高一数学竞赛辅导.pdf

写在前面 由中国青少年发展服务中心 全国 青少年走进科学世界 科普活动指导委 员会主办 北京师范大学 高中数理化 杂志承办的 中学生数理化学科能力展示 活动 是在 十七大 正式提出建设创新型国家战略后 第一个以发现优秀人才 和带动创新型人才培养为宗旨的全国性活动 活动内容突破传统的 解难题 模 式 重在评价学生探究性学习能力和综合实践能力 数学建模论文答辩 创新物 理 化学实验设计和操作 这一系列富有创造性的活动综合展示了参赛学生优秀 的学习能力 卓尔不群的创新思维 不断超越自我的信心和勇气 自 年该项活动创办以来 即以其 立意高 形式新 角度广 而备受学 生 教师 家长等社会各方面的认可 从首届的五万余人到第八届的近二十万余 人 足以说明展示活动受到了广泛的关注与重视 活动在得到了广大学校教师和学生的强烈响应和共鸣的同时 也吸引了北 京大学 中国科技大学 南京大学 厦门大学 香港大学等一大批一流大学的关 注 年 月 第八届全国总年度总评现场 来自北京大学 中国科技大学 南 京大学 北京航空航天大学 北京师范大学 北京理工大学 厦门大学等高等院校 的专家学者和招生办主任观摩后对学生所表现出的自信向上的精神及优秀的学 科能力大为赞叹 并对活动的环节设置给予了极大的肯定 纷纷认为以笔试来考 核基础知识的理解与应用 以答辩来考核学生对学科知识的实践应用与归纳 以 学科信息技术 电脑完成 来考核学生的学科交叉及知识迁移 以创意搭建 废物 改造等应用能力展示项目来锻炼学生的创新意识及动手能力 完全符合国家对 中学生培养的要求 也符合高校对人才的渴求 中国教育学会常务副会长 国家 督学郭振有激动地说 看了同学们的表现 我感到欣慰 感到振奋 感到欣慰的 是中国进行了 多年的新课程改革 虽然有很多争议 很多交锋 但通过我今天 的亲身经历 通过同学们青春朝气的身影 通过同学们的优异表现 我有一个初 步的结论 我们进行的新课程改革 通过老师们和同学们的伟大实践 已经改变 了中国教育的部分面貌 与此同时 各地方 各学科的专家 学者不断加入我们的名师俱乐部 为活动 献计献策 提供智力支持 正是在这样的背景下 我们有理由相信 这一活动已经 和正在成为一个为创新铺路和开道的平台 它有可能成为我国建设创新型国家 的历史征途中的一座标志性 建筑 而这正是我们 高中数理化 杂志的激情与 梦想 这正是我们 高中数理化 杂志的情感 态度和价值观 而今 第九届展示活动已拉开帷幕 为了使广大的中学生能参与这项盛大的 赛事活动 沿着 落实新课改精神 鼓励创新与实践 倡导研究型学习 的宗旨来 展示自身价值 在活动中体验成长 享受成功 中学生数理化学科能力展示活动 组委会特组织专家编写了本套特刊 本书由解题技能展示 论文或实验报告的撰写及范例两部分组成 为参加活 动的学生提供了一个了解本活动的平台 也对学生提升自身学科能力有不小的 益处 亲爱的同学们 细细品读书中的每一道题 每一篇论文 其可圈可点之处会 使你觉得 这不仅仅是一个比赛 还有很多很多 同学们 海到无边天作岸 山登绝顶我为峰 在发现 展现和超越自我的过 程中 在追求卓越 追求创新的旅途中 我们一路同行 全国中学生数理化学科能力展示活动组委会 北京师范大学 高中数理化 杂志社 年 月 目 录 第一部分 解题技能展示 第九届全国中学生数理化学科能力展示活动 解题技能展示考试大纲 高一数学 历届试题集萃 高一数学部分 高一数学参考答案 第二部分 建模论文 建模论文写作指导 全国中学生数理化学科能力展示活动建模论文及 实验报告参考评分标准 优秀论文展示 文理分科 你是否在十字路口 标准分数指导高中学生文理分科 杨学博 河南移动手机套餐孙泽民 男女厕所厕位不公平现象的数学解析王子豪 羽毛球中的数学王子淳 用独立性检验探究一些因素与作业完成质量的关系 杨璐璐 用概率方法对班级最优排座的研究段星仪 平凡的绿灯 用知识在发光 十字路口通过车辆与绿灯时间设置高宏伟 对企业污染问题的博弈分析王昱晨 投篮的数学模型刘颜滔 探究石桥和钢桥哪种更经济陈王其 第一部分 解题技能展示 第一部分 解题技能展示 第九届全国中学生数理化学科能力展示活动 解题技能展示考试大纲 高一数学 活动性质 第九届全国中学生数理化学科能力展示活动是由优秀的中学生参加的旨在发掘创新型 人才的一项全方位 多角度 考核中学生能力的活动 因其立意高 角度广 形式新 信度好而 逐渐成为中学生展示自我风采及高校选拔优秀人才的平台 考试要求 根据国家中长期教育改革纲要对中学生文化素质的要求 依据国家教育部 年颁布 的 全日制普通高级中学课程计划 和 全日制普通高级中学数学教学大纲 的必修和选修内 容 作为高一数学学科试题的命题范围 高一数学学科的考试 按照 考查基础知识的同时 注重考查能力与创新 的原则 确立 以能力立意为命题的指导思想 将知识 能力与素质考查融为一体 全面检测考生的学科 素养 数学能力要求 思维能力 会对问题或资料进行观察 比较 分析 综合 抽象与概括 会用类比 归纳 和演绎等方法进行推理 能合乎逻辑地 准确地进行表述 数学是一门思维的科学 思维能力是数学学科能力的核心 数学思维能力是以数学知识 为素材 通过空间想像 直觉猜想 归纳抽象 符号表示 运算求解 演绎证明和模式构建等诸 方面 对客观事物中的空间形式 数量关系和数学模式进行思考和判断 