八年级下学期 反比例函数.doc

反比例函数目标认知学习目标l理解反比例函数的概念和意义，能根据问题的反比例关系确定函数解析式。2. 能根据解析式画出反比例函数的图象，初步掌握反比例函数的图象和性质。3. 会用待定系数法确定反比例函数解析式，进一步理解反比例函数的图象和性质。4会解决与一次函数和反比例函数有关的问题。重点：理解反比例函数的概念；理解并掌握反比例函数的图象和性质。难点：对反比例函数及其图象性质的理解和掌握，以及反比例函数的应用。知识要点梳理知识点一：反比例函数的概念一般地，形如 (k为常数，k0)的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数。要点诠释：（1）在中，自变量x是分式的分母，当x=0时，分式无意义，所以自变量x的取值范围是 ，函数y的取值范围是。故函数图象与x轴、y轴无交点；（2）中分母x的指数为1，如，就不是反比例函数；（3） ()可以写成()的形式，自变量x的指数是-1，在解决有关自变量指数 问题时应特别注意系数这一条件；（4） ()也可以写成的形式，用它可以迅速地求出反比例函数解析式中的k，从而得 到反比例函数的解析式。知识点二：反比例函数解析式的确定要点诠释：（1）待定系数法，由于在反比例函数关系式中，只有一个待定系数k，只要确定了k的值，也就 确定了反比例函数，因此只需给出一组x、y的对应值或一个图象上点的坐标，代入中即可 求出k的值，从而确定反比例函数的关系式。（2）用待定系数法求反比例函数关系式的一般步骤是： 设所求的反比例函数为： (k0)； 根据已知条件，列出含 k的方程； 解出待定系数 k的值； 把 k值代入函数关系式 中。知识点三：反比例函数的图象和性质1、反比例函数的图象特征：反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限或第二、四象限；反比例函数的图象关于原点对称，永远不会与x轴、y轴相交，只是无限靠近两坐标轴。2、画反比例函数的图象的基本步骤：（1）列表：自变量的取值应以0为中心，在0的两侧取三对（或三对以上）互为相反数的值，填写y值 时，只需计算右侧的函数值，相应左侧的函数值是与之对应的相反数；（2）描点：描出一侧的点后，另一侧可根据中心对称去描点；（3）连线：按照从左到右的顺序连接各点并延伸，连线时要用平滑的曲线按照自变量从小到大的顺序 连接，切忌画成折线。注意双曲线的两个分支是断开的，延伸部分有逐渐靠近坐标轴的趋势，但 永远不与坐标轴相交；（4）反比例函数图象的分布是由k的符号决定的：当时，两支曲线分别位于第一、三象限内，当 时，两支曲线分别位于第二、四象限内3、反比例函数的性质（1）如图1，当时，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增大 而减小；（2）如图2，当时，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增大 而增大；（3）若点(a,b)在反比例函数的图象上，则点(a,b)也在此图象上，所以反比例函数的图象 关于原点对称；（4）在反比例函数(k为常数，k不等于零)中，由于，所以两个分支都无限接近但 永远不能达到x轴和y轴知识点四：反比例函数()中的比例系数的几何意义过双曲线(k0) 上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得矩形的面积为.过双曲线(k0) 上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点和原点，所得三角形的面积为.规律方法指导1画函数图象时要写出解析式和自变量的取值范围。2研究反比例函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。3能够利用反比例函数的图象解决一类面积问题：与过图象上一点做两坐标轴的垂线所构成的面积， 理解其中所运用的转化思想(坐标线段的长度)。4能够利用待定系数法确定反比例函数的解析式(由坐标确定；由图形线段、面积等确定)，理解 k的作用。经典例题透析类型一：反比例函数的概念1下列等式中，哪些是反比例函数（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）。思路点拨：根据反比例函数的定义，关键看上面各式能否改写成（为常数，）的形式，这里（1）、（7）是整式，（4）的分母不是只单独含，（6）改写后是，分子不是常数，只有（2）、（3）、（5）能写成定义的形式。解：（2）、（3）、（5）是反比例函数。