初中数学基础知识及经典例题.pdf

初中数学参考资料 第 1 页 共 56 页 综合知识讲解 第一章 应知应会知识点第一章 应知应会知识点 2 1 代数篇 代数篇 一 数与式 一 有理数 1 有理数的分类 2 数轴的定义与应用 3 相反数 4 倒数 5 绝对值 6 有理数的大小比较 7 有理数的运算 二 实数 8 实数的分类 9 实数的运算 10 科学记数法 11 近似数与有效数字 12 平方根与算术根和立方根 13 非负数 14 零指数次幂 负指数次幂 三 代数式 15 代数式 代数式的值 16 列代数式 四 整式 17 整式的分类 初中数学参考资料 第 2 页 共 56 页 18 整式的加减 乘除的运算 19 幂的有关运算性质 20 乘法公式 21 因式分解 五 分式 22 分式的定义 23 分式的基本性质 24 分式的运算 六 二次根式 25 二次根式的意义 26 根式的基本性质 27 根式的运算 二 方程和不等式 一 一元一次方程 28 方程 方程的解的有关定义 29 一元一次的定义 30 一元一次方程的解法 31 列方程解应用题的一般步骤 二 二元一次方程 32 二元一次方程的定义 33 二元一次方程组的定义 34 二元一次方程组的解法 代入法消元法 加减消元法 35 二元一次方程组的应用 三 一元二次方程 36 一元二次方程的定义 37 一元二次方程的解法 配方法 因式分解法 公式法 十字相乘法 38 一元二次方程根与系数的关系和根的判别式 39 一元二次方程的应用 四 分式方程 初中数学参考资料 第 3 页 共 56 页 40 分式方程的定义 41 分式方程的解法 转化为整式方程 检验 42 分式方程的增根的定义 43 分式方程的应用 五 不等式和不等式组 44 不等式 组 的有关定义 45 不等式的基本性质 46 一元一次不等式的解法 47 一元一次不等式组的解法 48 一元一次不等式 组 的应用 三 函数 一 位置的确定与平面直角坐标系 49 位置的确定 50 坐标变换 51 平面直角坐标系内点的特征 52 平面直角坐标系内点坐标的符号与点的象限位置 53 对称问题 P x y Q x y 关于 x 轴对称 P x y Q x y 关于 y 轴对称 P x y Q x y 关于原点对称 54 变量 自变量 因变量 函数的定义 55 函数自变量 因变量的取值范围 使式子有意义的条件 图象法 56 函数的图象 变量的变化趋势描述 二 一次函数与正比例函数 57 一次函数的定义与正比例函数的定义 58 一次函数的图象 直线 画法 59 一次函数的性质 增减性 60 一次函数 y kx b k 0 中 k b 符号与图象位置 61 待定系数法求一次函数的解析式 一设二列三解四回 62 一次函数的平移问题 初中数学参考资料 第 4 页 共 56 页 63 一次函数与一元一次方程 一元一次不等式 二元一次方程的关系 图象 法 64 一次函数的实际应用 65 一次函数的综合应用 1 一次函数与方程综合 2 一次函数与其它函数综合 3 一次函数与不等式的综合 4 一次函数与几何综合 三 反比例函数 66 反比例函数的定义 67 反比例函数解析式的确定 68 反比例函数的图象 双曲线 69 反比例函数的性质 增减性质 70 反比例函数的实际应用 71 反比例函数的综合应用 四个方面 面积问题 四 二次函数 72 二次函数的定义 73 二次函数的三种表达式 一般式 顶点式 交点式 74 二次函数解析式的确定 待定系数法 75 二次函数的图象 抛物线 画法 五点法 76 二次函数的性质 增减性的描述以对称轴为分界 77 二次函数 y ax2 bx c a 0 中 a b c 与特殊式子的符号与图象位置关 系 78 求二次函数的顶点坐标 对称轴 最值 79 二次函数的交点问题 80 二次函数的对称问题 81 二次函数的最值问题 实际应用 82 二次函数的平移问题 83 二次函数的实际应用 初中数学参考资料 第 5 页 共 56 页 84 二次函数的综合应用 1 二次函数与方程综合 2 二次函数与其它函数综合 3 二次函数与不等式的综合 4 二次函数与几何综合 2 2 几何篇 几何篇 1 过两点有且只有一条直线 2 两点之间线段最短 3 同角或等角的补角相等 4 同角或等角的余角相等 5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中 垂线段最短 7 经过直线外一点 有且只有一条直线与这条直线平行 8 如果两条直线都和第三条直线平行 这两条直线也互相平行 9 同位角相等 两直线平行 10 内错角相等 两直线平行 11 同旁内角互补 两直线行 12 两直线平行 同位角相等 13 两直线平行 内错角相等 14 两直线平行 同旁内角互补 15 三角形两边的和大于第三边 16 三角形两边的差小于第三边 17 三角形三个内角的和等 180 18 直角三角形的两个锐角互余 19 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角 21 全等三角形的对应边 对应角相等 22 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 SAS 初中数学参考资料 第 6 页 共 56 页 23 有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 ASA 24 有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 AAS 25 有三边对应相等的两个三角形全等 SSS 26 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 