形成和发展理性思 维 构成数学能力的主体 运算能力 会根据法则 公式进行正确运算 变形和数据处理 能根据问题的条件和 目标 寻找与设计合理 简捷的运算途径 能根据要求对数据进行估计和近似计算 运算能力是思维能力和运算技能的结合 运算包括对数字的计算 估值和近似计算 对 式子的组合变形与分解变形 对几何图形各几何量的计算求解等 运算能力包括分析运算条 件 探究运算方向 选择运算公式 确定运算程序等一系列过程中的思维能力 也包括在实施 运算过程中遇到障碍而调整运算的能力以及实施运算和计算的技能 空间想像能力 能根据条件作出正确的图形 根据图形想像出直观形象 能正确地分 析出图形中基本元素及其相互关系 能对图形进行分解 组合与变换 会运用图形与图表等 手段形象地揭示问题的本质 空间想像能力是对空间形式的观察 分析 抽象的能力 主要表现为识图 画图和对图形 的想像能力 识图是指观察研究所给图形中几何元素之间的相互关系 画图是指将文字语言 和符号语言转化为图形语言 以及对图形添加辅助图形或对图形进行各种变换 对图形的想 像主要包括有图想图和无图想图两种 是空间想像能力高层次的标志 实践能力 能综合应用所学数学知识 思想和方法解决问题 包括解决在相关学科 生产 生活中简单的数学问题 能理解对问题陈述的材料 并对所提供的信息资料进行归纳 整理和分类 将实际问题抽象为数学问题 建立数学模式 能应用相关的数学方法解决问题 并加以验证 并能用数学语言正确地表述和说明 实践能力是将客观事物数学化的能力 主要过程是依据现实的生活背景 提炼相关的数 量关系 构想数学模式 将现实问题转化为数学问题 并加以解决 创新意识 对新颖的信息 情境和设问 选择有效的方法和手段分析信息 综合与灵 活地应用所学的数学知识 思想和方法 进行独立的思考 探索和研究 提出解决问题的思 路 创造性地解决问题 创新意识是理性思维的高层表现 对数学问题的 观察 猜测 抽象 概括 证明 是发现 问题和解决问题的重要途径 对数学知识的迁移 组合 融会的程度越高 显示出的创新意识 也就越强 内容提要 数学 集合 简易逻辑 集合 子集 补集 交集 并集 逻辑联结词 四种命题 充分条件和必要条件 函数 映射 函数 函数的单调性 奇偶性 反函数 互为反函数的函数图像间的关系 指数概念的扩充 有理指数幂的运算性质 指数函数 对数 对数的运算性质 对数函数 三角函数 选 角的概念的推广 弧度制 任意角的三角函数 单位圆中的三角函数线 同角 三角函数的基本关系式 s i n c o s s i n c o s t a n t a n c o t 正弦 余弦的诱导公式 两角和与差的正弦 余弦 正切 二倍角的正弦 余弦 正切 正弦函数 余弦函数的图像和性质 周期函数 函数y As i n x 的图 像 正切函数的图像和性质 已知三角函数值求角 正弦定理 余弦定理 斜三角形解法 平面向量 选 向量 向量的加法与减法 实数与向量的积 平面向量的坐标表示 线段的 定比分点 平面向量的数量积 平面两点间的距离 平移 第一部分 解题技能展示 立体几何 选 空间几何体的结构 空间几何体的三视图和直观图 空间几何体的表面积与 体积 点 直线 平面之 间的位置关系 选 空间点 直线 平面之间的位置关系 直线 平面平行的判定及其性质 直线 平面垂直的判定及其性质 算法初步 选 算法与程序框图 算法的基本逻辑结构 基本算法语句 算法案例 统计 选 随机抽样 用样本估计总体 变量间的相关关系 注 考试内容从我国目前初 高中学生的实际情况出发 但不拘泥于现行的教学大纲和 教材 考试内容的深度和广度可能比教学大纲和教材有所提高和扩展 考试形式与试卷结构 考试采用闭卷 笔试形式 全卷满分为 分 考试时间为 分钟 试卷包括选择题 填空题和解答题等题型 填空题只要求直接填写结果 不必写出计算 过程或推证过程 解答题包括计算题 证明题和应用题等 解答应写出文字说明 演算步骤或 推证过程 试卷由中等难度题和难题组成 总体难度高于高考 低于奥林匹克竞赛 历届试题集萃 高一数学部分 首届展示活动高一数学 已知函数f x 对于任意的x y R 都有f x f y f x y x y 则f A B C D 首届展示活动高一数学 已知函数f x 同时满足以下三个条件 存在反函数f x 点 在函数f x 的图象上 函数f x 的反函数为f x 则f 首 届 展 示 活 动 高 一 数 学 高 斯 记 号 x 表 示 不 超 过 实 数x的 最 大 整 数 如 则方程 l o g l g x 的解集为 首届展示活动高一数学 据统计 某个商场开业后的第 个月销售某种商品的数 量依次为 万件 万件 万件 据预测 开业后 年内的第x个月的销售量y万件近似 地符合函数关系f x a x b x c或g x p q x r 其中 a p q 统计开业后第 个月的销售量为 万件 问开业后 年内应选择哪种函数 为什么 并预计第 个月的 销售量 首届年度总评高一数学 设M N 映 射f M N使得任意的x M 都有x f x x f x 为奇数 这样的映射共有 A 个 B 个 C 个 D 个 首届年度总评高一数学 由方程 x y 确定的曲线所围成的图形的面积 为 A B C D 首届年度总评高一数学 设x y R 且满足x y 则T x y x y 的最小值为 A B C