八上全等三角形2015.2.16.doc

第十二章 全等三角形本章内容概述前面我们已学过线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识，七年级两册教科书中安排了一些说理的内容，这些为学习全等三角形的有关内容作好了准备.通过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识.同时为学习其他图形知识打好基础.全等三角形是研究图形的重要工具，学生只有掌握好全等三角形的内容，并且能灵活地运用它们，才能学好四边形、圆等内容. 本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学会如何利用全等三角形进行证明.本章分三节，主要是介绍全等形、三角形全等的概念；全等三角形的性质以及判定方法（直角三角形全等判定方法）；角平分线的性质以及判定、证明应用.从本章开始，要使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式.这既是本章的重点，也是教学的难点.12.1 全等三角形目标导航：1、了解全等形、全等三角形定义及全等三角形的对应元素；2、理解全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等；3、能够准确地辨认全等三角形中的对应元素.温故知新:1. 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫作三角形.2. 平移、旋转、翻折均不改变图形的形状和大小.教材知识讲解：知识点1 全等形的概念(1)定义：能够完全重合的两个图形叫作全等形.(2)全等形的判别方法：两个图形即完全重合.(3)能够完全重合的两个以上的图形，它们也是全等形.因此，在识别全等图形时候，主要看两个图形是否全等只与这两个图形的形状和大小有关，与图形所在的位置无关，只要把它们叠放在一起，看是否重合，重合即为全等形.【例1】 下列图形中是全等形的是_解析：上述图形中，(5)和(7)形状相同，但大小不同，(6)和(10)大小、形状都不同；(1)和(9),(2)和(3),(11)和(12)尽管方向不同，但大小、形状完全相同，所以它们是全等形，(4)和(8)都是五角星，是全等形.答案：(1)和(9),(2)和(3),(4)和(8),(11)和(12).知识点2 全等三角形的定义和表示方法(1)全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.注意：全等三角形是特殊的全等形(2)表示方法对应元素：“全等”用“”表示，读作“全等于”.例如，ABC与ABC全等，点A和点A，点B和点B，点C和点C是对应顶点，记作ABCABC.全等三角形的表示法，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，顺序不能随意书写.把两个全等的三角形重合到一起：对应顶点：重合的顶点；对应边：重合的边；对应角：重合的角.对应元素的确定方法：字母顺序确定法：由于在表示两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，因此可以利用字母的顺序确定对应元素.如果ABCDEF，先把两个三角形顶点的字母按照同样的顺序排成一排：ABC，DEF，然后按照同样的顺序找出对应元素：a.点A和点D，点B和点E，点C和点F分别是对应顶点；b.线段AB和线段DE，线段BC和线段EF，线段AC和线段DF分别是对应边；c.A和D，B和E，C和F分别是对应角.对应元素确定法：a如果全等的三角形中，有两个对应顶点已经确定，那么连接对应顶点的边是对应边，对应顶点的对边是对应边，以对应顶点为顶点的角是对应角，剩下的第三个角是对应角；b如果两条边为对应边，那么它们的对角为对应角，它们的夹角为对应角，第三条边为对应边；c如果两个角为对应角，那么它们的对边为对应边，它们的夹边为对应边，第三个角为对应角.图形特征确定法：a有公共边的，公共边一定是对应边如图1，ADBADC，则AD一定是两个三角形的对应边；b有公共角的，公共角一定是对应角如图2，ABDACE，则DAB和EAC是对应角；c有对顶角的，对顶角一定是对应角如图3，ABECDE，则1和2是对应角；d两个全等三角形的最大的边(角)是对应边(角)，最小的边(角)是对应边(角).【例2 】 如下图，ABC与DEF全等.找出对应顶点、对应边、对应角分别是什么.解析：ABCDEF，这就说明字母的对应顺序，对应顶点、对应边、对应角就自然具有对应关系了.