北京非典型肺炎数学模型.pdf

第35卷第1期 2005年1月 数学的实践与认识 MA THEMA T ICS I N PRACT ICE AND THEORY Vol135 No11 Jan 2005 建 模 北京非典型肺炎数学模型 桂占吉1 康 弘2 康 岚3 1 海南师范大学数学系 海南 海口 571158 2 黑龙江省鸡西市环卫局科研所 黑龙江 鸡西 158100 3 海南省海口市妇女儿童医院 海南 海口 570102 摘要 探讨了北京非典型肺炎数学模型 利用动力学和非线性回归方法建立了北京非典型肺炎预测模型 关键词 非典型肺炎 数学模型 预测 1 引 言 收稿日期 2003208205 基金项目 海南省自然科学基金资助 80201 非典病毒如同无形战争侵噬着人们的心灵和肌体 由于它具有突发性 传染性 未知 性 而使人感到恐慌 2002年11月16日中国广东佛山发现第一起后来称为SARS的病 例 并且在广东佛山悄然迅速扩散 2003年3月5日 全军最著名的传染病医院 302医 院接收一名输入性非典患者 一个月之内 302医院传染病非典一病区 二病区的40余名 医护人员中 有30多位感染或疑似感染 2003年3月15日 北大附属人民医院急诊科收 治了一位从香港探亲回家的SARS患者 至4月23日北大附属人民医院医护人员感染人 数达到80人 传染链的迅速扩散 致使首都北京一度成为非典传染的重灾区 椐卫生部通 报疫情 4月21日20时至4月22日20时 一天之内 全国新报告非典型肺炎病例147例 其中北京新报告105例 北京日新增病例达到三位数 截至4月27日上午10时 北京市 累计报告非典型肺炎病例1114例 面对如此严重的疫情 党和国家领导人十分重视 号召 全国人民万众一心 众志成城 科学防治 抗击非典 成为全国人民的一致行动 随着党和 国家的高度重视 全国上下医疗防护措施的加强 进入五月份 北京非典疫情将会逐步缓 解 发病率逐步下降 5月6日疫情 全国增163例 其中北京增61例 北京日增新病例开 始由三位数降为两位数 此为发病率逐步下降阶段 五月底北京非典将会得到有效控制 5 月19日开始 全国新增12例其中北京新增7例 自此开始 北京新增非典病例下降为一 位数 5月31日10时 全国只有北京报告新增病例1例 北京防治非典型肺炎联合工作小 组2日发布的非典疫情统计日报显示 6月1日10时至6月2日10时 北京新收治直接确 诊非典病例为零 由疑似转确诊病例为零 死亡人数也是零 非典疫情出现三零 北京非 典得到有效控制 6月24日世界卫生组织宣布 北京的非典型肺炎疫情明显缓和 已符合 世卫组织有关标准 因此解除对北京的旅行警告 同时将北京从非典疫区名单中排除 我们在非典发生时始终追踪观察研究了北京非典的发生发展过程 我们以卫生部全国内 地非典型肺炎疫情通报为依据 建立了北京非典型肺炎数学模型 对北京非典型肺炎预测和 回顾性研究 预测结果非常符合实际 类似的流行病学研究也可以借鉴我们的研究方法 2 北京非典的数学模型 长期以来 建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程 分析受感染人数的变化 规律 预报传染病高潮的到来 一直是各国专家和官员关注的课题 传染病数学模型已经 发展成为一种较成熟的交叉学科 尤其是数学家在这方面贡献是非常巨大的 本文不介绍 有关这方面的现有研究结果 参见 1 2 我们将研究已经感染非典型肺炎的累计人数随 着时间的变化规律从而为预防以及治疗提供一些信息和措施 我们用N t 表示北京非典 型肺炎确诊感染累计人数 用S t 表示北京非典型肺炎死亡累计人数 根据卫生部全国内 地非典型肺炎疫情通报 可以得到北京非典型肺炎确诊感染累计人数及死亡累计人数如下 表1 表1 北京非典型肺炎确诊感染累计人数N t 及死亡累计人数S t 日期4 64 214 224 244 264 284 305 25 45 65 85 10 t18 59101112131415161718 N t 195886938779881199144016361803196021362227 S t 428354248597591100107112116 日期5 125 145 165 185 205 225 245 265 285 306 16 3 t192021222324252627282930 N t 230423702405243424442465249025042514252025222522 S t 129139141147154160163168175177181181 非典型肺炎的传播是非常迅速的 如果任其发展或者控制不利 将符合指数增长规 律 如果北京非典型肺炎确诊感染累计人数用N t 表示 则数学模型如下 dN t dt N t N 0 N0 1 由这个微分方程容易解出 N t N0e t 2 这个模型在传染病爆发初期增长速度是非常缓慢的 往往不能引起人们的重视 如2003年 3月15日北京发现首例非典型后 起初并没有引起相关部门的重视 