HL 27 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 28 到一个角的两边的距离相同的点 在这个角的平分线上 29 角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30 等腰三角形的性质定理 等腰三角形的两个底角相等 31 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32 等腰三角形的顶角平分线 底边上的中线和高互相重合 33 等边三角形的各角都相等 并且每一个角都等于 60 34 等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有两个角相等 那么这两个角 所对的边也相等 等角对等边 35 三个角都相等的三角形是等边三角形 36 有一个角等于 60 的等腰三角形是等边三角形 37 在直角三角形中 如果一个锐角等于 30 那么它所对的直角边等于斜边的 一半 38 直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半 39 线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等 40 和一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 41 线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合 42 关于某条直线对称的两个图形是全等形 43 如果两个图形关于某直线对称 那么对称轴是对应点连线的垂直平分线 44 两个图形关于某直线对称 如果它们的对应线段或延长线相交 那么交点 在对称轴上 45 如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分 那么这两个图形关于 这条直线对称 46 直角三角形两直角边 a b 的平方和 等于斜边 c 的平方 即 a b c 47 如果三角形的三边长 a b c 有关系 a b c 那么这个三角形是直角三角形 初中数学参考资料 第 7 页 共 56 页 48 四边形的内角和等于 360 49 四边形的外角和等于 360 50 多边形内角和定理 n 边形的内角的和等于 n 2 180 51 任意多边的外角和等于 360 52 平行四边形的对角相等 53 平行四边形的对边相等 54 夹在两条平行线间的平行线段相等 55 平行四边形的对角线互相平分 56 两组对角分别相等的四边形是平行四边形 57 两组对边分别相等的四边形是平行四边形 58 对角线互相平分的四边形是平行四边形 59 一组对边平行相等的四边形是平行四边形 60 矩形的四个角都是直角 61 矩形的对角线相等 62 有三个角是直角的四边形是矩形 63 对角线相等的平行四边形是矩形 64 菱形的四条边都相等 65 菱形的对角线互相垂直 并且每一条对角线平分一组对角 66 菱形面积 对角线乘积的一半 即 S a b 2 67 四边都相等的四边形是菱形 68 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 69 正方形的四个角都是直角 四条边都相等 70 正方形的两条对角线相等 并且互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 71 关于中心对称的两个图形是全等的 72 关于中心对称的两个图形 对称点连线都经过对称中心 并且被对称中心 平分 73 如果两个图形的对应点连线都经过某一点 并且被这一 点平分 那么这 两个图形关于这一点对称 74 等腰梯形在同一底上的两个角相等 初中数学参考资料 第 8 页 共 56 页 75 等腰梯形的两条对角线相等 76 在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 77 对角线相等的梯形是等腰梯形 78 如果一组平行线在一条直线上截得的线段 相等 那么在其他直线上截得的线段也相等 79 经过梯形一腰的中点与底平行的直线 必平分另一腰 80 经过三角形一边的中点与另一边平行的直线 必平分第三边 81 三角形的中位线平行于第三边 并且等于它的一半 82 梯形的中位线平行于两底 并且等于两底和的 一半 L a b S L h 83 如果 a b c d 那么 ad bc 如果 ad bc 那么 a b c d 84 如果 a b c d 那么 a b b c d d 85 如果 a b c d m n b d n 0 那么 a c m b d n a b 86 三条平行线截两条直线 所得的对应线段成比例 87 平行于三角形一边的直线截其他两边 或两边的延长线 所得的对应线段 成比例 88 如果一条直线截三角形的两边 或两边的延长线 所得的对应线段成比例 那么这条直线平行于三角形的第三边 89 平行于三角形的一边 并且和其他两边相交的直线 所截得的三角形的三 边与原三角形三边对应成比例 90 平行于三角形一边的直线和其他两边 或两边的延长线 相交 所构成的三 角形与原三角形相似 91 两角对应相等 两三角形相似 ASA 92 直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似 93 两边对应成比例且夹角相等 两三角形相似 SAS 94 三边对应成比例 两三角形相似 SSS 初中数学参考资料 第 9 页 共 56 页 95 如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三 