答案：对应顶点有：点A和点D，点B和点E，点C和点F.对应边有：AB和DE，BC和EF，AC和DF.对应角有：A和D，B和E，C和F.知识点3 全等三角形的性质（重点）(1)性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等.(2)作用：运用全等三角形的性质可以证明：两条线段相等、两个角相等.(3)拓展：由全等三角形的对应边相等、对应角相等，可以进一步推广到对应高、中线、角平分线相等、全等三角形的周长相等、面积相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，面积相等的两个三角形也不一定全等.注意的是用全等三角形的性质证明线段或角相等，在运用这个性质时，关键是要结合图形或根据表达式中字母的对应位置，灵活地找到对应边或对应角，牢牢抓住“对应”二字.【例3】 已知ABCDEF，AB8，BC12，若ABC的周长为32，则DEF的三边长分别是多少？审题：本题给出了ABC的周长及AB和BC边长，可由周长求得AC边长；又有已知条件ABCDEF，可根据全等三角形的性质求出DEF的三边长.解析：因为AB8，BC12，且ABC的周长为32,所以AC3281212.又因为ABCDEF,所以DEAB8,EFBC12,DFAC12.答案：DE8，EF12，DF12.知识点4 全等三角形中的全等变换（难点）只改变图形的位置，而不改变其形状、大小的变换，叫作全等变换平移、翻折、旋转都属于全等变换.一个三角形经过全等变换，位置发生了变化，但其形状、大小未发生变化.通过观察两个全等三角形中的一个经过怎样的全等变换可以和另一个重合，从而可以确定它们的对应顶点、对应角和对应边.(1)平移型：如图所示，将ACE沿直线AC平行移动AB的长度，得到BDF，ACEBDF.(2)旋转型：如图，将ABC绕点A旋转一定的角度得到ADE，ABCADE.如图，将OAB绕点O旋转180得到ODC，则OABODC.(3)翻折型：如图，将ABC沿直线AB翻折，得到ABD，则ABCABD.如图，将ABD翻折得到ACE，这两个三角形的A重合，则ABDACE.【例4】 如图回答下列问题：1、如图，ABCDEF，B与E，C与F是对应顶点，问通过怎样的全等变换可以使它们重合，并指出它们相等的边和角. 审题：本题给出了ABCDEF，B与E，C与F是对应顶点，这样可推得经过全等变换后的重叠方式.解析：两个全等三角形是一定可以重合的，使两个图形完全重合的方法有三种：平移、旋转、翻折.答案：将DEF先沿直线EF翻折180，然后沿CB向左平移CF的长度，得到ABC，ABC与DEF重合或将ABC先沿BC向右平移CF的长度，再沿直线EF翻折180，得到DEF，则DEF与ABC重合.相等的边有：ABDE，BCEF，ACDF；相等的角有：AD，BDEF，ACBDFE.2、如图，将ABC绕其顶点B顺时针旋转30后得到DBE.回答：(1)ABC和DBE有什么关系？(2)求CBE的度数审题：本题的已知条件是“将ABC绕其顶点B顺时针旋转30后得到DBE”，由此可得出两个三角形的关系及旋转角.解析：将ABC绕其顶点B旋转得到DBE，是几何变换中的全等变换，改变的只是位置，而大小、形状没有变化，所以ABC和DBE全等答案：(1)根据旋转变换，得ABCDBE.(2)由ABC绕B点顺时针旋转30得到DBE，知BC绕B点顺时针旋转30得到BE，即CBE30.3、如图1所示，ABC绕着点B旋转(顺时针)90得到DBE，且ABC90.回答：(1)ABC和DBE是否全等？指出对应边和对应角(2)直线AC、直线DE有怎样的位置关系？审题：由ABC绕着点B旋转(顺时针)90得到DBE的条件得出这两个三角形全等，是本题的解题关键，再由全等性质得到对应角相等，进而可证垂直的问题.解答：(1)由题意可得ABCDBE，AC和DE，AB和DB，BC和BE是对应边；A和D，ACB和DEB，ABC和DBE是对应角.(2)延长AC交DE于点F，如图2所示，ABCDBE，AD.又ACBDCF(对顶角相等)，AACB90，DDCF90.AFE90，即ACDE.课堂问答问题1：如何理解“”的符号意义？答：这个“”的符号的意义是表示三角形全等.但是根据定义“形状、大小完全相同的三角形是全等三角形”.其中“”表示相似什么的是“现状相同”；而“=”表示的是大小相同.所以结合在一起来深刻理解三角形全等的真正意义，进而增强学生的符号意识.问题2：教材中“一个三角形通过平移、旋转、翻折后，位置发生了变化，但形状、大小都没有发生变化”如何理解？