实数与根式-初中数学联赛题型解读系列(三).pdf

联赛题型解读之 三 实数与根式 一 实数与根式 真题分值分析 当有理数不足以满足大家的运算需求时 无理数就进入了我们学习的范围 实数和二次 根式在初中阶段 既拥有实数赋予的性质 可以向绝对值 有理数定义 整除数论等方向进 行拓展 也可以利用二次根式这特殊的代数结构承接了整式分式的部分特点 继续向方程函 数进行拓展 下面我们通过统计近 15 年初中数学联赛中涉及实数或根式考点的分值 注 至少在结 构和形式上是对根式的考察才会计入分值统计 帮助大家更好的了解实数与根式这个模块 的考察比重 总体来看 历年对实数和根式的考察一般在 7 分到 14 分之间 意味着会在一试考察两道题 左右 虽然近两年对纯根式的考察有所减少 但是结合近 5 年联赛题型风格 1 多知识点 的融合 2 知识覆盖面广 3 变形构造等技巧性较低 所以作为考生 我们需要把每一个 知识都牢牢抓在手里 以被不时之需 二 实数与根式的基本知识 性质与技巧 大部分实数与根式问题有两个方向 一个是偏实数 往有理数 无理数 绝对值 非负 性等方向 另一个是偏二次根式 此时会更多的结合代数式常见的变形技巧 如因式分解 乘法公式 平方 配方 配对 设中间量等方法 实数和二次根式作为有理数和整式分式的延续 也作为一元二次方程的预备知识 是初 中知识体系的一个纽带 拥有承前启后的属性 掌握这一块对大家来说非常重要 1 实数的基本性质 这里介绍常用一下实数的一些基本结论和性质 1 有理数与无理数 a 有理数 可以表示为 p q 的形式 其中 1p q 且可q为正整数 用符号Q表示 b 无理数 不能表示为两个整数的商的形式的数 7 14 14 7 14 14 7 21 21 7 14 14 14 0 7 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 近15年 实数与根式 考察分值 c 实数 有理数和无理数构成了实数 用符号R表示 d 有理数和无理数铺满整个数轴 无理数比有理数要多 e 绝对值 0a 且ab 表示数轴上的点a到点b的距离 2 2为无理数 a 23 为无理数 b 如果有理数 p q满足 20pq 则 0pq 反之依然 c 有理数 a b c d满足 33abcd 则 ac bd d 设n为非负整数 则n为有理数 当且仅当n为完全平方数 进而 n为整数 2 二次根式的基本性质与处理技巧 1 根式的基本性质 a a的双重非负性 0 0aa b 公式 2 2 aaaa 2 根式的常见处理技巧 a 非负性 根式的双重非负性 能分析清楚根式中的字母的范围 b 有理化 平方有理化 立方有理化 平方差有理化 立方差有理化 分母有理化 有理化可以消去部分根式 将代数式的结构简化 甚至可以直接变成整式问题 c 换元 换元也是一种简化根式的代数结构的处理办法 通常可以把问题直接转化为整式问 题 d 配对 共轭根式 有理化根式 利用共轭根式的和 差 积的性质 利用整式中的乘法公式等处理办法 e 配方 配方思想在根式中也是基本的技巧 f 引入中间参数 引入中间参数是代数中的常见技巧 在根式中也经常得到运用 三 联赛中实数与二次根式的考察方式 这里我们将联赛中考察的所有实数与二次根式 依照试题的知识结构和难度 做了 4 大题型 的分类 然后每个题型下又各有细小的分类 当然这里的分类仅限联赛考察过的题目 并不 包含我们学习中遇见的所有的分式题型 比如连等分式等 那么接下来就让我们看看近 20 年联赛中 分式都考察了什么题型 1 实数的问题 1 比较大小 这里对比了一下 2012 年和 2002 年的两道题 相似度为 99 例1 2012 年联赛 已知 2 1a 32b 62c 那么 a b c的大小 关系是 A abc B acb C bac D bca 解析 解析 C 因 为 1 21 a 1 32 b 所 以 11 0 ab 故ba 又 62 21 621ca 而 22 6 21 32 20 所以621 故ca 因此bac 例2 2002 年联赛 已知21a 2 26b 62c 那么a b c的大 小关系是 A ab c B bac C cba D cab 2 实数中的非负性 例3 2010 年联赛 若实数 a b c满足等式23 6ab 49 6abc 则c可能 取的最大值为 A 0 B 1 C 2 D 3 解析 解析 可以解得 93 0 5 32 42 0 5 c a c c b 所以c的最大可能值为 2 3 实数性质 例4 1996 年联赛 设正整数 a m n满足 2 4 2amn 则这样的 a m n的取 值 A 有一组 B 有二组 C 多于二组 D 不存在 解析 解析 将原式两边平方得到 2 4 22amnmn 由于a mn 都是正整数 所以 2 8amnmn 又mn 仅当81mn 时a为正整数 所以共有 1 组解 4 高斯函数 例5 2009 年联赛 用 x表示不大于x的最大整数 则方程 2 230 xx 的解的个 数为 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 