D 首届年度总评高一数学 函数f定义在正整数有序数对的集合上 并满足f x x x f x y f y x x f x y f x x y 则 f A B C D 无法计算 首届年度总评高一数学 设f x 是定义在R上的奇函数 且对任意a b R 当a b 时 都有 f a f b a b 当f a f b 时 则a b的大小关系为 首届年度总评高一数学 已知一棱长为 的正四面体内一点P到 个面的距离 第一部分 解题技能展示 分别为 则点P到第 个面的距离为 首届年度总评高一数学 设 x 为不超过实数x的最大整数 则 k k 首届年度总评高一数学 若方程x y x y m 对m的任何一个值都只 表示一条直线 求m的取值范围 首届年度总评高一数学 已知函数f x x x x x x 是否存在实数m 使得不等式f x m 对于任意x R恒成立 若 存在 求实数m的取值范围 首届年度总评高一数学 如图甲 在直角梯形A A A D中 A A A D A A A A 且B C分别是边A A A A 上的一点 沿线段B C C D D B分别将 B C A C DA D B A 翻折上去恰好使A A A 重合于一点A 如图乙 当A D A A 时 求二面角A C D B的平面角的正切值 第二届展示活动高一数学 B o t ht h e f i e l do fd e f i n i t i o n sa n dt h er a n go f t h e f u n c t i o n f x l o ga x a a a r e t h e nt h ec o n s t a n tai s A B C D 第二届展示活动高一数学 一个圆球从底面周长为l 高为a的圆锥形沙堆的顶部沿 着表面相对于水平面 的角度环绕沙堆向下滚动 当小球滚到沙堆底部时 小球在沙堆上 划过的痕迹长度为 A a B a C a D a 第二届展示活动高一数学 高中数理化 杂志是面向广大高中生发行的国家核心期 刊 内容丰富详实 文章来源极广 现杂志正举行全国优秀论文征集活动 在征集的论文中采 取先粗选再细选的方法 若化学编辑遴选初选稿件的速度为 分钟每篇 物理编辑遴选初选 稿件的速度为 分钟每篇 数学编辑遴选初选稿件的速度为 分钟每篇 假定各科编辑各 一人 某天上午 个编辑同时开始遴选 且每编辑完成一篇后马上按铃示意 按铃时间忽略 不计 已知最后一声铃响是同时响的 则在这个过程中至少听到声铃响 A B C D 第二届展示活动高一数学 设f x a x a x a a m 表示不超过实数m的 最大整数 则函数 f x f x 的值域为 A B C D 第二届展示活动高一数学 年上海世博会筹备期间 上海市某街道供电电缆更 新换代 在运输圆柱形电线杆的过程中 为防止线杆滚动 工人师傅用 铁丝将几根线杆扎住 截面如右图所示 如果线杆的底面半径是 c m 则铁丝的长度为 交接处使用的长度不计 第二届展示活动高一数学 某种商品准备降价 有四种降价方 案 先降价m 再降价n 先降价n 再降价m 先降 价m n 再降价m n 一次性降价 m n 其中 m n 则四种降价方案中 降价最少的方案是 第二届展示活动高一数学 将 随机地分解成两个非负数之和 如 或 再把每一个数改写为与它最接近的整数 如 分 别改成 和 分 别 改 成 和 那 么 最 后 得 到 的 两 整 数 和 为 的 概 率 为 第二届展示活动高一数学 对任意数列 an 可定义其 阶差分数列 an 为 an an an n 于是 等差数列可以定义为 阶差分数列为常数列的数列 如果一个数列的 阶差分数列为等差数列 我们称之为 阶等差数列 写出两个 阶等差数列的通项公式 试确定 阶等差数列的通项公式与前n项和公式 第二届年度总评高一数学 将正整数从小到大依次插入到数列 n 其中n N 中 且 n与 n 之间的正整数的个数为n 得到数列 an 则适合am 的正整数m A B C D 第二届年度总评高一数学 某运输设备是一个有底有盖的圆柱装备 它的高为 r 底面半径为 r 那么此圆柱装备最多能装进半径为r的铁球 个 A B C D 第二届年度总评高一数学 已知函数f x x a x b x c x d a b c d为实 常数 的图象过A B C 则f f 等于 A B C D 第二届年度总评高一数学 函数f n n n n n n n N 的最小值等于 第二 届 年 度 总 评 高 一 数 学 设 函 数f x x x 若 x 表示不大于x的最大整数 则函数 f x f x 的值域是 第二届年度总评高一数学 右图是一个数表 第 一行依次写着从小到大的正整数 然后把每行的相邻两 第一部分 解题技能展示 个数的和写在这两数的正中间的下方得到下一行 数表从左到右 从上到下无限 则 在 表中出现次 第二届年度总评高一数学 已知二次函数f x x m x 若对于 上的任 意三个实数a b c 函数值f a f b f c 都能构成一个三角形的三边长 则满足条件的 m的取值范围是 第三届展示活动高一数学 设 且t a n t a n 是方程x x 的两个实根 则 A B C 或 D 无法确定 第三届展示活动高一数学 一批长 c m的条形钢材 须将其截成长 mm与 mm的两种毛坯 则钢材的最大利用率为 A B C D 第三届展示活动高一数学 若x