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北京大学2014-2015学年第一学期研究生期末考试试题A (闭卷考试)课程名称：数值分析 注：计算题取小数点后四位一、填空题(每空3分，共24分) (1) 设，则A的奇异值为 。(2) 设为真值的近似值，则有 位有效数字。(3) 设数据的绝对误差为0.002，那么的绝对误差约为 _ _。(4) 是以为节点的拉格朗日插值基函数，则 。(5) 插值型求积公式的求积系数之和 。 其中为权函数，。（6）已知，求Householder阵H使，其中。H= 。(7) 数值求积公式的代数精度为。(8) 下面Matlab程序所求解的数学问题是 。（输入向量x , 输出S） x=input(输入x：x=); n=length(x); S=x (1); for i=2:n if x (i)S，S=x (i);else,continue;end end S二、(12分) （1）证明对任何初值 ，由迭代公式所产生的序列都收敛于方程的根。（2）证明它具有线性收敛性。三、（12分）（1）用辛浦生公式计算积分的近似值；（2）若用复化辛浦生公式计算积分，问至少应将区间0，4多少等分才能保证计算结果有五位有效数字？四、（12分） 已知数据表 （1）构造关于点集和权的正交函数组；（2）利用拟合已知数据点，并求最小二乘拟合误差。五、(12分) 利用Gauss变换阵，求矩阵的LU分解。（要求写出分解过程） 六、(10分) 已知求解线性方程组Ax=b的分量迭代格式（1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵；（2）证明当A是严格对角占优阵，时此迭代格式收敛。七、(10分) 用插值极小化方法求 在1，2上的二次插值多项式，并在1，2上估计误差。(已知Chebyshev多项式的三个零点)八、(8分)已知求解常微分方程初值问题 的数值格式为 问此数值格式是几阶格式？北京大学 2014-2015 学年第 一 学期研究生期末考试试题标准答案A (闭卷考试)课程名称: 数值分析 一、 填空题(每空3分，共24分)（1） 3 （2）3 （3）0.006 （4） （5） （6） （7）3 （8）求向量x的最小值二、(12分) 记，则。（1）先考虑区间3，5，当时， ， 。故对任意初值，由迭代公式产生的序列 都收敛于方程 的根。 (6分)（2）对任意初值，有，将此看成新的迭代初值，则由（1）可知，由迭代公式产生的序列 都收敛于方程 的根。(2分)（3） (4分) 此格式线性收敛性 三、（12分）（1） (5分) （2） (5分) 至少将区间0，4 15等分才能保证计算结果有五位有效数字. (2分)四、（12分）（1）首先构造关于点集和权的首一正交多项式 显然，设， 由正交得故有 。 (4分) （2）设，则 (4分) (4分)五、(12分) (3分) (3分) (3分) (3分)六、(10分) (1) (6分) (4分)七、(10分) 已知Chebyshev
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