角形的斜边和一条直角边对应成比例 那么这两个直角三角形相似 96 相似三角形对应高的比 对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 97 相似三角形周长的比等于相似比 98 相似三角形面积的比等于相似比的平方 99 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值 任意锐角的余弦值等于它的余 角的正弦值 100 任意锐角的正切值等于它的余角的余切值 任意锐角的余切值等 于它的余角的正切值 101 圆是定点的距离等于定长的点的集合 102 圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合 103 圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合 104 同圆或等圆的半径相等 105 到定点的距离等于定长的点的轨迹 是以定点为圆心 定长为半径的圆 106 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹 是着条线段的垂直平分线 107 到已知角的两边距离相等的点的轨迹 是这个角的平分线 108 到两条平行线距离相等的点的轨迹 是和这两条平行线平行且距离相等的 一条直线 109 不在同一直线上的三个点确定一条直线 110 垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧 111 平分弦 不是直径 的直径垂直于弦 并且平分弦所对的两条弧 弦的垂直平分线经过圆心 并且平分弦所对的两条弧 平分弦所对的一条弧的直径 垂直平分弦 并且平分弦所对的另一条弧 112 圆的两条平行弦所夹的弧相等 113 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形 114 在同圆或等圆中 相等的圆心角所对的弧相等 所对的弦相等 所对的弦 的弦心距相等 115 在同圆或等圆中 如果两个圆心角 两条弧 两条弦或两弦的弦心距中有 一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等 初中数学参考资料 第 10 页 共 56 页 116 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半 117 同弧或等弧所对的圆周角相等 同圆或等圆中 相等的圆周角所对的弧也 相等 118 半圆 或直径 所对的圆周角是直角 90 的圆周角所 对的弦是直径 119 如果三角形一边上的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 120 圆的内接四边形的对角互补 并且任何一个外角都等于它的内对角 121 直线 L 和 O 相交 d r 直线 L 和 O 相切 d r 直线 L 和 O 相离 d r 122 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线 123 圆的切线垂直于经过切点的半径 124 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 125 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 126 从圆外一点引圆的两条切线 它们的切线长相等 圆心和这一点的连线平 分两条切线的夹角 127 圆的外切四边形的两组对边的和相等 128 弦切角等于它所夹的弧对的圆周角 129 如果两个弦切角所夹的弧相等 那么这两个弦切角也相等 130 圆内的两条相交弦 被交点分成的两条线段长的积相等 131 如果弦与直径垂直相交 那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例 中项 132 从圆外一点引圆的切线和割线 切线长是这点到割线与圆交点的两条线段 长的比例中项 133 从圆外一点引圆的两条割线 这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长 的积相等 134 如果两个圆相切 那么切点一定在连心线上 135 两圆外离 d R r 两圆外切 d R r 两圆相交 R r d R r R r 初中数学参考资料 第 11 页 共 56 页 两圆内切 d R r R r 两圆内含 d R r R r 136 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 137 把圆分成 n n 3 依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形 经过各分点作圆的切线 以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切 正 n 边形 138 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆 这两个圆是同心圆 139 正 n 边形的每个内角都等于 n 2 180 n 140 正 n 边形的半径和边心距把正 n 边形分成 2n 个全等的直角三角形 141 正 n 边形的面积 Sn pnrn 2 p 表示正 n 边形的周长 142 正三角形面积 3a 4 a 表示边长 143 如果在一个顶点周围有 k 个正 n 边形的角 由于这些角的和应为 360 因此 k n 2 180 n 360 化为 n 2 k 2 4 144 弧长计算公式 L n R 180 145 