总结升华：（1）要记住反比例函数的一般形式及两个变形式；（2）要注意对反比例函数概念实质理解，而不是仅仅局限于形式，如（4）中，y是x+2的反比例函数, 而不是x的反比例函数。举一反三：【变式1】已知函数是反比例函数，则此函数解析式为_。思路点拨：由反比例函数的定义可知进而求得的值，确定函数的解析式。解：依题意，得：解得 故所求函数解析为。总结升华：反比例函数(k是常数，k0)也可记为：，其中k0，x的指数是1。【变式2】下列函数关系中，y是x的反比例函数的有（ ）（1） ； （2） ；（3）面积一定时，矩形的长x与宽y； （4）；（5）.A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个【答案】：B （2），（3）中y是x的反比例函数。【变式3】 平面直角坐标系中有六个点，其中有五个点在同一反比例函数图象上，不在这个反比例函数图象上的点是（ ）A点 B点 C点 D点【答案】B；除了D点外，其余各点都在反比例函数的图象上。类型二：确定反比例函数解析式2（2011浙江温州）已知点P(-l，4)在反比例函数的图象上，则k的值是( )A B C4 D4思路点拨：由于反比例函数有一个待定系数k，故只需一个条件，本题有“图象经过点(1，4)”这一条件，代入即可确定反比例函数的表达式。解析：当x=1时，y=4.代入得所以所求函数表达式是选择D总结升华：求反比例函数解析式常用到的方法有：待定系数法、用定义、图像法.举一反三：【变式1】已知与成反比例，且当时，那么与之间的函数关系是_。解：因为与成反比例，所以当时，所以与之间的函数关系是【变式2】 如图，P是反比例函数在第二象限的图象上的一点，且矩形PEOF的面积为3，则反比例函数的表达式是_ 【答案】设P点坐标为(a，b)，则 所以,.而 ，故，即 .再设反比例函数为，由点 P(a,b)在图象上，得，所以 .从而求出 ，故解析式为 .类型三：反比例函数的图象和性质3已知反比例函数的图象上有两点A()，B()，且，那么下列结论正确的是( ).A. B. C. D. 之间的大小关系不能确定思路点拨：反比例函数有如下性质： 当 时，在每一象限内，y随x增大而减小； 当 时，在每一象限内，y随x增大而增大解析：特别要注意在每一象限内的限制条件由于本题没有明确A、B两点的具体位置，故有： (1)时，； (2)当时，(如图)，很明显，因此选D 总结升华：反比例函数的增减性要分别在两个象限内讨论举一反三：【变式1】（2011湖北黄石）若双曲线的图象经过第二、四象限，则k的取值范围是（ ）Ak B. k C. k= D. 不存在【答案】因为反比例函数的图象经过第二、四象限，所以，即。故选B总结升华：反比例函数 (k0)的图象是等轴双曲线，当时，图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，。【变式2】若M(，y1)、N(，y2)、P(，y3)三点都在函数y=(k 0)的图像上，则y1 、y2 、y3 的大小关系为 ( ) Ay2y3y1 By2y1 y3 C. y3y1 y2 Dy3y2 y1【答案】因为xy=k(k0),所以y10, y20, y30,且在第二象限内y随x的增大而增大，所以y1y2 。综上所述：选B。【变式3】已知ab0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，则直线不经过的象限是（ ）A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】C；由ab0，点P（a，b）在反比例函数的图象上，知反比例函数经过二、四象限，所以a0，直线经过一、二、四象限。4反比例函数与正比例函数y=2kx在同一坐标系中的图象不可能是( ).思路点拨：显然 若 k0，则k2的值可以为正，也可以为负， 故 B、C都有可能； 若 k0，则k20， 故 A可能，D不可能解析：选D总结升华： 同一道题中的相同字母代表同一个值；根据其中一个函数的特点，确定待定系数的符号，再根据待定系数的符号确定另一个函数图象的位置，是解此类问题的重要方法.举一反三：【变式】已知函数y=k (x-1)和 (k0)，它们在同一坐标系内的图象大致是（ ） 【答案】B；当k0时，反比例函数的图象经过二、四象限，一次函数图象经过点（1,0）且过一、三、四象限，B答案符合要求；当k0时，反比例函数的图象经过一、三象限，一次函数图象经过点（1,0）且过一、二、四象限，没有选项符合要求，故选B类型四：反比例函数与其它知识的结合5. 如图，和的图象与的图象分别交于第一象限内的两点A，C，过A，C分别向x轴作垂线，垂足分别为B，D，若直角三角形AOB与直角三角形COD的面积分别为，求与有什么关系？ 【答案】：设点A的坐标为（），则 在， 所以 同理可得。 