回答：一个三角形经过平移、旋转、翻折后得到的三角形与原三角形全等，所以它们的形状、大小不发生变化.全等三角形和三角形的位置不关.因为全等三角形的对应边是能重合的边，对应角是能重合的角，所以全等三角形的重要性质是：对应边相等，对应角相等运用全等三角形的性质解决问题时，关键要找准对应顶点，然后根据对应顶点找出对应边、对应角找对应边、对应角的方法：全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边是对应边.全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角.有公共边的，公共边一定是对应边.有公共角的，公共角一定是对应角.有对顶角的对顶角一定是对应角.两个全等三角形中：一对最长的边是对应边；一对最大的角是对应角.一对最短的边是对应边；一对最小的角是对应角.教材“思考”“探究”等答案：教材第31页探究答案：形状、大小完全一样；重合；完全重合.教材第31页思考答案：（1）ABCDBF；（2）ABCDBC；（3）ABCADE.教材第32页思考答案：对应边相等，对应角相等.典型例题剖析一、确定全等三角形的对应边对应角【例1】如图，ABCAEC，B=30，ACB=85求出AEC各内角的度数审题：本题给出了两个三角形全等及其中一个三角形中的两个角，可由三角形的内角和定理先求出此三角形的第三个内角，再根据全等的性质求出另一个三角形的各内角.解析：在解决此类问题时，要抓住对应关系，如对应顶点、对应边、对应角.在ABC中，已知ACB=85，B=30，根据三角形的内角和等于180，可得BAC=65解答：因为ABCAEC，所以EAC=BAC=65，E=B=30，ACE=ACB=85，所以AEC的内角的度数分别为65、30、85二、利用全等三角形的性质解题【例2】 如图，ABCDEF，BE=4，AE=1，则DE的长是（）A、5B、4 C、3D、2解析：根据全等三角形对应边相等，DE=AB，而AB=AE+BE，代入数据计算即可.ABCDEF，DE=AB。OBE=4，AE=1，DE=AB=BE+AE=4+1=5。答案：A三、全等三角形的性质与平行线的综合【例3】 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，ABCBAD.求证：（1）OA=OB；（2）ABCD审题：本题从ABCBAD入手，利用三角形全等的性质得到角等和边等的条件，在由等角对等边证得第（1）问，利用线段的和差关系证得OD=OC，然后等边对等角，发现两个顶角相等的等腰三角形，进而证得底角相等，再有内错角相等证得第（2）问.解析：（1）要证OA=OB，由等角对等边需证CAB=DBA，由已知ABCBAD即可证（2）要证ABCD，根据平行线的性质需证CAB=ACD，由已知和（1）可证OCD=ODC，又因为AOB=COD，所以可证CAB=ACD，即ABCD获证.证明：（1）ABCBAD，CAB=DBA，OA=OB（2）ABCBAD，AC=BD。又OA=OB，ACOA=BDOB，即OC=OD，OCD=ODC。AOB=COD，CAB=，ACD=，CAB=ACD，ABCD易混易误易错点 不能准确确定全等三角形的对应关系.例 如图所示，已知，指出其他的对应边和对应角.解析：注意：一般情况下，对于图形的全等来说，能够完全重合的部分是相互对应的.应结合图形将对应点写在对应位置上，以免出现错误.中考真题（2009海南）已知图中的两个三角形全等，则的度数是（）。A.72B.60 C.58D.50解析：要根据已知的对应边去找对应角，并运用“全等三角形对应角相等”即可得答案图中的两个三角形全等，a与a，c与c分别是对应边，那么它们的夹角就是对应角，=50。答案：D对比分析：教材第33页习题12.1第3题.中考题和教材中习题基本一样，都是考查全等三角形的性质根据“全等三角形对应角相等”找到对应角的关系，进而解决问题，只不过改变了题型而已.教材中习题答案教材第32页练习参考答案1、(2)对应边:AB=DB,AC=DC,BC=BC;对应角:A=D,ACB=BCD,ABC=DBC.(3)对应边:AB=AD,AC=AE,BC=DE;对应角:C=E,B=D,BAC=DAE.2、相等的边：OA=OD,OC=OB,AC=DB;相等的角：A=D,C=B,AOC=BOD.教材第33页习题12.1参考答案1、 解：对应边：AC和CA.对应角：B和D,BAC和DCA,BCA和DAC.2、 解：对应边：BN和CM,AN和AM.