解析 将方程变形得 2 3 2 x x 所以 2 3 1 2 x xxx 所以13x 或 12x 或 12x 所以 112x 或1 23x 所以 1 2 3x 带入得到 123 1 3 7xxx 故而一个有 3 个解 2 二次根式问题 二次根式可以考察的问题比较多 1 化简求值 例6 2000 年竞赛 已知 333 421a 那么 23 331 aaa 解析 解析 可知 3 2121 1a 所以 3 1 21 a 所以 3 23 3311 112 1 1 aaaa 例7 1993 年联赛 1 3 333 421 3 999 可以化简成 A 33 321 B 33 321 C 3 21 D 3 21 解析 解析 原式 1 1 121 3 333 1 3221 9 3 1 3 1 3 3 1 3 21 32121 21 2 二次根式的非负性 二次根式的双重非负性 往往是一类二次根式问题的指路石 少量题目需要用到因式分解 等知识 例8 2003 年联赛 满足等式200320032003 2003x yxyxyxy 的正整 数对 xy 的个数是 A 1 B 2 C 3 D 4 解析 解析 将 2003 移到等号左边并变形得到 200320030 xyxy 所以20030 xy 即 2003xy 又 2003 是质数 所以共有2003x 1y 1x 2003y 两组解 故选择 B 3 分母有理化 例9 2004 年联赛 计算 1111 12233420032004 解析 解析 将原式分母有理化得 原式 12233420032004 200412 501 1 4 多重根式化简 例10 2006 联赛 设a b为有理数 且满足等式36ab 142 3 则ab 的值为 A 2 B 4 C 6 D 8 解析 解析 因为 6142 36113 126 333 所以 333ab 即 31 3 0ab 由a b为有理数 则3a 1b 即4ab 5 整体 例11 2009 年联赛 设71a 则 32 312612aaa A 24 B 25 C 4 7 10 D 4 7 12 解析 解析 A 由 2 17a 有 22 26 62aaaa 于是 3222 31261236212 6261261212621224aaaaaaaaaaa 6 共轭根式 例12 2008 年联赛 已知实数x y满足 22 200820082008xxyy 则 22 3233xyxy 2007 的值为 A 2008 B 2008 C 1 D 1 解析 解析 22 200820082008xxyy 22 2 2008 20082008 2008 xxyy yy 22 2 2008 20082008 2008 yyxx xx 由以上两式可得x y 所以 2 2 20082008xx 解得 2 2008x 所以 22222 323320073233200720071xyxyxxxxx 故选 D 7 连等根式 例13 1996 年联赛 设 333 199519961997xyz 0 xyz 且 333333 31995 19961997199519961997xyz 则 111 xyz 解析 解析 设 333 199519961997xyzk 显然0k 所以 333 199519961997 kkk xyz 带入方程可得 3333 333 kkkkkk xyzxyz 即 333 111111 kk xyzxyz 0k 3 111111 xyzxyz 由已知可得0 x 0y 0z 111 1 xyz 8 最值问题 在平面直角坐标系中距离的表达式需要用到二次根式 故而有一类二次根式结构的题目需要 用到数形结合再转化到几何问题中求解 例14 2006 年联赛 使 2 2 4816xx 取最小值的实数x取值为 解析 解析 8 3 在直角坐标系xOy中 设 0 2A 8 4B 0P x 有 2 4PAx 2 816PBx 则 22 8610PAPBAB 当且仅当A P B三点共线时 上式等号成立 因此 当且仅当A P B三 点共线时 原式取最小值 此时 易知BCPAOP 有2 CPB C P OA O 从而 18 33 OPOC 故原式取最小值时 8 3 x 整体来说 实数和根式中的题目 既有特色的的问题 也有结合乘法公式 轮换对称式 之后的高度综合的题目 所以可以考察的题型较多 部分题目难度和技巧性较高 我们考试在准备分式类的题目时 一方面要抓住偏简单的分式特色的题目 同时也要巩 固好整式的变形技巧 应付综合性较高的分式类题目 四 备战规划 1 梳理实数与根式的基本知识点和性质 做少量实数与根式相关的题目 熟悉巩固相关的知识点和性质 2 梳理基本的实数与根式的处理技巧和常见题型 这里我们梳理的四大类整式的基本考法 当然并非是可考察的分式的全部题型 但是基 本包含了联赛中的主要考法以及数学思想 同学们可以使用如下几本书进行更全面的梳 理和练习强化 专题篇推荐使用 真题分类实训 南山著 湖北长江出版集团 八年级实数章节 16 到 22 页 九年级 根式章节 1 到 10 页 大视野 九年级 黄东坡 湖北长江出集团 第一讲 冲刺篇推荐使用