R n N 规定 Hnx x x x x n 例如 H 则函数f x x H x A 是奇函数不是偶函数 B 是偶函数不是奇函数 C 即是奇函数又是偶函数 D 即不是奇函数又不是偶函数 第三届展示活动高一数学 已知函数f x x x 关于x的实系数方程 f x b f x c 恰有 个实根 则实数c的取值范围是 第三届年度总评高一数学 已知定义在R上的奇函数f x 且函数f x 的周 期为 若f 则f f 的值为 A B C D 第三届年度总评高一数学 已知f x l gx x 有 个零点x x 则 A x x B x x C x x D x x 第三届年度总评高一数学 如右图 先把半径为 的圆以 直径A B为界分割成上 下两个半圆 然后将下半圆绕点A旋转 角 其中 且A B 为直径 再以 B A B 为圆心角画圆 弧B B 若把图中两阴影部分的面积分别记为S S 则当 时 S S 第三届年度总评高一数学 如右图 若从点O 所作的两条射线OM与ON上分别有点M M 与点 N N 则 S OM N S OM N OM OM ON ON 若从点O所作的不 在同一平面内的三条射线O P O Q O R上分别有点 P P 点Q Q 和点R R 则类似的结论为 第三届年度总评高一数学 今有男女各 n人 围成内外两圈跳舞 每圈各 n人 有 男有女 外圈的人面向内 内圈的人面向外 跳舞规则如下 每当音乐一起 如面对面者为一 男一女 则男的邀请女的跳舞 如果均为男的或均为女的 则鼓掌助兴 曲终时 外圈的人均 移到左邻的位置 如此继续下去 直至外圈的人移动一周 证明 在整个跳舞过程中至少有一次跳舞的人不少于n对 第四届展示活动高一数学 如右图 在任意平行四边形 A B C D中 E F G H分别是四边B C C D DA A B的中点 A E与DH交于M点 A E与B F交于N点 C G与B F交于P 点 C G与DH交于Q点 求两个四边形A B C D与MNP Q的面 积之比 第四届展示活动高一数学选做题 在 A B C中 求证 t a nA t a nB t a nC t a nA t a nB t a nC 设f x x x m n n p p m 求f m f n f n f p f p f m 的值 第四届年度总评高一数学 平面上有 个定点A B 另有 个与A B不重合的动点 C C C C 若使 s i n A CiB A CjB i j i j 则称 Ci Cj 为 一个好点对 那么这样的好点对 A 不存在 B 至少有一个 C 至多有一个 D 恰有一个 第四届年度总评高一数学 伦敦奥运会开幕在即 全民的体育健身风潮愈演愈烈 某 大型电视栏目 城市之间 是全民性的一个体育游戏项目 现将其中一环节概括为数学题如 下 设A城市的人穿红衣服 B城市的人穿黑衣服 C城市的人穿白衣服 个城市的人各 个 现让他们全部跑入甲 乙 个房间中 若要求每个房间里穿 种颜色衣服的人都有 且 个房间中 种颜色衣服的人数的乘积相等 问共有多少种跑法 第四届年度总评高一数学 设函数fn x x n x 在区间 上的最大值为 an n 求数列 an 的通项公式 求证 对任何正整数n n 都有an n 成立 设数列 an 前n项和为Sn 求证 对任意正整数n 都有Sn 成立 第五届展示活动高一数学 某商场国庆期间搞促销活动 规定 顾客购物总金额不超 过 元 不享受任何折扣 如果顾客购物总金额超过 元 则超过 元部分享受一定 的折扣优惠 按下表折扣分别累计计算 可以享受折扣优惠金额折扣率 第一部分 解题技能展示 不超过 元的部分 超过 元的部分 某人在此商场购物获得的折扣金额为 元 则他购物实际所付金额为 元 第五届展示活动高一数学 年南非德班国际气候大会上 与会的各国代表共提 了P P N 条议案 已知有些国家提出了相同的议案 且任何两个国家都至少有一条议案 相同 但没有两个国家提出全部相同的建议 则参与会议的国家不多于个 第五届展示活动高一数学 在一张半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯 桌子 边缘一点处的照度I和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角 的正弦成正比 和这点到 光源的距离r的平方成反比 即I k s i n r k是与光强度有关的常数 那么怎样选择电 灯悬挂的高度h 才能使桌子边缘最亮 第 五 届 年 度 总 评 高 一 数 学 不 超 过 的 只 有 三 个 正 因 数 的 正 整 数 的 个 数 是 第五届年度总评高一数学 对于集合M 定义函数fM x x M x M 对于两 个集合M N 定义集合M N x fM x fN x 已知A B 写出fA 和fB 的值 并用列举法写出集合A B 用C a r d M 表示有限集合M所含元素的个数 求C a r d X A C a r d X B 的最小值 有多少个集合对 P Q 满足P Q A B且 P A Q B A B 第六届展示活动高一数学A B卷 设 x 表示不超过x的最大整数 则 l g l g l g l g l g l g A B C D 第六届展示活动高一数学A B卷 小明去电玩城玩游戏 他先用一个游戏币启动第 一台游戏机 并在这台游戏机上用了剩余游戏币的一半 