所以 。举一反三：【变式1】如图，P1、P2、P3是双曲线上的三点过这三点分别作y轴的垂线，得到三个三角形P1A10、P2A20、P3A30，设它们的面积分别是S1、S2、S3，则( )AS1S2S3 BS2S1S3 CS1S3S2 DS1=S2=S3 【答案】因为图中每个三角形均为直角三角形，故面积等于每一个反比例函数图像上的点的横纵坐标的绝对值的乘积的一半，即S=，因为P1、P2、P3在双曲线上，所以坐标满足xy=k.所以S=选D.【变式2】如图，点A、B是双曲线上的点，经过A，B两点分别向x轴，y轴作垂线段，若S阴影=2，则=_.【答案】8；由k的几何意义，阴影=6；阴影=6，所以=4+4=8.6如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，顶点A，C分别在坐标轴上，顶点B的坐标为（4，2）过点D（0，3）和E（6，0）的直线分别与AB，BC交于点M，N（1）求直线DE的解析式和点M的坐标；（2）若反比例函数（x0）的图象经过点M，求该反比例函数的解析式，并通过计算判断点N是 否在该函数的图象上；（3）若反比例函数（x0）的图象与MNB有公共点，请直接写出m的取值范围解：（1）设直线DE的解析式为， 点D ，E的坐标为（0，3）、（6，0）， 解得 点M在AB边上，B（4，2），而四边形OABC是矩形， 点M的纵坐标为2 又 点M在直线上， 2= x=2 M（2，2） （2）（x0）经过点M（2，2）， . 又 点N在BC边上，B（4，2），点N的横坐标为4 点N在直线上， N（4，1） 当时，y=1，点N在函数 的图象上 （3）4m8举一反三：【变式1】如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线与轴的交点的坐标及的面积；(3)求方程的解（请直接写出答案）；(4)求不等式的解集（请直接写出答案）.解：(1)因为，是一次函数与反比例函数的图象的两个交点， 所以m=2（-4）=-8，（-4）n=-8,n=2，点A为（-4,2） 将点A（-4,2）、B（2，-4）代入得k=-1，b=-2 所以反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为y= -x-2. (2)直线AB方程为：y= -x-2，令y=0,得x=-2， 所以AB与x轴的交点坐标为C（-2，0）， . (3)方程的解就是一次函数的图象与反比例函数的图象交点的横坐标， 故. (4)不等式的解集为一次函数的图象在反比例函数的图象下方的部分图象所有点的 横坐标的取值范围，由图象看，为-4x2【变式2】（2011四川成都） 如图，已知反比例函数的图象经过点（，8），直线经过该反比例函数图象上的点Q(4，)（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；（2）设该直线与轴、轴分别相交于A 、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连结0P、 OQ，求OPQ的面积解：（1）由反比例函数的图象经过点（，8），可知， 所以反比例函数解析式为， 点Q是反比例函数和直线的交点， 点Q的坐标是（4，1）， ，直线的解析式为.（2）如图所示：由直线的解析式可知与轴和轴交点坐标点A与点B的坐标分别为 （5，0）、（0，5），由反比例函数与直线的解析式可知两图象的交点坐标分别点 P（1，4）和点Q（4，1），过点P作PC轴，垂足为C，过点Q作QD轴，垂足为D， =OAOB -OAQD -OBPC =25-51-51=.学习成果测评基础达标选择题1反比例函数y=与直线y=-2x相交于点A，且点A的横坐标为-1，则此反比例函数的解析式为 （ ）.Ay= By= Cy= Dy=2已知矩形的面积为10，则它的长y与宽x之间的关系用图象大致可表示为（ ）.3某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（）成反比例下图表示的是该电路中电 流I与电阻R之间关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（ ）.AI= BI= CI= DI= 4已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ）A图象必经过点(-1,2) By随x的增大而增大C图象在第二、四象限内 D若x1，则-2y05如图，过原点的一条直线与反比例函数y=（k0）的图像分别交于A、B两点，若A点的坐标为 （a，b），则B点的坐标为（ ）.A（a，b） B（b，a） C（-b，-a） D（-a，-b）6如图，双曲线y=的一个分支为（ ）.A B C D7反比例函数y=与正比例函数y=2x图象的一个交点的横坐标为1，则反比例函数的图像大致为（ ）.8函数y=（k0）的图象如图所示，那么函数y=kx-k的图象大致是（ ）. 