力P与该点衬砌的法向变位 成正比即 K P K 岩层弹性抗力系数 三无压隧洞的衬砌计算 在有弹性抗力的部位 应考虑弹性抗力而产生的摩阻力 衬砌与围岩的摩擦系数 方向向上 但摩阻力影响很小 略去不计 弹性抗力分布与假定 分布 最大值与零点 向围岩方向变形的部分有弹性抗力 而脱离围岩没有弹性抗力弹性抗力最大值 城门洞形在边墙顶部b点为马蹄形在水平直径处为弹性抗力零点 I 边墙部位抗力零点直墙边墙上抗力为零的点a的位置 边墙刚度大 a点与墙底A点结合 边墙刚度小 a点愈高 马蹄形 边墙零点与墙底A点重合 不同边墙刚度不同a试算 三无压隧洞的衬砌计算 II 顶拱上抗力零点顶拱为半圆形或接近半圆形 认为零点在倾角处 顶拱为非半圆 认为在0 7倍最大弦长处 分布规律的假定I 顶拱部分 城门洞 马蹄共用 弹性抗力零点约在处 三无压隧洞的衬砌计算 三无压隧洞的衬砌计算 无底板城门洞形衬砌变位及计算图 三无压隧洞的衬砌计算 三无压隧洞的衬砌计算 三无压隧洞的衬砌计算 圆拱直墙断面 水平直径以下 假定为直线分布 到此时为止 弹性抗力的分布及零点已定 但 的数值仍然为未知 马蹄型侧墙假定为抛物线分布 三无压隧洞的衬砌计算 的 以下的结构计算与一般超静定结构基本相同 但墙基的变位应考虑到墙与基岩连结的影响 按结力法 求弹性中心 三无压隧洞的衬砌计算 设拱座 墙底 角变位为 力法方程可写成 角变位水平位移 8 38 三无压隧洞的衬砌计算 三无压隧洞的衬砌计算 令为为墙底承受单位弯矩时 所产生的角变位 则当墙底A的弯矩为时 其角变位为 8 39 式中 在静定系统中包括弹性抗力在内的外荷载对墙底A所引起的弯矩 由于 对墙底A所引起的角变位 将 8 39 代入 8 38 可得 8 40 三无压隧洞的衬砌计算 的 包括 作用下可以表示为 式中 及 均包含有弹性抗力的作用 为了计算弹性抗力 可根据h点的变位条件求出 在全部荷载 分别为荷载 包括弹性抗力 在h点所引起的位移 这些位移可由下列各式求出 在h点处施加的力 力法中求某一点位移的方法 三无压隧洞的衬砌计算 对h点以下任一断面的弯矩 1 y 式中 自h点至墙底A衬砌的轴线长度 求出 后 即可求出弹性抗力 将算得的 及 代入 8 40 式 即可求得 三无压隧洞的衬砌计算 的 边墙与顶拱任意断面的弯矩和轴力可按下式计算 8 20 以下介绍如何求得 单位弯矩作用下的角变位 对底板端点 外荷载 包括弹性抗力 作用下的角变位 对底板端点 计算方法 取单宽底板作为弹性