导数在实际生活中的应用.ppt

高中数学选修 1 4导数在实际生活中的应用 新课引入 导数在实际生活中有着广泛的应用 利用导数求最值的方法 可以求出实际生活中的某些最值问题 1 几何方面的应用 2 物理方面的应用 3 经济学方面的应用 面积和体积等的最值 利润方面最值 功和功率等最值 例1在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 如图 做成一个无盖的方底箱子 箱底的边长是多少时 箱底的容积最大 最大容积是多少 解 设箱底边长为xcm 箱子容积为V x2h 则箱高 V 60 x 3x 2 令V 0 得x 40 x 0 舍去 得V 40 16000 答 当箱底边长为x 40时 箱子容积最大 最大值为16000cm3 当x 0 40 时V x 0 当x 40 60 时V x 0 V 40 为极大值 且为最大值 例2圆柱形金属饮料罐的容积一定时 它的高与底与半径应怎样选取 才能使所用的材料最省 解 设桶底面半径为R 因为S R 只有一个极值 所以它是最小值 答 当罐高与底的直径相等时 所用材料最省 3 变式 当圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S时 它的高与底面半径应怎样选取 才能使所用材料最省 提示 S 2 Rh 2 R2h V R R2 S 2 R2 R SR R3 V R 0S 6 R26 R2 2 Rh 2 R2h 2R 例3在如图所示的电路中 已知电源的内阻为r 电动势为 外电阻R为多大时 才能使电功率最大 最大电功率是多少 解 电功率P I2R 其中I 为电流强度 则 P E R r 2R 由P 0 解得 R r 列表分析 当R r时 P取得极大值 且是最大值 最大值为P 答 当外电阻R等于内电阻r时 电功率最大 最大电功率是 例4强度分别为a b的两个点光源A B 它们间的距离为d 试问在连接这两个光源的线段AB上 何处照度最小 试就a 8 b 1 d 3时回答上述问题 照度与光的强度成正比 与光源距离的平方成反比 解 如图 设点P在线段AB上 且P距光源A为x 则P距光源B 为3 x 0 x 3 P点受A光源的照度为 其中 k为比例常数 P点受B光源的照度为 从而 P点的总照度为 解得x 2 故当0 x 2时 I x 0 当2 x 3时 I x 0 因此 x 2时 I取得极小值 且是最小值 答 在连结两光源的线段AB上 距光源A为2处的照度最小 例5在经济学中 生产x单位产品的成本称为成本函数 记为C x 出售x单位产品的收益称为收益函数 记为R x R x C x 称为利润函数 记为P x 1 设C x 10 6x3 0 003x2 5x 1000 生产多少单位产品时 边际成本C x 最低 2 设C x 50 x 10000 产品的单价p 100 0 01x 怎样定价可使利润最大 解 1 c x 3 10 6x2 0 006x 5 g x g x 6 10 6x 0 006 0 解得 x 1000 而g x 在x 0上仅有一个极小值 故x 1000时边际成本最低 2 P x R x C x x 100 0 01x 50 x 10000 0 01x2 50 x 10000 x 2500 而P x 最大 此时P 100 25 75 答 生产1000个单位产品时 边际成本最低 当生产的单价为75时 利润最大 四 课堂练习1 将正数a分成两部分 使其立方和为最小 这两部分应分成 和 2 在半径为R的圆内 作内接等腰三角形 当底边上高为 时 它的面积最大 3 有一边长分别为8与5的长方形 在各角剪去相同的小正方形 把四边折起作成一个无盖小盒 要使纸盒的容积最大 问剪去的小正方形边长应为多少 4 一条水渠 断面为等腰梯形 如图所示 在确定断面尺寸时 希望在断面ABCD的面积为定值S时 使得湿周l AB BC CD最小 这样可使水流阻力小 渗透少 求此时的高h和下底边长b 五 回顾反思 1 解有关函数最大值 最小值的实际问题 需要分析问题中各个变量之间的关系 找出适当的函数关系式 并确定函数的定义区间 所得结果要符合问题的实