停止游戏时 又用了一个游戏币关 闭这台游戏机 之后 他又用一个游戏币启动了第二台游戏机 在这台游戏机上他又用了剩 余游戏币的一半 同样需要一个游戏币才能关闭第二台游戏机 接着 他又用同样的方式玩 了第三和第四台游戏机 当他关闭第四台游戏机后 发现身上只剩下一个游戏币 问 小明启 动第一台游戏机之前身上总共有多少个游戏币 第六届展示活动高一数学A B卷选做三 教室的墙壁上挂着一块黑板 它的上下边缘 分别在学生的水平视线上方a米和b米 问学生距墙壁多远时看黑板的视角最大 第六届展示活动高一数学B卷 已知函数f x a x l o g ax a 且a 在 上的最大值与最小值之和为l o g a 则a的值为 A B C D 第六届展示活动高一数学B卷 记集合T M a a a a ai T i 将M中的元素从大到小的顺序排列 则第 个数是 第六届年度总评高一数学 一个封闭的圆台状玻璃瓶 里面装有水 壁厚忽略不计 正 立时水面高与容器高之比为 在瓶壁齐水处划个记号 现倒立时 水面恰好仍与刚才的 记号对齐 则圆台的下底与上底的半径之比为 A B C D 第六届年度总评高一数学 已知 x y R 函数f x 满足f x f y f x y x y 若f m 则满足f n 的正整数对 m n 共有 个 A B C D 第六届年度总评高一数学 某学习英语的A P P应用软件具有选定一组或多组英文单 词 根据艾宾浩斯记忆曲线在十四天内进行初记和强化复习的功能 对于每一组单词 词量 自定 初记完成后 A P P提示 立即复习一遍 然后在第二 第四天 第七天 第九天 第十 天 第十四天 每天复习一遍 该组单词 其他天无须复习 当你在这十四天内 按时正确地 拼写这组单词后 A P P就不再提示对该组单词的记忆 高中 英语 第一册 下 生词表中 U N I T UN I T 共 个单词 请你将这 个单词适当分组 利用A P P的强化复习功能 制定一个在 天内记忆 个单词的计划 把每天需要初记的单词数和每天需要初记和复 习的单词总数填入下表中 使得每天初记和复习的单词总数不少于 个 且不多于 个 天数 初记单词数 初记和复习 单词总数 第六届年度总评高一数学 世界杯球场草皮是在特定的种植基 地进行培育的 右图是某草皮种植基地的一个标准种植场中的一个正 方形区域 其边长为 m 在点A处有一个可以转动的特殊的喷水口 且喷水口每次喷出的水所组成的角度为 如右图中 P A Q 其中点 P Q分别在边B C C D上 设 P A B t a n t 用t表示出P Q的长度 并求 C P Q的周长l是否为定值 问喷水口喷射在正方形A B C D内部区域的面积S至多为多少平方米 第七届展示活动高一数学 若定义域在 的函数f x 满足 对于任意x x 当x x 时 都有f x f x f f x f x f x f x 则f f A B C D 第一部分 解题技能展示 第七届展示活动高一数学 对于平 面上的点集 如果连接 中任意两点的 线段必定包含于 则称 为平面上的凸 集 右图为平面上 个点集的图形 阴影区 域及其边界 其中为凸集 的是 填序号 第七届年度总评高一数学 右图为某糕点师制作的蛋糕 已知蛋 糕直径为 厘米 在蛋糕上需要用水果点缀出由四个全等三角形组成 的造型 其中O为圆心 设计要求 A B O 则该造型面积S最大 值为 A B C D 第七届年度总评高一数学 如图 在正方形A B C D中 E为A B 的中点 P为以A为圆心 A B为半径的圆弧上的任意一点 设向量A C D E A P 则 的最小值为 第七届年度总评高一数学 已知函数f x s i nx c o sx s i n x 求函数f x 的最值 如果函数f x 在 M 上恰有 个零点 求M的取值范围 第八届展示活动高一数学 已知函数f x l o g x 若实数a b a b 满足f a f b 则a b的取值范围是 A B C D 第八届年度总评高一数学 定义 符合f x x的x称为f x 的一阶不动点 符合f f x x的x称为f x 的二阶不动点 设函数f x x b x c 若函数f x 没有一 阶不动点 则函数f x 二阶不动点的个数为 A B C D 第八届展示活动高一数学 如图所示的沙漏中 容器的上部装有细沙 ac m 细沙从容器上部慢慢地匀速漏到下部 tm i n后上部剩余的细沙量 为y ae b t c m 经过 m i n后发现容器上部还有一半的沙子 则再经过 m i n 容器上部的沙子只有开始时的 第八届展示活动高一数学 我们知道对任意a b R 有 a b 即a b a b 令a m b n 则m n 有m n m n 当 且仅当m n时 取 你能利用这个原理来解决下面的问题吗 设m i n a b 表示a b中较小的数 则不等式m i n x x m i n x x 的解集 为 第八届展示活动高一数学选一 将 个全等的正三棱锥的底粘在一起 恰好得到一 个所有二面角都相等的六面体 并且该六面体最短棱长为 求最远两顶点的距离 第八届年度总评高一数学 考虑以下数列 an n N a n n n an n an l n n n 其中满足性质 对任意的正整数n an an an 都成立 的数列 是 A B C D 第八届年度总评高一数学 设a b为非零向量 b a 两组向量x x