对应角：BAN和CAM,ANB和AMC.3、解：三角形内角和为180，a所对的角为180-60-54=66.又两个三角形全等，1=66.4、解：（1）对应边：EF和NM，EG和NH，FG和MH.对应角：E和N，EGF和NHM.（2）EGFNMH，EF=NM,EG=NH.EG-HG=NH=HG,即EH=GH，EF=2.1,EH=1.1,HN=3.3.MN=2.1,GN=1.1.HG=HN-GN=3.3-1.1=2.2.5、解：ACD=BCE.理由如下：ABCDEF，ACB=DCE.ACB-ACE=DCE-ACE,即ECB=DCA.6、解：（1）对应边：AD和AE，BD和CE,AB和AC.对应角：A和A，AEC和ADB,ACE和ABD.（2）AECADB，且ABD=39，AEC=ABD=39.A+ABC+ACB=180，A+ABD+1+ACE+2=180.A=50，1+2=52.1=2，1=26.12.2三角形全等的判定目标导航1、构建三角形全等的探索思路，体会研究几何问题的方法.2、探索理解三角形全等“边边边”、“边角边”、“角边角”以及“角角边”和“斜边直角边”的判定方法，会用这些三角形全等的判定方法进行证明.掌握综合法证明的格式.提高学生的逻辑思维能力.3、会用尺规作图作一个角等于已知角，了解作图的道理.通过观察几何图形，培养学生的识图能力.4、通过几何证明的教学，使学生养成尊重客观事实和形成质疑的习惯；通过自主学习的发展体验获取数学知识的感受，培养学生勇于创新，多方位审视问题的创造技巧.温故知新 1、前面学习了全等三角形的定义，知道了“两个形状和大小完全相等的三角形全等”，从定义的角度判定两个三角形的全等，这样需要三角形的三边、三角等六个元素对应相等时两个三角形全等，为下面的三角形全等的判定奠定基础. 2、在学习了全等三角形的定义后，又学习了全等三角形的性质“全等三角形的对应边、对应角相等”，这里可以类比平行线的性质和判定的思维方式，来研究三角形全等是否可以讲全等三角形的性质内容的已知和结论相互调换，即“对应边、对应角相等的三角形全等”，这样引出疑问：要探究两个三角形全等需要六个条件（三边、三角）对应相等，来证明三角形的全等吗？教材知识讲解知识点1 三角形全等的“边边边”公理（重点） 三边分别相等的两个三角形全等（“边边边”或“SSS”）. 判定关键：找所要证明的两个三角形的三边分别对应相等. 证明：如图所示。 在ABC和DEF中， ABCDEF（SSS）. 书写注意：要指出在所要证明的两个三角形中，便于使用证明需要的三边；还要写准三对对应边的顺序，不要找错对应边. 公理拓展：三角形的稳定性可以从三角形的三边长度的固定三角形形状大小就固定角度解释说明. 【例1】如图，已知AC=FE、BC=DE，点A，D，B，F在一条直线上要用“边边边”证明ABCFDE，除了已知中的AC=FE，BC=DE以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？审题：本题已知条件中具备了两组边对应相等，若用（SSS)证明全等，再添加第三组边相等即可. 解析：根据“边边边”公理可知，已知有的条件是AC=FE、BC=DE，缺少AB=FD.可以添加条件是AD=FB. AD=FB，AD+BD=FB+BD， 即AB=FD. 在ABC和FDE中， ABCFDE（SSS）.知识点2 三角形全等的“边角边”定理（重点） 两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（“边角边”或“SAS”）. 判定关键：找所要证明的两个三角形的两边一角分别对应相等，特殊强调的是一角必须是已知两边的夹角. 证明格式：如图所示： 在ABC和DEF中， ABCDEF（SAS）. 书写注意：要指出在所要证明的两个三角形中，便于使用证明需要的两边一角,一角必须是已知两边的夹角；还要注意按照边角边对应边的顺序书写，不要随便书写.定理拓展：1、 三角形的稳定性可以从三角形的两边长度、夹角的度数的固定三角形形状大小就固定角度解释说明. 2、对于“SSA”是不一定证明一般的三角形全等. 【例2】如图，在四边形ABCD中，ADBC，点M是AD的中点，不添加辅助线，梯形满足 条件时，有MB=MC（只填一个即可） 解析：根据全等三角形的判定得出ABMDCM，进而得出MB=MC. 解答：当AB=DC时，梯形ABCD中，ADBC， 则A=D。 点M是AD的中点，AM=MD。 在ABM和DCM中， ， ABMDCM（SAS）， MB=MC， 同理可得ABC=DCB，A=D时都可以得出MB=MC， 故答案为：AB=DC（或ABC=DCB、A=D）等.