《函数与反函数》单元综合复习.doc

学科 数学 年级 高一 期数 129 函数与反函数 单元综合复习单元综合复习 一 知识要点 要掌握函数的三要素 会求函数的定义域和值域 会求函数的反函数 函数的定义域是函数概念的重点 主要考查三类问题 1 给出函数的解析式 求函数的定义域 所遵循的原则是 对偶次根式 被开 方数应大于或等于零 对分式 分母应不等于零 零次幂的底应不等于零 若 底含未知数 则底大于零且不等于 1 如果函数通过加 减 乘 除四则运算 及有限次复合构造出新函数 则新函数的定义域是每个函数定义域的交集 一 般通过不等式组来解决 2 不给出 f x 的解析式 通过 f x 的定义域 求 f g x 的定义域 3 实际问题或应用问题的定义域 除了要考虑解析式本身的定义域 还要考 虑使实际问题或应用问题有意义 函数的值域首先应掌握二次函数 幂函数 指数函数 对数函数的值域 还要 掌握用反函数 判别式法 配方法求函数值域的方法 二 典型例题 例 1 求下列函数的定义域 y y x 1 x xx 1 03 4 2 lgx 思路思路 考虑零次幂 分式 偶次根式三个方面的定义域 并求它们的交集即得 考虑偶次根式及对数式中的真数即可 解 x 须满足 x 1 0 x 0 且 x 1 x x 函数的定义域为 1 1 0 x 须满足 x 1 0 x 0 且 x 1 x2 0 函数的定义域为 1 0 0 例 2 已知 f x 则 f 1 2 12 x x 1 3 思路 1 先求出 f 1 x 再求 f 1 1 3 思路 2 由于函数 y f x 的定义域与值域分别是反函数 y f 1 x 的值域与定义 域 所以求 f 1 即求 f x 时的 x 值 1 3 1 3 解法 1 y y y y x y y x x x 2 12 2 11 2 log fx x x 1 2 1 log 2x 0 0 y 0 1 y y1 f x 的反函数是 y f 1 x log2 x 0 1 x x1 f 1 2 1 3 1 3 1 31 1 log 解法 2 令 1 2x 2x 1 1 x 1 0 x 1 2 12 1 3 x x 3 2 x 所以 f 1 1 1 3 例 3 求函数的值域y x x 21 32 思路 1 通过解析式的变形求得 思路 2 利用反函数的定义域解得 解法 1 变形得 y 2 2 3 4 3 1 3 2 3 2 3 1 3 32 x x x y 1 3 32 0 x 2 3 函数的值域是 2 3 2 3 解法 2 先求函数 y 的反函数 去分母 整理得 x 21 23 21 23 1 y y fx x x f 1 x 的定义域是 2 3 2 3 f x 的值域是 2 3 2 3 从上面的解法中可以得到 1 若函数是分子 分母关于 x 的一次式的分式 则函数的值域是 y x x 的系数 的系数 2 将 y 中的 x 换成 y logax a 0 a 1 21 32 x x 即 y logax R 21 32 log log a a x x 函数的值域仍是 y 2 3 将 y 中的 x 换成 x2 ax a 0 a 1 等 则函数的值不再是 y 因为 ax 21 32 x x 2 3 x2不能取全体实数 所以这些函数的值域求法都用反函数法 如 y 21 32 21 23 a a a y y x x x ax 0 21 23 0 1 2 2 3 y y y 函数 y 的值域是 21 32 a a x x 1 2 2 3 三 巩固训练 一 选择题 1 设 f x 3 x 则 f f f x 等于 A f 1 x B C f x D 3f x 1 f x 2 设函数 y f x 的定义域是 0 2 则 f x 1 的定义域是 A 0 2 B 1 1 C 1 3 D 1 0 3 函数 y 的值域是 x x 2 2 1 1 A 1 1 B 1 1 C 1 1 D 1 1 4 函数 y 1 lg x 2 的反函数是 A y 2 10 x 1 B y 10 x 1 2 C y 10 x 1 2 D y 2 10 x 1 5 值域是 0 的函数是 AB yC yD y x xxx 5 1 3 1 2 112 1 2 1 6 函数 y 2x2 8x 9 x 0 3 的值域是 A 1 B 9 1 C 51 1 D 51 9 三 填空题 7 函数 y 的定义域是 x x x 2 5 12 8 函数 y ln 则它的反函数的值域是 1 1 x x 9 若 f x x2 px q 且 f 1 0 f 2 0 则 f x 三 解答题 10 求函数 f x ln ax k a 0 且 a 1 k R 的定义域 2 x 11 已知函数 f x x x 0 和定义在 R 上的奇函数 g x 1 2 当 x 0 时 g x f x 试求 g x 的反函数 12 已知奇函数 f x 的定义域是 0 0 f 2 px qx 2 2 3 5 3 求 p q 的值 13 设 x 满足 x 9 81 x 0 函数 y 的最大值是 0 最小值log log a a a xax 2 2 是 求 a 的值 1 8 四 参考答案 一 选择题 1 A 2 C 3 D 4 B 5 B 6 D 二 填空题 7 1 5 5 8 1 1 9 x2 3x 2 三 解答题 10 解 x 必须满足 ax k 0 即 k 2 x a x 2 1 当 k 0 时 x R 2 当 k 0 时 若 a 2 则 x logak 2 若 0 a 2 且 a 1 则 x logak 2 若 a 2 当 0 k 1 时 x R 当 k 1 时 x 函数的定义域为 当 k 0 时 x R 当 k 0 且 a 2 时 x logak 2 当 k 0 且 0 a 2 且 a 1 时 x logak 2 当 0 k 1 且 a 2 时 x R 当 k 1 且 a 2 时 x 11 解 当 x 0 时 g x f x 1 2 x 设 x 0 时 则 x 0 g x 又 g x 是定义在 R 上的奇函数 1 2 x g x 即 g x 2x 1 2 x 1 2 x g x x 0 1 2 x 2x x 0 它的反函数为 g 1 x log 0 x 1 1 2 x log2 x 1 x 0 12 解 f x 是奇函数 f x f x 0 0 px qx px qx 22 2 3 2 3 整理得 2 px2 2 q 0 对任意的 x 0 0 恒成立 q 0 f x px x 2 2 3 又 f 2 即 5 3 42 32 5 3 p p 2 p 2 q 0 13 解 由 x 9 81 x 0 得 9 x 81 y loga a2x log a ax 2 2 logax 1 logax 1 2 1 2 3 2 1 1 2 3 2 1 8