扇形面积公式 S 扇形 n R 360 LR 2 146 内公切线长 d R r 外公切线长 d R r 初中数学参考资料 第 12 页 共 56 页 第三章 例题讲解第三章 例题讲解 例 如图 10 平行四边形ABCD中 AB 5 BC 10 BC边上的高AM 4 E 为BC边上的一个动点 不与B C重合 过E作直线AB的垂线 垂足为F FE 与DC的延长线相交于点G 连结DE DF 1 求证 BEF CEG 2 当点E在线段BC上运动时 BEF和 CEG的周长之间有什么关系 并说明你的理由 3 设BE x DEF的面积为y 请你求出y和x之间的函数关系式 并求 出当x为何值时 y有最大值 最大值是多少 解析过程及每步分值 1 因为四边形ABCD是平行四边形 所以ABDGP 1 分 所以 BGCEGBFE 所以BEFCEG 3 分 2 BEFCEG 与 的周长之和为定值 4 分 理由一 过点C作FG的平行线交直线AB于H 因为GF AB 所以四边形FHCG为矩形 所以 FH CG FG CH 因此 BEFCEG 与 的周长之和等于BC CH BH 由 BC 10 AB 5 AM 4 可得CH 8 BH 6 所以BC CH BH 24 6 分 理由二 由AB 5 AM 4 可知 在 Rt BEF与 Rt GCE中 有 4343 5555 EFBEBFBEGEECGCCE 所以 BEF的周长是12 5 BE ECG的周长是12 5 CE 图 10 M B D C E F G x A A M x H G F E D CB 初中数学参考资料 第 13 页 共 56 页 又BE CE 10 因此BEFCEGVV与的周长之和是 24 6 分 3 设BE x 则 43 10 55 EFxGCx 所以 2 11 43622 10 5 22 55255 yEF DGxxxx gg 8 分 配方得 2 655121 2566 yx 所以 当 55 6 x 时 y有最大值 9 分 最大值为121 6 10 分 例 如图 二次函数y ax 2 bx c a 0 与坐标轴交于点 A B C 且 OA 1 OB OC 3 1 求此二次函数的解析式 2 写出顶点坐标和对称轴方程 3 点 M N 在y ax 2 bx c 的图像上 点 N 在点 M 的右边 且 MN x轴 求 以 MN 为直径且与x轴相切的圆的半径 解析过程及每步分值 1 依题意 10 30 03 ABC 分别代入 2 yaxbxc 1 分 解方程组得所求解析式为 2 23yxx 4 分 2 22 23 1 4yxxx 5 分 顶点坐标 14 对称轴1x 7 分 3 设圆半径为r 当MN在x轴下方时 N点坐标为 1 rr 8 分 把N点代入 2 23yxx 得 117 2 r 9 分 同理可得另一种情形 117 2 r 初中数学参考资料 第 14 页 共 56 页 圆的半径为 117 2 或1 17 2 10 分 例例 3 3 已知两个关于x的二次函数 1 y 与当xk 时 2 17y 且二次函数 2 y 的 图象的对称轴是直 22 2112 2 0 612yya xkkyyxx 线1x 1 求k 的值 2 求函数 12 yy 的表达式 3 在同一直角坐标系内 问函数 1 y 的图象与 2 y 的图象是否有交点 请说 明理由 解析过程及每步分值 1 由 22 112 2612ya xkyyxx 得 2222 2121 612 2610 yyyyxxa xkxxa xk 又因为当xk 时 2 17y 即 2 61017kk 解得 1 1k 或 2 7k 舍去 故k的值为1 2 由1k 得 222 2 610 1 1 26 10yxxa xa xaxa 所以函数 2 y的图象的对称轴为 26 2 1 a x a 于是 有 26 1 2 1 a a 解得1a 所以 22 12 212411yxxyxx 3 由 2 1 1 2yx 得函数 1 y的图象为抛物线 其开口向下 顶点坐标为 12 由 22 2 24112 1 9yxxx 得函数 2 y的图象为抛物线 其开口向上 顶点坐标 为 19 故在同一直角坐标系内 函数 1 y的图象与 2 y的图象没有交点 初中数学参考资料 第 15 页 共 56 页 例 4 如图 抛物线 2 4yxx 与 x 轴分别相交于点 B O 它的顶点为 A 连接 AB 把 AB 所的直线沿 y 轴向上平移 使它经过原点 O 得到直线 l 设 P 是直线 l 上一动点 1 求点 A 的坐标 2 以点 A B O P 为顶点的四边形中 有菱形 等腰梯形 直角梯形 请分别直接写 出这些特殊四边形的顶点 P 的坐标 3 设以点 A B O P 为顶点的四边形的面积为 S 点 P 的横坐标为 x 当 46 268 2S 时 求 x 的取值范围 解析过程及每步分值 解 1 4 2 4 22 xxxy A 2 4 2 四边形 ABP1O 为菱形时 P1 2 4 四边形 ABOP2为等腰梯形时 P1 5 4 5 2 四边形 ABP3O 为直角梯形时 P1 5 8 5 4 四边形 ABOP4为直角梯形时 P1 5 12 5 6 3 由已知条件可求得 AB 所在直线的函数关系式是 y 2x 8 所以直线l的函数关系式是 y 2x 初中数学参考资料 第 16 页 共 56 页 当点 P 在第二象限时 x 0 POB 的面积xxS POB 4 2 4 2 1 AOB 的面积844 2 1 AOB S 0 840 过点 A P 分别作 x 轴的垂线 垂足为 A P 则四边形 POA A 的面积 44 2 2 1 2 2 24 xxxx x SSS OPPAAP梯形PAAPO AA B 的面积424 2 1 BAA S 0 84 xxSSS BAAAAPO 286264 S 286 