知识点3 三角形全等的“角边角”定理（重点） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（“角边角”或“ASA”）. 判定关键：找所要证明的两个三角形的两角一边分别对应相等，特殊强调的是一边必须是已知两角的夹边. 证明格式：如图所示： 在ABC和DEF中， ABCDEF（ASA）. 书写注意：要指出在所要证明的两个三角形中，便于使用证明需要的两角一边,一边必须是已知两角的夹边；还要注意按照角边角对应边的顺序书写.不要随便书写. 延伸探究：两角和其中一个角的对边分别相等的两个三角形全等（“角角边”或“AAS”）. 关键：找所要证明的两个三角形的两角一边分别对应相等，特殊强调的是一边是已知角的对边. 格式：如图所示： 在ABC和DEF中， ABCDEF（AAS）. 注意：要指出在所要证明的两个三角形中，便于使用证明需要的两角一边,一边是已知角的对边；还要注意按照角角边对应边的顺序书写.不要随便书写.定理拓展：三角形的稳定性可以从三角形的两角一边（夹边、对边）的固定三角形形状大小就固定角度解释说明. 【例3】（2014泸州）如图，正方形ABCD中，E，F分别为BC，CD上的点，且AEBF，垂足为点G 求证：AE=BF 审题：本题抓住正方形的已知条件，根据正方形的性质，可得ABC与C的关系，AB与BC的关系，根据两直线垂直，可得AGB的度数，根据直角三角形锐角的关系，可得ABG与BAG的关系，根据同角的余角相等，可得BAG与CBF的关系，根据ASA，可得三角形全等，根据全等三角形的性质，可得答案. 证明： 四边形ABCD是正方形， ABC=C，AB=BC。 AEBF， AGB=90，ABG+CBF=90。 ABG+FNC=90， BAG=CBF 在ABE和BCF中， ABEBCF（ASA） AE=BF. 例2：（2014南宁）如图，ABFC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G 求证：ADECFE； 审题：本题由ABFC利用平行线的性质可得：A=FCE，再根据对顶角相等以及全等三角形的判定方法即可证明：ADECFE. 证明：ABFC， A=FCE， 在ADE和CFE中 ADECFE（AAS）知识点4 直角三角形全等的“斜边直角边”定理（重点） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（“斜边、直角边”或“HL”）. 判定关键：找所要证明的两个三角形是直角三角形；已知是斜边和一条直角边分别对应相等. 证明格式：如图所示： 在RtABC和RtDEF中 RtABCRtDEF（HL）. 书写注意：要指出在所要证明的两个三角形必须是直角三角形，已知的两边必须是斜边和一直角边；还要注意按照斜边直角边对应边的顺序书写.不要随便书写.定理拓展：1、 直角三角形的稳定性可以从三角形的斜边直角边长度的固定三角形形状大小就固定角度解释说明. 2、对于“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”这些判定三角形的全等方法也都可以证明直角三角形全等.例：如图，AC，BD相交于点O,C=D=90,OD=OC.求证:AD=BC.审题：本题给出了两三角形中有一组边及一组直角相等，观察图形，发现还隐含着一组对顶角相等，正好符合两边夹角对应相等的条件 证明：在ADO和BCO中 C=D=90， OD=OC， 又AOD=BOC, ADOBCO（ASA）. AD=BC.课堂问答问题：两边和一角分别对应相等的两个三角形全等吗？答：当已知一角是两边和它们的夹角对应相等的时候，两个三角形全等.根据“边角边”或“SAS”可证；当已知一角是两边和一边的对角对应相等的时候，两个三角形不一定全等.因此，理解“两边和一角分别对应相等的两个三角形全等”必须要分清楚已知一角是两边的夹角和是对角.教材“思考”“探究”等答案教材第35页探究2答案：它们全等.根据三边分别相等的两个三角形全等（“边边边”或“SSS”）得出.教材第37页“云图”答案：根据作图的要求可知OC=O/C/,OD=O/D/,CD=C/D/，所以根据“SSS”证明CODC/O/D/，从而得到AOB=A/O/B/.教材第37页探究3答案：它们全等.根据两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等(“边角边”或“SAS”）得出.教材第38页“云图”答案：1=2的根据是“对顶角相等”；AB=DE的根据是“全等三角形的对应边相等”.