x x 和 y y y y 均由 个a和 个b排列而成 若x y x y x y x y 所有可能取 值中的最小值为 a 则a与b的夹角为 A B C D 第八届年度总评高一数学 一个透明密闭的正方体容器中 恰好盛有该容器一半容积 的水 任意转动这个正方体 则容器中水面的形状可以是 三角形 菱形 矩形 正方形 其中正确的结论是 把你认为正确的序号都填上 第八届年度总评高一数学 分子为 且分母为正整数的分数称为单位分数 我们可以 把 分拆为若干个不同的单位分数之和 如 依此类推可得 m n 其中m n m n N 则m n 第八届年度总评高一数学 在R t A B C中 A B A C AD B C于D 求证 AD A B A C 在四面体A B C D中 类比上述结论 你能得到怎样的猜想 并说明理由 T i p s 如果一条直线垂直于一个平面内两条相交直线 则这条直线与此平面垂直 如 果一条直线垂直于一个平面 则该直线垂直于此平面内的任意一条直线 第一部分 解题技能展示 高一数学参考答案 D 解 假设销售量符合函数关系f x a x b x c时 有 f a b c f a b c f a b c 化简得 a b c a b a b 解得a b c 则f x x x 所以f 万件 假设销售量符合函数关系g x p q x r时 有 g p q r g p q r g p q r 化简得 p q r p q q p q q 解得q p r 则g x x 所以g 万件 因为 f g 所以应选择函数 g x x 则g 万件 所以预计第 个月销售量为 万件 B B C A a b 解 令t x y 则所给方程化为t t m t 显然 当m 时 原方程变 为t t 即t 或t 即x y 或x y 即m 时表示两条直线 与题设 要求不符 故m 于是 原方程对m的任何一个值都只表示一条直线 方程t t m m 有且 只有一个正数根 函数y t t m m 的图象与x轴的正半轴有且只有一个公共点 m 或m m 或m 所以m 解 x x 当 x 时取最小值 x x 当 x 时取最小值 x x 当 x 时取最小值 x x 当 x 时取最小值 x x 当 x 时取最小值 于是 当 x 时 f x 取得最小值为 fm i n x 假定不等式f x m 对于任意x R恒成立 则 m 即 m 即 m 所以 存在实数m使得原不等式对于任意x R 恒成立 且实数m的取值范围是 解 由于三点A A A 重合于一点A 则A B A B A D A D A C A C 在直角梯形A A A D中 由勾股定理得 A C A C A A 由于A B A C A B AD 则A B 平面A C D 则A B C D 作A E C D于E 则C D 平面A B E 连B E 则C D B E 则二面角A C D B的平面角为 A E B 由于A E A B 则 c o s A E B A E B E C D A E C D B E S A C D S B C D S A C D S梯形 S A B D S A C B S A C D 则t a n A E B 故二面角A C D B的平面角的正切值 D C D C 解 an n an n n 设 an 为二阶等差数列 an an p n q p q为常数 p n 所以 a a p q a a p q a a p q an an p n q p q为常数 p n 将以上各式相加得an a p n n n q 所以 an p n n n q a p n p q n a p q 令p a p q b a p q c则通项公式an a n b n c 其中a b c是常数 进而得 Sn a a a an a n b n n c 第一部分 解题技能展示 an n n b n n n c a n a b n a b c n 令a a a b b a b c c 则Sn a n b n c n a b c 为常数 A D D B B B A D VO P Q R VO P Q R O P O P O Q O Q O R O R 证明 将男士记为 女士记为 外圈的 n个数a a a n与内圈的 n个数b b b n中有 n个 n个 因此 和a a a n b b b n 从而 a a a n b b b n b b b n 另一方面 当a 与b i面对面时 a bi a bi a nbi 中的 的个数表示这时跳舞 的对数 如果在整个过程中 每次跳舞的人数均少于n队 那么恒有 a bi a bi a nbi i n 从而总和 n i a bi a bi a nbi a a a n b b b n 由 与 矛盾知 至少有一次跳舞的人数不少于n对 根据平行线截割定理和三角形中位线定理得AM MN P Q P C EN C P G Q AM 则AM MN NE C P P Q Q G 其中MNP Q 是平行四边形 如下图 同理得BN NP P F D Q QM MH 则S梯形AMQ G S梯形C PNE S MNP Q 平移拼补法 又因为S A B E S C D G S C D A S A B C D 所以 S A B C D S A B E S C D G S梯形AMQ G S梯形C PNE S MNP Q S A B C D S MNP Q S MNP