264 S S 即 28684 26484 x x 2 124 2 223 S x x 的取值范围是 2 124 2 223 x 初中数学参考资料 第 17 页 共 56 页 例 4 随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展 对花木的需求量逐年提高 某园林专业户计划投资种植花卉及树木 根据市场调查与预测 种植树木的 利润 1 y 与投资量x成正比例关系 如图 所示 种植花卉的利润 2 y 与投资量 x成二次函数关系 如图 所示 注 利润与投资量的单位 万元 1 分别求出利润 1 y 与 2 y 关于投资量x的函数关系式 2 如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木 他至少获得多少 利润 他能获取的最大利润是多少 解析过程及每步分值 解 1 设 1 y kx 由图 所示 函数 1 y kx的图像过 1 2 所以 2 1 k 2 k 故利润 1 y关于投资量x的函数关系式是 1 y x2 因为该抛物线的顶点是原点 所以设 2 y 2 ax 由图 12 所示 函数 2 y 2 ax的图像 过 2 2 所以 2 22 a 2 1 a 故利润 2 y关于投资量x的函数关系式是 2 2 1 xy 2 设这位专业户投入种植花卉x万元 80 x 则投入种植树木 x 8 万元 他获得的利润是z万元 根据题意 得 z 8 2x 2 2 1 x 162 2 1 2 xx 14 2 2 1 2 x 当2 x时 z的最小值是 14 因为80 x 所以622 x 所以36 2 2 x 所以18 2 2 1 2 x 所以32141814 2 2 1 2 x 即32 z 此时8 x 初中数学参考资料 第 18 页 共 56 页 当8 x时 z的最大值是 32 例 5 如图 已知 4 0 A 0 4 B 现以 A 点为位似中心 相似比为 9 4 将 OB 向右侧放大 B 点的对应点为 C 1 求 C 点坐标及直线 BC 的解析式 2 一抛物线经过 B C 两点 且顶点落在 x 轴正半轴上 求该抛物线的解 析式并画出函数图象 3 现将直线 BC 绕 B 点旋转与抛物线相交与另一点 P 请找出抛物线上所 有满足到直线 AB 距离为3 2的点 P 解析过程及每步分值 解 1 过 C 点向 x 轴作垂线 垂足为 D 由位似图形性质可知 ABO ACD 4 9 AOBO ADCD 由已知 4 0 A 0 4 B可知 4 4AOBO 初中数学参考资料 第 19 页 共 56 页 9ADCD C 点坐标为 5 9 直线 BC 的解析是为 40 9450 yx 化简得 4yx 2 设抛物线解析式为 2 0 yaxbxc a 由题意得 2 4 9255 40 c abc bac 解得 1 1 1 1 4 4 a b c 2 2 2 1 25 4 5 4 a b c 解得抛物线解析式为 2 1 44yxx 或 2 2 14 4 255 yxx 又 2 2 14 4 255 yxx 的顶点在 x 轴负半轴上 不合题意 故舍去 满足条件的抛物线解析式为 2 44yxx 准确画出函数 2 44yxx 图象 3 将直线 BC 绕 B 点旋转与抛物线相交与另一点 P 设 P 到 直线 AB 的距离为 h 故 P 点应在与直线 AB 平行 且相距3 2的上下两条平行直线 1 l和 2 l上 由平行线的性质可得 两条平行直线与 y 轴的交点到直线 BC 的距离也为3 2 如图 设 1 l与 y 轴交于 E 点 过 E 作 EF BC 于 F 点 在 Rt BEF 中3 2EFh 45EBFABO o 6BE 可以求得直线 1 l与 y 轴交点坐标为 0 10 同理可求得直线 2 l与 y 轴交点坐标为 0 2 两直线解析式 1 10lyx 2 2lyx 根据题意列出方程组 2 44 10 yxx yx 2 44 2 yxx yx 初中数学参考资料 第 20 页 共 56 页 解得 1 1 6 16 x y 2 2 1 9 x y 3 3 2 0 x y 4 4 3 1 x y 满足条件的点 P 有四个 它们分别是 1 6 16 P 2 1 9 P 3 2 0 P 4 3 1 P 例 6 如图 抛物线 2 1 23Lyxx 交x轴于 A B 两点 交y轴于 M 点 抛物线 1 L向 右平移 2 个单位后得到抛物线 2 L 2 L交x轴于 C D 两点 1 求抛物线 2 L对应的函数表达式 2 抛物线 1 L或 2 L在x轴上方的部分是否存在点 N 使以 A C M N 为顶点的四边 形是平行四边形 若存在 求出点 N 的坐标 若不存在 请说明理由 3 若点 P 是抛物线 1 L上的一个动点 P 不与点 A B 重合 那么点 P 关于原点的对 称点 Q 是否在抛物线 2 L上 请说明理由 解析过程及每步分值 初中数学参考资料 第 21 页 共 56 页 例 7 如图 在矩形 ABCD中 9AB 3 3AD 点P 是边BC 上的动点 点 P 不与点B 点C 重合 过点P 作直线PQBD 交CD边于Q点 再把PQC 沿着动直线 PQ对折 点C 的对应点是 R 点 设CP的长度为 x PQR 与矩形 ABCD重叠部分的面积为 y 1 求CQP 的度数 2 当x取何值时 点R 落在矩形 ABCD的 AB 边上 3 求 y 与 x之间的函数关系式 当x取何值时 重叠部分的面积等于矩形面积的 7 27 解析过程及每步分值 解 1 如图 Q四边形ABCD是矩形 ABCDADBC 又9AB 3 3AD 90C o 9CD 3 3BC 3 tan 3 BC CDB CD 30CDB o D Q C B P R A B A D C 备用图 1 B A D C 备用图 2 