教材第39页思考答案：有两边和其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等.教材第39页探究4答案：它们全等.根据两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等(“角边角”或“ASA”）得出.教材第41页思考1答案：(1)三角分别相等的两个三角形不全等.(2)三角形全等的判断方法,分别为“SSS”“SAS”“ASA”“AAS”.教材第42页探究5答案：它们全等，根据斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（“斜边、直角边”或“HL”）.典型例题剖析1、全等三角形的判定【例1】 (2014年广东.深圳)如图，ABC和DEF中，AB=DE，B=DEF，添加下列哪一个条件无法证明ABCDEF。（） AACDFBA=DCAC=DFDACB=F 审题：本题给出了两个三角形有一组边和一组角相等 ，再给出一组条件却无法判断全等，往往会构造出边边角的情况. 解析：根据全等三角形的判定定理，即可得出答. AB=DE，B=DEF， 添加ACDF，得出ACB=F，即可证明ABCDEF，故A、D都正确；当添加A=D时，根据ASA，也可证明ABCDEF，故B都正确；但添加AC=DF时，没有SSA定理，不能证明ABCDEF，故C都不正确；答案：C2、全等三角形的判定与性质综合应用【例2】 （2014厦门）如图，在ABC和BDE中，点C在边BD上，边AC交边BE于点F若AC=BD，AB=ED，BC=BE，则ACB等于（）A.EDB B.BED C.AFB D.2ABF 审题：本题给出了两个三角形的三条边对应相等，由于图形的特殊位置出现了外角关系，本题审题时既要看题干中的已知条件，又要看图形中蕴含的条件.解析：根据全等三角形的判定与性质，可得ACB与DBE的关系，根据三角形外角的性质，可得答案. 在ABC和DEB中， ABCDEB （SSS），ACB=DEB AFB是BCF的外角， ACB+DBE=AFB，ACB=AFB。 答案：C【例3】 （2014十堰）如图，点D在AB上，点E在AC上，AB=AC，AD=AE求证：B=C 审题：本题审题时首先发现两个三角形有两组边相等，而从图形中发现又有一组公共角相等，恰好符合两边夹角对应相等的情况，由此可判断出两个三角形全等，再得出对应角的关系. 解析：首先根据条件AB=AC，AD=AE，再加上公共角A=A可利用SAS定理证明ABEACD，进而得到B=C 证明：在ABE和ACD中， ABEACD（SAS） B=C【例4】 （2014大连）如图：点A，B，C，D在一条直线上，AB=CD，AEBF，CEDF求证：AE=BF 审题：本题给出了两个三角形有一组边相等及两组平行线的条件，有两组平行线可得到两组同位角相等，这样两个三角形恰好满足两角夹边对应相等的条件，可征得三角形全等，再得到角等.解析：根据两直线平行，同位角相等可得A=FBD，D=ACE，再求出AC=BD，然后利用“角边角”证明ACE和BDF全等，根据全等三角形对应边相等证明即可. 证明：AEBF，A=FBD。 CEDF，D=ACE。 AB=CD， AB+BC=CD+BC，即AC=BD。 在ACE和BDF中， ACEBDF（ASA），AE=BF【例5】 (2014台湾)如图，坐标平面上，ABC与DEF全等，其中A，B，C的对应顶点分别为D，E，F，且ABBC5若A点的坐标为(3，1)，B，C两点在方程式y3的图形上，D、E两点在y轴上，则F点到y轴的距离为何？()A2 B3 C4 D5 审题：本题给出两个三角形全等，可结合对应顶点发现两个三角形之间的图形变换关系，这是解题关键.解析：如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P由ABBC，ABCDEF，就可以得出AKCCHADPF，就可以得出结论 解：如图，作AH、CK、FP分别垂直BC、AB、DE于H、K、P DPFAKCCHA90 ABBC， BACBCA 在AKC和CHA中 AKCCHA(ASA)， KCHA B，C两点在方程式y3的图形上，且A点的坐标为(3，1)， AH4 KC4 ABCDEF， BACEDF，ACDF 在AKC和DPF中 AKCDPF(AAS)， KCPF4 答案：C3、全等三角形与尺规作图的综合应用【例6】 （2014安顺）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出AOB=AOB的依据是（） A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS 审题：本题给出了用尺规作图作一个角等于已知角的图形 ，从其过程能发现两个三角形中存在相等的元素，从作图过程发现相等的条件是审题的关键. 