9已知点P是反比例函数y=（k0）的图像上任一点，过P点分别作x轴，y轴的平行线，若两平行线 与坐标轴围成矩形的面积为2，则k的值为（ ）.A2 B-2 C2 D410如图，直线与双曲线交于点过点作轴，垂足为点，连结若，则的值是（ ）.A B C D 解答题11已知y是x的反比例函数，当x=2时，y=6（1）写出y与x的函数关系式；（2）求当x=4时y的值12. 已知反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点（1，5）（1）求这两个函数的解析式；（2）求这两个函数图象的另一个交点的坐标13.（2011浙江嘉兴）如图，已知直线经过点P（，），点P关于轴的对称点P在反比例函数（）的图象上（1）求点P的坐标；（2）求反比例函数的解析式，并直接写出当y22时自变量x的取值范围答案与解析基础达标选择题1C （提示：将x=-1代入y=-2x得，y=2，所以A点坐标为（-1，2）；因为点A在反比例函数y=的图象上，所以2=，所以k=-2.）2A.（提示：面积不变，即长与宽的乘积等于常量.） 3C.（提示：将图中已知点的坐标带入解析式即可.） 4B （提示：反比例函数的增减性注意在每个象限内这个限制条件.） 5D.（提示：反比例函数的图像关于原点对称，所以交点也关于原点对称.） 6D.（提示：将已知点的坐标带入解析式即可.） 7B.（提示：先通过正比例函数求出y的值，然后将x、y的值带入反比例函数的解析式，即可求k的 值 .）8C.（提示：先通过已知图像确定k的取值范围，再代入一次函数解析式即可.） 9C.（提示：注意面积是横、纵坐标乘积的绝对值.） 10A.（提示：将三角形ABM的面积分成两部分：三角形MOA和三角形MOB.） 解答题11（1）设设求函数解析式为y=，把x=2，y=6代入得6=，解得k=12，所以解析式为y=；（2）将x=4代入y=，得y=3，所以当x=4时，y=312（1） 点A（1，5）在反比例函数的图象上 有，即 反比例函数的解析式为 又 点A（1，5）在一次函数的图象上 有 一次函数的解析式为.（2）由题意可得 解得或 这两个函数图象的另一个交点的坐标为.13. 解：（1）将P（-2，a）代入得a -2(-2)=4， P（2，4）（2）将P（2，4）代入得4=，解得k=8， 反比例函数的解析式为 自变量x的取值范围x4能力提升1如图，是三个反比例函数，在x轴上方的图象，由此观察得到、的 大小关系为（ ）(A） （B）（C） （D） 2函数与（a0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） A BC D3（2011贵州贵阳）如图，反比例函数和正比例函数 的图象交于A（-1，-3）、 B（1，3）两点，若，则x的取值范围是（ ）A-1x0 B-1x1Cx-1或0x1 D-1x0或x1 4. 如图所示，已知一次函数y=kx+b的图像与x轴y轴分别交于A,B两点，且与反比例函数y=的图像在第一象限交于C点，CD垂直于x轴，垂足为D，若OA=OB=OD=1，（1）求点A,B,D的坐标;（2）求一次函数与反比例函数的解析式 5在平面直角坐标系XOY中，直线y=-x绕点O顺时针旋转90得到直线l，直线l与反比例函数y=的图象的一个交点为A（a，3），试确定反比例函数的解析式6.（2011山东济宁）如图，正比例函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知OAM的面积为1.（1）求反比例函数的解析式；（2）如果为反比例函数在第一象限图象上的点（点与点不重合），且点的横坐标为1，在x轴 上求一点P，使PA+PB最小. 7. 如图所示，一次函数的图象与反比例函数的图象交于M、N两点（1）求反比例函数和一次函数的解析式；（2）根据图象，写出使反比例函数的值大于一次函数的值的x的取值范围 答案与解析能力提升1B（提示：在第一象限，取定一个x的值，比较的大小即可得出结论） 2D（提示：分a0和a0两种情况进行讨论 ）3. C (提示：看反比例函数图象在一次函数图象上方部分的图象的自变量范围)4（1）A（-1,0）B（0,1）D（1,0） （2）由OA=OB=1，先求出直线AB的解析式y=x+1,由OD=1，可以求出C点的坐标，由C点坐标可以求出反比例函数解析式y=.5依题意得，直线L的解析式为y=x 因为A（a，3）在直线y=x上，则a=3，即A（3，3），