初中数学参考资料 第 22 页 共 56 页 PQBDQ 30CQPCDB o 2 如图 1 由轴对称的性质可知 RPQCPQ RPQCPQ RPCP 由 1 知30CQP o 60RPQCPQ o 60RPB o 2RPBP CPx Q PRx 3 3PBx 在RPB 中 根据题意得 2 3 3 xx 解这个方程得 2 3x 3 当点R在矩形ABCD的内部或AB边上时 02 3x 2 113 3 222 CPQ SCP CQxxx g RPQCPQQ 当02 3x 时 2 3 2 yx 当R在矩形ABCD的外部时 如图 2 2 33 3x 在RtPFB 中 60RPB o Q 22 3 3 PFBPx 又RPCPx Q 36 3RFRPPFx 在RtERF 中 30EFRPFB o Q 36ERx 2 13 3 1818 3 22 ERF SERFRxx RPQERF ySS Q 当2 33 3x 时 2 31818 3yxx D Q C B P R A 图 1 D Q C B P R A 图 2 F E 初中数学参考资料 第 23 页 共 56 页 综上所述 y与x之间的函数解析式是 2 2 3 02 3 2 31818 3 2 33 3 xx y xxx 矩形面积9 3 327 3 当02 3x 所以 当02 3x 时 y的值不可能是矩形面积的 7 27 当2 33 3x 所以3 32x 不合题意 舍去 所以3 32x 综上所述 当3 32x 时 PQR 与矩形ABCD重叠部分的面积等于矩形面积的 7 27 第四章第四章 兴趣练习兴趣练习 4 1 代数部分代数部分 1 已知 抛物线 2 yaxbxc 与 x 轴交于 A B 两点 与 y 轴交于点 C 其中点 A 在 x 轴的负半轴上 点 C 在 y 轴的负半轴上 线段 OA OC 的长 OA 矩形OEDC与AOB 重合部分的面积为S 根据上述条件 回答下列问题 1 当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时 求t的值 2 当4t 时 求S的值 3 直接写出S与t的函数关系式 不必写出解题过程 4 若12S 则t 17 直线 3 6 4 yx 与坐标轴分别交于AB 两点 动点PQ 同时从O点出发 同时到 达A点 运动停止 点Q沿线段OA 运动 速度为每秒 1 个单位长度 点P沿路线O B A运动 1 直接写出AB 两点的坐标 2 设点Q的运动时间为t秒 OPQ 的面积为S 求出S与t之间的函数关系式 3 当 48 5 S 时 求出点P的坐标 并直接写出以点OPQ 为顶点的平行四边形的第 四个顶点M的坐标 18 如图 1 过 ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线 外侧两条直线之间的 距离叫 ABC的 水平宽 a 中间的这条直线在 ABC内部的线段的长度叫 ABC的 铅 垂高 h 我们可得出一种计算三角形面积的新方法 ahS ABC 2 1 即三角形面积等 于水平宽与铅垂高乘积的一半 B C O E D A x y x A O Q P B y A B C 铅垂高 水平宽 h a 图 1 初中数学参考资料 第 31 页 共 56 页 解答下列问题 如图 2 抛物线顶点坐标为点C 1 4 交x轴于点A 3 0 交y轴于点B 1 求抛物线和直线AB的解析式 2 求 CAB的铅垂高CD及 CAB S 3 设点P是抛物线 在第一象限内 上的一个动点 是否存在一点P 使S PAB 8 9 S CAB 若存在 求出P点的坐标 若不存在 请说明理由 19 如图 在平面直角坐标系中 点AC 的坐标分别为 10 03 点B在x轴上 已 知某二次函数的图象经过A B C三点 且它的对称轴为直线1x 点P为直线BC下 方的二次函数图象上的一个动点 点P与B C不重合 过点P作y轴的平行线交BC于 点F 1 求该二次函数的解析式 2 若设点P的横坐标为m 用含m的代数式表示线段PF的长 3 求PBC 面积的最大值 并求此时点P的坐标 20 如图所示 菱形ABCD的边长为 6 厘米 60B 从初始时刻开始 点P Q同 时从A点出发 点P以 1 厘米 秒的速度沿ACB 的方向运动 点Q以 2 厘米 秒的速 图 2 x C O y A B D 1 1 x y B F O A C P x 1 初中数学参考资料 第 32 页 共 56 页 度沿ABCD 的方向运动 当点Q运动到D点时 P Q两点同时停止运动 设 P Q运动的时间为x秒时 APQ 与ABC 重叠部分 的面积为y平方厘米 这里规定 点和线段是面积为O的三角形 解答下列问题 1 点P Q从出发到相遇所用时间是 秒 2 点P Q从开始运动到停止的过程中 当APQ 是等边三角形时x的值是 秒 3 求y与x之间的函数关系式 21 定义一种变换 平移抛物线 1 F得到抛物线 2 F 使 2 F经过 1 F的顶点A 设 2 F的对称轴 分别交 12 FF 于点DB 点C是点A关于直线BD的对称点 1 如图 1 若 1 F 2 yx 经过变换后 得到 2 F 2 yxbx 点C的坐标为 2 0 则 b的值等于 四边形ABCD为 A 平行四边形 B 矩形 C 菱形 D 正方形 2 如图 2 若 1 F 2 yaxc 经过变换后 点B的坐标为 21 c 求ABD 的 面积 3 如图 3 若 1 F 2 127 333 yxx 经过变换后 2 3AC 点P是直线AC上的 动点 求点P到点D的距离和到直线AD的距离之和的最小值 P Q A B C D B D C O A y x F1 F2 B D C O y x F1 F2 A B D C O y x F1 F2 A P 图 1 图 2 图 3 初中数学参考资料 第 