解析：我们可以通过其作图的步骤来进行分析，作图时满足了三条边对应相等，于是我们可以判定是运用SSS，答案可得。 作图的步骤：以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA、OB于点C、D；任意作一点O，作射线OA，以O为圆心，OC长为半径画弧，交OA于点C；以C为圆心，CD长为半径画弧，交前弧于点D；过点D作射线OB 所以AOB就是与AOB相等的角。 在OCD与OCD中， OCDOCD（SSS）， AOB=AOB。 答案：B4、 全等三角形的实际应用【例7】 （2012.柳州）如图，小强利用全等三角形的知识测量池塘两端点M、N的距离，如果OPQONM，则只需要测出其长度的线段是（ ） A.PQ B.OP C.OQ D.OM 解答：根据全等三角形的判定方法可知OPQONM，再根据全等三角形的性质可得PQ=NM，所以需要测量出线段PQ的长度. 答案：A【例8 】（2009.株洲）如图是“北大西洋公约组织”的标志部分（平面图），它是由四个完全相同的四边形OABC拼成的，测得AB=BC,OA=OC,OAOC,ABC=36,OAB的度数是（ ）A.116 B.117 C.118 D.119解析：利用全等三角形和四边形的内角和即解决问题.解答：AB=BC,OA=OC,OB=OB. AOBCOB, OAB=OCB=（360-90-36）2=117.答案：B5、全等三角形与几何图形变换【例9】 （2013东营） (1)如图1，已知：在ABC中，BAC90，AB=AC，直线m经过点A，BD直线m， CE直线m，垂足分别为点D、E证明:DE=BD+CE (2) 如图2，将(1)中的条件改为：在ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有BDA=AEC=BAC=，其中为任意锐角或钝角请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立，请你给出证明;若不成立，请说明理由 审题：本题审题时要注意图1与图2 已知条件之间的关联. 解析：（1）因为DE=DA+AE，故通过证ADBCEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE （2）成立，仍然通过证明ADBCEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD 证明：(1)BD直线m，CE直线m. BDACEA=90。 BAC90， BAD+CAE=90。 BAD+ABD=90， CAE=ABD。 又AB=AC， ADBCEA（AAS）， AE=BD，AD=CE， DE=AE+AD= BD+CE。 (2)BDA =BAC=， DBA+BAD=BAD +CAE=180， DBA=CAE。 BDA=AEC=，AB=AC. ADBCEA（AAS） AE=BD，AD=CE， DE=AE+AD=BD+CE。易混易误1、错误利用等量关系证全等【例1】如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE，求证：AEBADC解析：根据BD=CE可知BD-ED=CE-ED，再根据已知AB=AC，AE=AD，即可证出AEBADC. 证明:BD=CE, BD-ED=CE-ED,即BE=CD. AB=AC，AE=AD，BE=CD. AEB ADC(SSS)注意：用“SSS”判定方法来证明三角形全等时，要注意所找的三条边应均为所求的两个三角形中的对应边.在使用“SAS”“ASA”“AAS”也是如此的，否则会出现假证错误.易混点2、错误使用定理的条件由于角边角的判定与角角边的判定，都是已知两组角一组边证出的全等，故一定要分清楚，找出的那组边究竟是两组角的夹边还是其中一组角的对边.【例2】（2014四川宜宾）如图，已知：在AFD和CEB中，点A、E、F、C在同一直线上， AE=CF，B=D，ADBC求证：AD=BC 解析：根据平行线求出A=C，求出AF=CE，由于AF和CE为B和D的对边，根据 AAS证出ADFCBE即可证明： ADBC，A=C。 AE=CF，AE+EF=CF+EF，即AF=CE。 