因式分解(高级篇)十字相乘.ppt

边城高级中学张秀洲 十字相乘法分解因式 知识结构 因式分解常用方法 提公因式法公式法十字相乘法分组分解法拆项添项法配方法待定系数法求根法 一 提公因式法 只需找到多项式中的公因式 然后用原多项式除以公因式 把所得的商与公因式相乘即可 往往与其他方法结合起来用 二 公式法 只需发现多项式的特点 再将符合其形式的公式套进去即可完成因式分解 有时需和别的方法结合或多种公式结合 接下来是一些常用的乘法公式 可以逆用进行因式分解 常用公式1 a b a b a2 b2 平方差公式 2 a b 2 a2 2ab b2 完全平方公式 3 a b c 2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc4 a3 b3 a b a2 ab b2 立方和公式 及a3 b3 a b a2 ab b2 立方差公式 5 a b 3 a3 3a2b 3ab2 b3 完全立方和公式 6 x p x q x2 p q x pq 三 十字相乘法 前面出现了一个公式 x p x q x2 p q x pq我们可以用它进行因式分解 适用于二次三项式 暂且称为p q型因式分解 一 计算 x p x q x p q x pq 下列各式是因式分解吗 观察左右两边你有什么发现 例1 因式分解 或 步骤 竖分二次项与常数项 交叉相乘 积相加 检验确定 横写因式 十字相乘法 借助十字交叉线分解因式的方法 顺口溜 竖分常数交叉验 横写因式不能乱 首尾分解 交叉乘 求和凑中 因式横 试一试 小结 用十字相乘法把形如 二次三项式分解因式使 顺口溜 竖分常数交叉验 横写因式不能乱 x p q x pq x p q x pq x p x q 练一练 小结 用十字相乘法把形如 的二次三项式分解因式 当pq 0时 pq分解的因数p q 当pq 0时 pq分解的因数p q 同号 异号 将下列各式分解因式 x p q x pq x p q x pq x p x q 选择题 以下多项式中分解因式为的多项式是 C 试将 分解因式 提示 当二次项系数为 1时 先提出负号再因式分解 独立练习 把下列各式分解因式 巩固练习 将下列多项式因式分解 1 x2 3x 4 2 x2 13x 42 3 x2 6xy 16y2 4 x2 11xy 24y2 5 x2y2 7xy 18 6 x4 13x2 36 2x 3 x 4 2x2 11x 12 2x1x 34 2x 4 1x 3 11x 观察发现 结果中一次项系数是分解后十字交叉相乘所得的和 2x 3 x 4 2x2 5x 12 2x1x 3 4 2x 4 1x 3 5x 观察发现 结果中一次项系数是分解后十字交叉相乘所得的和 试因式分解6x2 7x 2 这里就要用到十字相乘法 适用于二次三项式 既然是二次式 就可以写成 ax b cx d 的形式 ax b cx d 所以 需要将二次项系数与常数项分别拆成两个数的积 而这四个数中 两个数的积与另外两个数的积之和刚好等于一次项系数 那么因式分解就成功了 ac ad bc bd 17 3x2 11x 10 6x2 7x 2 23 12 4 3 7 6x2 7x 2 2x 1 3x 2 13 52 2 15 11 13 25 5 6 3x2 11x 10 x 2 3x 5 ax b cx d ac ad bc bd 6 5x2 6xy 8y2 试因式分解5x2 6xy 8y2 这里仍然可以用十字相乘法 15 24 4 10 5x2 6xy 8y2 x 2y 5x 4y 简记口诀 首尾分解 交叉相乘 求和凑中 十字相乘法 竖分常数交叉验 横写因式不能乱 全课总结 1 十字相乘法 借助十字交叉线分解因式的方法 2 用十字相乘法把形如x2 px q二次三项式分解因式 3 x2 px q x a x b 其中q p a b之间的符号关系 q 0时 q分解的因数a b 同号 且 a b符号 与p符号相同 当q 0时 q分解的因数a b 异号 其中绝对值较大的因数符号 与p符号相同 练一练 将下列各式用十字相乘法进行因式分解 1 2x2 13x 15 2 3x2 15x 18 3 6x2 3x 18 4 8x2 14xy 6y2 作业 把下列各式分解因式 1 4x2 11x 6 2 3x2 