33 页 共 56 页 22 如图 已知直线 1 1 2 yx 交坐标轴于BA 两点 以线段AB为边向上作正方形 ABCD 过点CD A 的抛物线与直线另一个交点为E 1 请直接写出点DC 的坐标 2 求抛物线的解析式 3 若正方形以每秒5个单位长度的速度沿射线AB下滑 直至顶点D落在x轴上 时停止 设正方形落在x轴下方部分的面积为S 求S关于滑行时间t的函数关 系式 并写出相应自变量t的取值范围 4 在 3 的条件下 抛物线与正方形一起平移 同时停止 求抛物线上EC 两点 间的抛物线弧所扫过的面积 23 如图 点AB 坐标分别为 4 0 0 8 点C是线段OB上一动点 点E在x轴 正半轴上 四边形OEDC是矩形 且2OEOC 设 0 OEt t 矩形OEDC与AOB 重合部分的面积为S 根据上述条件 回答下列问题 1 当矩形OEDC的顶点D在直线AB上时 求t的值 2 当4t 时 求S的值 3 直接写出S与t的函数关系式 不必写出解题过程 4 若12S 则t 24 如图所示 某校计划将一块形状为锐角三角形ABC的空地进行生态环境改造 已知 ABC 的边BC长 120 米 高AD长 80 米 学校计划将它分割成AHG BHE GFC 和矩形EFGH四部分 如图 其中矩形EFGH的一边EF在边BC上 其余两 个顶点H G分别在边AB AC上 现计划在AHG 上种草 每平米投资 6 元 在 BHE FCG 上都种花 每平方米投资 10 元 在矩形EFGH上兴建爱心鱼池 每平 方米投资 4 元 O A B C D E y x 1 1 2 yx B C O E D A x y 初中数学参考资料 第 34 页 共 56 页 1 当FG长为多少米时 种草的面积与种花的面积相等 2 当矩形EFGH的边FG为多少米时 ABC 空地改造总投资最小 最小值为多少 25 已知 12 tt 是方程 2 2240tt 的两个实数根 且 12 tt 抛物线 2 2 3 yxbxc 的图象经过点 12 0 0 A tBt 1 求这个抛物线的解析式 2 设点 P xy 是抛物线上一动点 且位于第三象限 四边形OPAQ是以OA为对角线 的平行四边形 求OPAQY的面积S与x之间的函数关系式 并写出自变量x的取值范围 3 在 2 的条件下 当OPAQY的面积为 24 时 是否存在这样的点P 使OPAQY 为正方形 若存在 求出P点坐标 若不存在 说明理由 三 说理题 26 如图 抛物线经过 4 0 10 02 ABC 三点 1 求出抛物线的解析式 2 P 是抛物线上一动点 过 P 作PMx 轴 垂足为 M 是否存在 P 点 使得以 A P M 为顶点的三角形与OAC 相似 若存在 请求出符合条件的点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 A G H K B E D F C Q B O A P x y 初中数学参考资料 第 35 页 共 56 页 3 在直线 AC 上方的抛物线上有一点 D 使得DCA 的面积最大 求出点 D 的坐标 27 如图 在平面直角坐标系xOy中 半径为 1 的圆的圆心O在坐标原点 且与两坐标轴 分别交于ABCD 四点 抛物线 2 yaxbxc 与y轴交于点D 与直线yx 交于 点MN 且MANC 分别与圆O相切于点A和点C 1 求抛物线的解析式 2 抛物线的对称轴交x轴于点E 连结DE 并延长DE交圆O于F 求EF的长 3 过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P 判断点P是否在抛物线上 说明理由 28 如图 1 已知 抛物线 2 1 2 yxbxc 与x轴交于AB 两点 与y轴交于点C 经 过BC 两点的直线是 1 2 2 yx 连结AC 1 BC 两点坐标分别为B C 抛物线的函数关系 式为 2 判断ABC 的形状 并说明理由 3 若ABC 内部能否截出面积最大的矩形DEFC 顶点DEF G在ABC 各边 上 若能 求出在AB边上的矩形顶点的坐标 若不能 请说明理由 抛物线 2 yaxbxc 的顶点坐标是 2 4 24 bacb aa O x y A B C 4 1 2 O x y N C D E F B M A C A O B x y C A O B x y 图 1 图 2 备用 初中数学参考资料 第 36 页 共 56 页 29 已知 如图 在平面直角坐标系xOy中 矩形 OABC 的边 OA 在 y 轴的正半轴上 OC 在 x 轴的正半轴上 OA 2 OC 3 过原点 O 作 AOC 的平分线交 AB 于点 D 连接 DC 过点 D 作 DE DC 交 OA 于点 E 1 求过点 E D C 的抛物线的解析式 2 将 EDC 绕点 D 按顺时针方向旋转后 角的一边与 y 轴的正半轴交于点 F 另一边与 线段 OC 交于点 G 如果 DF 与 1 中的抛物线交于另一点 M 点 M 的横坐标为 6 5 那么 EF 2GO 是否成立 若成立 请给予证明 若不成立 请说明理由 3 对于 2 中的点 G 在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点 Q 使得直线 GQ 与 AB 的交点 P 与点 C G 构成的 PCG 是等腰三角形 若存在 请求出点 Q 的坐标 若不存 在 请说明理由 30 如图所示 将矩形OABC沿AE折叠 使点O恰好落在BC上F处 以CF为边作正 方形CFGH 延长BC至M 使CMCEEO 再以CM CO为边作矩形CMNO 1 试比较EO EC的大小 并说明理由 2 令 CFGH CMNO S m S 四边形 四边形 请问m是否为定值 若是 请求出m的值 若不是 请说明理 由 3 在 2 的条件下 若 1 