在ADF和CBE中 ， ADFCBE（AAS）， AD=BC 注意：如果分不清在同一个三角形中所满足的三个条件的位置关系，会混用“角边角”和“角角边”.易混点3 不能正确找到判定三角形全等的方法全等三角形的判定和性质，是基础知识要熟练掌握关键是从题中找到已知条件，隐含条件和可证出的条件，然后利用三角形全等的判定条件来寻找缺少的条件.【例3 】 如图，在RtABC中，ABC=90，点D在边AB上，使AB=BF，过点D作EFAC，分别交AC于点E，CB的延长线于点F求证：BD=BC。解析：根据EFAC，得F+C=90，再由已知得A=F，从而ASA证明FBDABC，则BD=BC。证明：EFAC，F+C=90。A+C=90，A=F。在FBD和ABC中，FBDABC（ASA），BD=BC。注意：要先观察图形，找到能全等的两个三角形，否则，会出现所证的两个三角形根本不全等的情况，导致整个证明思路的错误.中考题源1 (2014福建)如图点E，F在线段BC上，BE=CF,AB=CD, B=C. 求证：A=D.解析：由BE=CF，即可求出BF=CE，然后可利用边角边进行证明.答案：证明：BE=CF，BE+EF=CF+EF，BF=CE。在ABF和DCE中，ABFDCE (SAS)，A=D。对比分析：教材39页练习第2题.中考题和教材习题考查的方式完全相同，图形结构也一模一样，只是顶点字母不同.教材本节习题答案教材第37页练习参考答案1. 证明：C是AB的中点，AC=BC。 在ACD和CBE中， 。(SSS)2. 解：由题意知MC=NC.在和中， ,， . 即射线OC是的平分线.教材第39页练习参考答案1. 解：BD=BC.理由如下：由题意知AD=AC,BADC,.在和中，,，(全等三角形的对应边相等).2. 证明：.在（全等三角形的对应角相等）.教材第41页练习参考答案1. 证明:. 在.2. 解：在中，教材第43页练习参考答案1. 解：AD=BE.理由如下：由题意知AC=BC,CD=CE.在Rt.2. 证明：在.教材第43页习题12.2参考答案1. 解：.理由如下：在.2. 证明：在3. 解:要测量工件内槽宽AB，只需测量.理由如下：连接.在.4. 证明：.5. 证明：在 6.解：AD=BE.理由如下：7.证明：（1）(2) 由（1）得.8. 证明：9. 证明:10. 在 11.证明：12. 解：AE与CE的关系是AE=CE,理由如下：13. 提示：12.3角的平分线的性质目标导航1、会作一个角的平分线，掌握角的平分线的性质和判定.2、综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题.3、通过作三角形的角平分线，了解三条角平分线交于一点的事实.温故知新1、角的平分线的定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫作这个角的平分线.2、点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫作点到直线的距离。教材知识讲解 知识点1 作已知角的平分线（重点、难点） 在本节中，思考题一，通过一个平分角的仪器，作出角的平分线.也就指出用尺规作角的平分线的方法和原理，在作图过程中，利用了全等三角形的对应角相等这一性质.作图过程中需注意以下几点：（1）以角的顶点为圆心，以适当的长为半径画弧；（2）必须强调两弧在角的内部交于一点，因为要作的是角平分线；（3）注意角平分线是一条从顶点引出的射线.【例1】 如图，已知点为直线上一点，过作直线，使于.解析：由于AB是直线，要求作，实际上就是要作平角的平分线.根据角平分线的尺规作图法就可以作出直线CM.作法：(1)以C为圆心，适当的长为半径画弧，与CA，CB分别交于点D，E； (2)分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，使两弧交于点M； (3)作直线CM.直线CM即为所求.知识点2 角的平分线的性质角的平分线的性质是本节的重难点.对于角的平分线的性质本节从一个思考题引入，通过观察，猜想，测量发现角的平分线的性质.进一步分析性质中的条件和结论，正确写出已知和求证，加以证明.找条件和结论感到困难时，必要地可以将性质改成“如果那么”的形式，如果后面的内容是已知，那么后面的内容就是结论.注意找出性质中隐含的条件（垂直）.正确画出图形，用符号语言写出已知和求证，利用三角形全等进行证明.(1)角的平分线的性质内容角的平分线上的点到角的两边的距离相等(2)书写格式，如图所示：点P在AOB的平分线上，PDOA，PEOB，PDPE.【例2】 如图，在