因为开始的时候增长 相对来说是较缓慢的 到4月6日仅仅19例 到4月15日共31天里也只有37例 而发展 到一定的程度后 增长速度会迅速加快 仅6天就达到588例 如果政府不采取果断措施 北京非典型肺炎将按照指数增长规律传播下去 后果将不堪设想 由于中国政府及北京市 政府的高度重视 采取了一系列有效措施 因此北京非典型肺炎的数学模型可以用 Logistic模型描述为 dN t dt 1 N t K N t N 0 N0 3 可以用分离变量法解此方程 得 N t K 1 Be t 2数 学 的 实 践 与 认 识35卷 其中K是北京非典型肺炎确诊感染累计人数最大值 也就是增长的极限 是固有增长率 B是与初始值有关的量 这个模型不复杂 但是用这个模型与表1中北京非典型肺炎确诊 感染累计人数拟合起来却有困难 原因是用 4 拟合表1中的数据 用最小二乘法求模型参 数是不收敛 我们利用文献 3 6 的方法对模型 4 的参数进行重新参数化 得到如下 模型 N t K1 1 e 1 1t 4 从而得到北京非典型肺炎确诊感染累计人数的数学模型 N t 2531 333713667542 1 e4 00852477079948 0 3296449980710654 t 5 这个模型的相关系数R 2 01999891是一个非常符合实际的模型 类似的讨论 我们可以 得到北京非典型肺炎死亡累计人数的数学模型 S t K2 1 e 2 2t 6 根据表1的数据 可以得到具体模型 S t 183 88289381350307 1 e 3 3878758177840704 0 22510353929484161t 7 这个模型的相关系数R 2 01998779 也是一个非常符合实际的模型 下面的图1中的点为 表1中北京非典型肺炎确诊感染累计人数 图1中曲线表示模型 5 的预测曲线 图2是北 京非典型肺炎死亡累计人数情况 这两个图中的预测曲线是利用M athematica软件求出来 的 图1 北京非典型肺炎确诊感染累计人数图2 北京非典型肺炎死亡累计人数 3 模型的讨论 我们从2003年4月24日开始研究北京非典型肺炎确诊感染累计人数和北京非典型肺 炎死亡累计人数发展趋势 利用M athematica软件和模型 4 6 每日对北京非典型肺炎 进行预测 一般预测后续2天的病例数 以及未来发展趋势 然后把卫生部通报的新数据 加入到数据集中 得到新数据集 用此数据集 再利用模型 4 6 预测后续2天的病例 数 以及未来发展趋势 如此进行 直到最后得到模型 5 7 由于有计算程序 统计分 析和计算过程非常容易 得到的结论从统计学角度看是准确的 因此是一种切实可行的研 究方法 根据新华社北京5月18日电 记者李术峰 吕诺 全国非典型肺炎防治组疫情分 31期桂占吉 等 北京非典型肺炎数学模型 析专家预测北京市累计非典型肺炎确诊病例最后估计在2900 3300例之间 网上还有人 用周易方法进行了预测 当然也没有给出较准确的估计 而用我们的方法在5月18日预测 应为2511例 经过统计分析估计在2405 2615例之间 这是在M athematica软件上直接 显示的结果 这是一个十分精确的预测 最后利用模型 5 预测北京市累计非典型肺炎确 诊病例最后估计在2513139 2549128例之间 而实际是2522例 这是一个非常完美的结 果 建议将来流行病学的研究应该邀请数学家的参与 数学家可以通过数学建模方法 统 计分析方法对问题给出较好的预测 数学的威力是巨大的 只是我们还没有很好的利用数 学 参考文献 1 陈兰荪 陈健 非线性生物动力系统 M 科学出版社 1993 2 李海龙 任筱玉 刘双 用数学模型分析非典型肺炎预防和隔离措施的有效性 J 生物数学学报 2004 19 1 72 76 3 桂占吉 康凯 一类非线性回归模型及其应用 J 数学的实践与认识 1991 2 57 62 4 桂占吉 康凯 康岚 S形回归模型及其应用 J 数学的实践与认识 1994 2 9 13 5 桂占吉 康岚 预测胎儿体重的非线性模型 J 数学的实践与认识 2002 32 4 2 537 540 6 桂占吉 宋作忠 一阶常微分方程的计算机辅助教学 J 数学的实践与认识 2004 33 5 MathematicsM odel of SARS of Beijing GU I Zhan2ji1 KAN G Hong2 KAN G L an3 1 Department ofM athematics Hainan NormalU niversity Haikou Hainan 571158 China 2 Institute of Science and Technology Heilongjiang Jixi Environment and Hygiene Bureau Jixi Heilongjiang 158100 China 3 Hainan HaikouM aternity and Children Hospital Haikou Hainan 570102 China Ab