Q S A B C D S MNP Q 则S A B C D S MNP Q 即S A B C D S MNP Q 在 A B C中 A B C 则t a n A B t a n C t a nC 则 t a nA t a nB t a nC t a nC t a nAt a nB t a nC t a nA t a nB t a nC 故原等式正确 将已知等式化成 p m n p m n 则可根据 令 p t a nA m t a nB n t a nC 其中A B C是 A B C的三个内角 则f p t a nA t a nA c o sA s i nA s i nA c o sA t a n A 同理得f m t a n B f n t a n C 则 f m f n f n f p f p f m t a n B t a n C t a n C t a n A t a n A t a n B t a n A t a n B t a n C t a n A t a n B t a n C 又与 同理可证t a n A t a n B t a n C t a n At a n Bt a n C 故 f m f n f n f p f p f m B 设甲房间中的红 黑 白三种颜色衣服人数为x y z 则有 x y z 且 x y z x y z 即有 x y z x y z x y y z z x 于是有 x y z 因此x y z中必有一个取 不妨设x 代入式 得y z 此 时 y可取 相应地z取 共 种跑法 同理可得y 或者z 时 也各有 种跑法 但有x y z时 两种放法重复 因此可得共有 种跑法 f n x n x n x x n x x n x n x x 当x 时 由 f n x 知x 或者x n n 当n 时 n n 又f fn 故a 当n 时 n n 又f fn 故a 当n 时 n n 因为x n n 时 f n x x n n 时 f n x 所以fn x 在x n n 处取得最大值 即an n n n n n n n n 综上所述 an n n n n n n 当n 时 欲证 n n n n n 只需证明 n n 因为 n n C n C n n C n n Cn n n n n n n 第一部分 解题技能展示 所以当n 时 都有an n 成立 当n 时 结论显然成立 当n 时 由 知Sn a a an n n n 所以对任意正整数n 都有Sn 成立 p 解 因为r c o s R 所以 I k s i n r k s i n R c o s k R s i n c o s k R s i n c o s k R s i n c o s c o s R k 此时c o s s i n 即t a n 得h R t a n R 时 桌子边缘最亮 解 fA fB A B 由题意可知 对集合C X 若a C且a X 则C a r d C X a C a r d C X A B 若a C且a X 则C a r d C X a C a r d C X 所以 要使C a r d X A C a r d X B 的值最小 一定属于集合X 是否属于X 不影响C a r d X A C a r d X B 的值 集合X不能含有A B之外的元素 所以当X为 集合 的子集与集合 的并集时 C a r d X A C a r d X B 取到最小 值 因为A B x fA x fB x 所以A B B A 由定义可知 fA B x fA x fB x 所以 对任意元素x f A B C x fA B x fC x fA x fB x fC x fA B C x fA x fB C x fA x fB x fC x 所以f A B C x fA B C x 所以 A B C A B C 由 P A Q B A B知 P Q A B A B 所以 P Q A B A B A B A B 所以P Q 所以P Q 即P Q 因为P Q A B 所以满足题意的集合对 P Q 的个数为 C 解 设小明启动第i台游戏机之前身上的游戏币为xi个 i 且设x 于是xi xi i 令f x x x 则 x f x x x f f x x x f f f x x x f f f f x x 因为 x 所以x 即小明启动第一台游戏机之前身上有 个游戏币 解 设学生P距墙壁x米 黑板上 下边缘与学生P的水平视线PH夹角分别为 A PH B PH 其中 有t a n a x t a n b x 则 t a n t a n t a n t a n t a n a x b x a b x a x b x a b x a b x a b x a b a b 当且仅当x a b x 即x a b 时 t a n 取最大值a b a b 由于 为锐角 故此时 也最大 即学生距墙壁a b米时 看黑板的视角最大 最大视角为a r c t a na b a b D A A 天数 初记单词数 初记和复习单词总数 解 由题意得B P t C P t t DA Q D Q t a n t t C Q t t t t 所以 P Q C P C Q t t t t t 所以 l C P C Q P Q t t t t t t t 是定值 S S正方形A B C D S A B P S A