1 3 COCEQ 为AE上一点且 2 3 QF 抛物线 2 ymxbxc 经过C Q两点 请求出此抛物线的解析式 4 在 3 的条件下 若抛物线 2 ymxbxc 与线段AB交于点P 试问在直线BC 上是否存在点K 使得以P B K为顶点的三角形与AEF 相似 若存在 请求直线KP 与y轴的交点T的坐标 若不存在 请说明理由 y x D B C A E E O y x A N O M C H G F B Q E 初中数学参考资料 第 37 页 共 56 页 4 2 几何部分 几何部分 经 典 难 题 一 1 已知 如图 O 是半圆的圆心 C E 是圆上的两点 CD AB EF AB EG CO 求证 CD GF 初二 2 已知 如图 P 是正方形 ABCD 内点 PAD PDA 150 求证 PBC 是正三角形 初二 3 如图 已知四边形 ABCD A1B1C1D1都是正方形 A2 B2 C2 D2分别是 AA1 BB1 CC1 DD1的中点 求证 四边形 A2B2C2D2是正方形 初二 4 已知 如图 在四边形 ABCD 中 AD BC M N 分别是 AB CD 的中点 AD BC 的延长线交 MN 于 E F 求证 DEN F A P C D B A F G C E B O D D2 C2 B2 A2 D1 C1 B1 C B D A A1 A N F E C D M B 初中数学参考资料 第 38 页 共 56 页 P C G F B Q A D E 经 典 难 题 二 1 已知 ABC 中 H 为垂心 各边高线的交点 O 为外心 且 OM BC 于 M 1 求证 AH 2OM 2 若 BAC 600 求证 AH AO 初二 2 设 MN 是圆 O 外一直线 过 O 作 OA MN 于 A 自 A 引圆的两条直线 交圆于 B C 及 D E 直线 EB 及 CD 分别交 MN 于 P Q 求证 AP AQ 初二 3 如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内 则由此可得以下命题 设 MN 是圆 O 的弦 过 MN 的中点 A 任作两弦 BC DE 设 CD EB 分别交 MN 于 P Q 求证 AP AQ 初二 4 如图 分别以 ABC 的 AC 和 BC 为一边 在 ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG 点 P 是 EF 的中点 求证 点 P 到边 AB 的距离等于 AB 的一半 初二 A D H E M C B O G A O D B E C Q P N M O Q P B D E C N M A 初中数学参考资料 第 39 页 共 56 页 经 典 难 题 三 1 如图 四边形 ABCD 为正方形 DE AC AE AC AE 与 CD 相交于 F 求证 CE CF 初二 2 如图 四边形 ABCD 为正方形 DE AC 且 CE CA 直线 EC 交 DA 延长线于 F 求证 AE AF 初二 3 设 P 是正方形 ABCD 一边 BC 上的任一点 PF AP CF 平分 DCE 求证 PA PF 初二 4 如图 PC 切圆 O 于 C AC 为圆的直径 PEF 为圆的割线 AE AF 与直线 PO 相交于 B D 求证 AB DC BC AD 初三 D A F D E C B E D A C B F A E P C B A O D B F A E C P 初中数学参考资料 第 40 页 共 56 页 经 典 难 题 四 1 已知 ABC 是正三角形 P 是三角形内一点 PA 3 PB 4 PC 5 求 APB 的度数 初二 2 设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点 且 PBA PDA 求证 PAB PCB 初二 3 Ptolemy 托勒密 定理 设 ABCD 为圆内接凸四边形 求证 AB CD AD BC AC BD 初三 4 平行四边形 ABCD 中 设 E F 分别是 BC AB 上的一点 AE 与 CF 相交于 P 且 AE CF 求证 DPA DPC 初二 A P C B P A D C B C B D A F P D E C B A 初中数学参考资料 第 41 页 共 56 页 经 典 难 题 五 1 设 P 是边长为 1 的正 ABC 内任一点 l PA PB PC 求证 l 2 2 已知 P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点 求 PA PB PC 的最小值 3 P 为正方形 ABCD 内的一点 并且 PA a PB 2a PC 3a 求正方形的边长 4 如图 ABC 中 ABC ACB 800 D E 分别是 AB AC 上的点 DCA 300 EBA 200 求 BED 的度数 A P C B A C B P D E D C B A A C B P D 初中数学参考资料 第 42 页 共 56 页 第五章 复习提纲第五章 复习提纲 初中数学总复习提纲 初中数学总复习提纲 第一章 实数 重点 实数的有关概念及性质 实数的运算 内容提要 一 重要概念 1 数的分类及概念 数系表 说明 分类 的原则 1 相称 不重 不漏 2 有标准 2 非负数 正实数与零的统称 表为 x 0 常见的非负数有 性质 若干个非负数的和为 0 则每个非负担数均为 0 3 倒数 定义及表示法 性质 A a 1 a a 1 B 1 a 中 a 0 C 0 a 1 时 1 a 1 a 1 时 1 a 1 D 积为 1 4 相反数 定义及表示法 性质 A a 0 时 a a B a 与 a 在数轴上的位置 C 和为 0 商 为 1