10 x 8 3 6x2 7xy 5y2 4 4x2 18x 18 5 4 a b 2 4 a b 15 例1 因式分解ab ac bd cd 解 原式 ab ac bd cd a b c d b c a d b c 还有别的解法吗 要发现式中隐含的条件 通过交换项的位置 添 去括号等一些变换达到因式分解的目的 四 分组分解法 例1 因式分解ab ac bd cd 解 原式 ab bd ac cd b a d c a d a d b c 四 分组分解法 要发现式中隐含的条件 通过交换项的位置 添 去括号等一些变换达到因式分解的目的 例2 因式分解x5 x4 x3 x2 x 1 解 原式 x5 x4 x3 x2 x 1 x3 1 x2 x 1 x 1 x2 x 1 x2 x 1 立方和公式 回顾例题 因式分解x5 x4 x3 x2 x 1 另解 原式 x5 x4 x3 x2 x 1 x 1 x4 x2 1 x 1 x4 2x2 1 x2 x 1 x2 1 2 x2 x 1 x2 x 1 x2 x 1 五 拆项 添项法 怎么结果与刚才不一样呢 因为它还可以继续因式分解 拆项添项法对数学能力有着更高的要求 需要观察到多项式中应拆哪一项使得接下来可以继续因式分解 要对结果有一定的预见性 尝试较多 做题较繁琐 最好能根据现有多项式内的项猜测可能需要使用的公式 有时要根据形式猜测可能的系数 五 拆项添项法 因式分解x4 4 解 原式 x4 4x2 4 4x2 x2 2 2 2x 2 x2 2x 2 x2 2x 2 完全平方公式 平方差公式 六 配方法 配方法是一种特殊的拆项添项法 将多项式配成完全平方式 再用平方差公式进行分解 因式分解a2 b2 4a 2b 3 解 原式 a2 4a 4 b2 2b 1 a 2 2 b 1 2 a b 1 a b 3 配方法 拆项添项法 分组分解法 完全平方公式 平方差公式 七 待定系数法 试因式分解2x2 3xy 9y2 14x 3y 20 通过十字相乘法得到 2x 3y x 3y 设原式等于 2x 3y a x 3y b 通过比较两式同类项的系数可得 解得 原式 2x 3y 4 x 3y 5 待定系数法 一种求未知数的方法 将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式 这样就得到一个恒等式 然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组 其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数 或找出某些系数所满足的关系式 这种解决问题的方法叫做待定系数法 3 14 10 4 2x2 3xy 9y2 14x 3y 20 八 双十字相乘法 双十字相乘法适用于二次六项式的因式分解 而待定系数法则没有这个限制 因式分解2x2 3xy 9y2 14x 3y 20 21 33 6 3 45 3 12 15 原式 2x 3y 4 x 3y 5 人要是行 干一行 行一行 一行行 行行行 要不是不行 干一行 不行一行 一行不行 行行不行 综合训练 一 48 43 综合训练 二 综合训练 二 2 x2y y2z z2x x2z y2x z2y 2xyz因式分解后的结果是 A y z x y x z B y z x y x z C y z x y x z D y z x y x z 3 因式分解x3 6x2 11x 6 A 综合训练 三 12 6 x2 x 2 x 2 x 1 2x4 3x3 ax2 7x b能被 x 2 x 1 整除 设商是A 则2x4 3x3 ax2 7x b A x 2 x 1 则x 2和x 1时 右边都等于0 所以左边也等于0 当x 2时 2x4 3x3 ax2 7x b 32 24 4a 14 b 4a b 42 0当x 1时 2x4 3x3 ax2 7x b 2 3 a 7 b a b 6 0 a 12 b 6 综合训练 三 0 64 总结训练 一 总结训练 一 8 总结训练 二 总结训练 二 解 x4 199x2 1996x 1997 x2 ax 1 x2 bx 1997 x4 a b x3 ab 1998 x2 1997a b x 1997所以a b 0 ab 1998