D Q t t t t t 因为 t 所以S t t 当且仅当 t t 即t 时取等号 所以所求面积S至多为 c m B C 解 f x s i n x s i n x 当 s i n x 时 f x s i n x s i n x 令t s i n x 则 f x g t t t t g t 在 上单调递减 g t 当 s i n x 时 f x s i n x s i n x 令t s i n x 则 f x g t t t t g t 在 上单调递增 g t 第一部分 解题技能展示 综上 f x 的最大值为 最小值为 f x 的周期T 由 知 当且仅当s i n x 时 f x 当x 时 f x 有且仅有两个零点 因为 所以当 M 时 f x 在 M 上恰有 个零点 A D 选一 解 如图 作C E AD 易证E F AD 则 C E F为面 AD F与面A C D所成二面角的平面角 设G为C D的中点 同理 A G B为面A C D和面B C D所成二 面角的平面角 由已知 C E F A G B 设底面 C D F的边长为 a 侧棱AD长为b 在 A C D中 C E b A G a 所以C E A G a b b a a b 在 A B C中 易求得A B b a b a 由 C E F A G B得 A B C F A G C E 即 b a a b a b a a b 从而求得b a 由b 从而 a 故最远的两点距离是 D A 证明 如图所示 由射影定理 得AD B D D C A B B D B C A C B C D C 所以 AD B D D C B C B D B C D C B C B C A B A C 又B C A B A C 所以 AD A B A C A B A C A B A C 猜想 在四面体A B C D中 A B A C AD两两垂直 A E 平面B C D 则 A E A B A C AD 证明 如图 连接B E并延长交C D于F 连接A F 因为A B A C A B AD A C AD A 所以A B 平面A C D 又A F 平面A C D 所以A B A F 在R t A B F中 A E B F 所以 A E A B A F 在R t A C D中 A F C D 所以 A F A C AD 得 A E A B A C AD 第二部分 建模论文 建模论文写作指导 一 建模论文的标准组成部分 建模论文作为一种研究性学习有意义的尝试 可以锻炼学生发现问题 解决问题的能 力 一般来说 建模论文的标准组成部分由论文的标题 摘要 正文 结论 参考文献等部分组 成 现就每个部分做个简要的说明 题目 题目是给评委的第一印象 所以论文的题目一定要避免指代不清 表达不明的现象 建 议将论文所涉及的模型或所用的计算方式写入题目 如 用概率方法计算商场打折与返券的 实惠效应 摘要 摘要是论文中重要的组成部分 摘要应该使用简练的语言叙述论文的核心观点和主要 思想 如果你有一些创新的地方 一定要在摘要中说明 进一步 必须把一些数值的结果放在 摘要里面 例如 我们的最终计算得出 对于消费者来说 打折比返券的实惠率提高了 摘要应该最后书写 在论文的其他部分还没有完成之前 你不应该书写摘要 因为摘要 是论文的主旨和核心内容的集中体现 只有将论文全部完成且把论文的体系罗列清楚后 才 可写摘要 摘要一般分三个部分 用三句话表述整篇论文的中心 第一句 用什么模型 解决什么问题 第二句 通过怎样的思路来解决问题 第三句 最后结果怎么样 当然 对于低年级的同学 也可以不写摘要 正文 正文是论文的核心 也是最重要的组成部分 在论文的写作中 正文应该是从 提出问 题 分析问题 选择模型 建立模型 得出结论 的方式来逐渐进行的 其中 提出问题 分 析问题应该是清晰简短 而选择模型和建立模型应该是目标明确 数据详实 公式合理 计算 精确 在正文写作中 应尽量不要用单纯的文字表述 尽量多地结合图表和数据 尽量多地使 用科学语言 这会使得论文的层次上升 结论 论文的结论集中表现了这篇论文的成果 可以说 只有论文的结论经得起推敲 论文才 可以获得比较高的评价 结论的书写应该注意用词准确 与正文所描述或论证的现象或数据 保持绝对的统一 并且一定要对结论进行自我点评 最好是能将结论推广到社会实践中去 第二部分 建模论文 检验 参考资料 在论文中 如果使用了其他人的资料 必须在论文后标明引用文章的作者 应用来源等 信息 二 建模论文的写作步骤 确定题目 选择一个你感兴趣的生活中的问题作为研究对象 并根据研究对象设置论文题目 最好 是找一位或几位老师帮助安排研究课题 在确定好课题后 应该写一个写作计划给指导老师 看看 并征求他们对该计划的建议 开展科研课题 去图书馆 互联网上查阅与课题相关的资料 观察有关的事件 收集与课题相关的信息 同时如果有条件的话 可以去拜访相关领域的专家和学者 然后将前期所收集到的资料与自 己所学的相关知识组织在一起 进行论文的结构论证 完成这些工作后 你应该要制定一个 课题时间安排表 这样能保证书写论文的循序渐进 记住在开始写论文后一定要不断地和老 师 家长进行沟通 让老师和家长斧正论文中出现的明显错误 并能提出一些更好的研究建 议 在论文写作结束以后 一定要得出结论 记住 在论文的结果出来后 有可能得出的结果与 假设并不相