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一元二次方程实根分布 一 实系数一元二次方程ax2 bx c 0 a b c R a 0 的根的问题 常利用韦达定理和判别式来解 常用结论有 1方程有两个正根 2方程有两个负根 3 方程有一个正根一个负根 4 方程两根都大于m 5 方程两根都小于m 6 方程一根大于m另一根小于m 例1 方程x2 2ax 1 0有两个不等负根 求实数a的取值范围 例2 方程mx2 2m 1 x 3 m 1 0两根都大于3 求实数m的取值范围 a 1 二 二次方程与二次函数联系紧密 关于二次方程问题求解的另一思路是转化为二次函数来解 因此一元二次方程根的分布问题可借助二次函数图象来研究求解 函数法 1 方程两根都大于m 令f x ax2 bx c a 0 则有如下结论 抓 对称轴的位置 特殊点的函数值 2 方程两根都小于m 3 方程一个根大于m另一根小于m 4 方程两根都大于m且都小于n 5 x1 m n x2 6 若f m f n 0 则方程必有一根在m与n之间 例 x2 m 3 x m 0 求m的范围 1 两个正根 例 x2 m 3 x m 0求m的范围 2 有两个负根 例 x2 m 3 x m 0求m的范围 3 两个根都小于1 例 x2 m 3 x m 0求m的范围 4 两个根都大于 例 x2 m 3 x m 0求m的范围 5 一个根大于1 一个根小于1 f 1 2m 2 0 例 x2 m 3 x m 0求m的范围 6 两个根都在 0 2 内 例 x2 m 3 x m 0求m的范围 7 两个根有且仅有一个在 0 2 内 f 0 f 2 m 3m 2 0 例 x2 m 3
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