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九上第四章 相似三角形复习【知识点总结】一、比例线段1、比例的基本性质： ，比例的性质反映的是比例式与等积式的相互转换。2、比例线段：四条线段 ，那么a、b、c、d叫做比例线段。注意比例线段的顺序性。3、比例中项：三个数a、b、c满足比例式，则b叫做a、c的比例中项。同号两数的比例中项有两个，它们互为相反数；异号两数无比例中项；两条线段的比例中项只有一个。4、黄金分割：点P把线段AB分成AP和PB，使得 ，那么称线段AB被点P黄金分割，点P叫做线段AB的黄金分割点，线段AP与AB的比叫做黄金比，其中 0.618。判断一个点是否为黄金分割点，有两种方法：一是通过判断已知线段被这点分成的两条线段，是否满足为黄金比，二是根据定义判断三条线段是否满足定义中的比例关系。二、相似三角形1、概念：对应角相等、对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形，对应边的比叫做相似比。注意相似比的顺序性；记三角形相似时注意对应顶点写在对应位置上；全等三角形是特殊的相似三角形。2、用定义法证明三角形相似：用定义法证明三角形相似时，一定要说明三个角对应相等，三边对应成比例，缺一不可。3、相似三角形中对应边与对应角的找法，一般有如下规律：当图形中有直线平行时，同位角或内错角为对应角；当两个三角形有公共角时，公共角为对应角；对应角所对的边是对应边，对应边所对的角是对应角，对应边所夹的角是对应角；最大的边对最大的角，最大的角对最大的边，反之亦然。三、相似三角形的判定1、判定定理：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；两角对应相等，两个三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；三边对应成比例，两三角形相似。2、推论：两个直角三角形中斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。四、相似三角形的性质1、性质：相似三角形的对应角相等，对应边成比例；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方2、推论：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。五、相似多边形1、概念：各对应角相等、各对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，对应边之比叫做相似比。2、性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；相似多边形的周长比等于相似比；面积比等于相似比的平方。3、性质的推论：相似多边形对应的对角线之比等于相似比；相似多边形中，对应的三角形相似，其相似比等于原多边形的相似比。【典型例题解析】一、比例线段1、解比例【例1】（1)已知x：(x+1)=(1x)：3，求x； （2)若，求；（3)2、比例线段【例2】（1）若a、b、c、d成比例,且a=2, b=3, c=4,那么d= （2）下列各组线段的长度成比例的是（ ）A.2，3, 4, 1 B.1.5, 2.5, 6.5, 4.5 C.1.1, 2.2, 3.3, 4.4 D.1, 2, 2, 4二、相似三角形的判定【例3】如图，CD是RtABC斜边AB上的中线，过点D垂直于AB的直线交BC于E，交AC延长线于F求证：(1)ADFEDB；(2)CD2=DEDF【例4】已知：如图E、F分别是正方形ABCD的边AB和AD上的点，且。求证：AEF=FBD【练习1】如图所示五个正方形网格中的三角形如图所示，下面的四个三角形中，与如图中的三角形相似的是（ ）三、相似三角形的性质【例5】如图，已知，求证：【例6】已知：如图，ABCD中，求与的周长的比，如果，求【练习2】如图，在O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC=AB，点P在半圆弧AB上运动（不与A、B两点重合），过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点（1）如图1，求证：PCDABC；（2）当点P运动到什么位置时，PCDABC？请在图2中画出PCD并说明理由；（3）如图3，当点P运动到CPAB时，求BCD的度数【练习3】如图，已知P为ABC的BC边上的一点，PQAC交AB于Q ，PRAB交AC于R，求证：AQR面积为BPQ面积和CPR面积的比例中项。四、相似三角形性质的实际应用【例8】如图，为了求出海岛上的山峰AB的高度，在D和F处树立标杆DC和FE，标杆的高都是3丈，相隔1000步（1步等于5尺），并且AB、CD和EF在同一平面内，从标杆DC退后123步的G处，可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上，从标杆FE退后127步的H处，可看到山峰A和标杆顶端E在一直线上求山峰的高度AB及它与标杆CD的水平距离BD【练习4】（2009陕西）如示意图，小明想利用太阳光测量楼高于是小明边移动边观察，发现站到点E处时，可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠，且高度恰好相同此时，测得小明落在墙上的影子高度CD=1.2m，CE=0.8m，CA=30m（点A、E、C在同一直线上）已知小明的身高EF是1.6m，请你帮小明求出楼高AB（结果精确到0.1m）五、相似三角形的综合应用【例9】(2010荆州)如图，直角梯形OABC的直角顶点O是坐标原点，边OA、OC分别在x轴、y轴正半轴上，OABC，D是BC上一点，BD=OA=，AB=3，OAB=45，E、F分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持DEF=45。（1）、求D点的坐标；（2）、设OE=x，AF=y，试确定y与x之间的函数关系；【练习5】（2012资阳）如图，O为矩形ABCD中点，M、N分别为边BC、CD上的点，ONOM，若AB