八年级教案.doc

一元一次不等式和一元一次不等式组 1.1 不等关系 教学目标： （一）知识与技能 1.理解不等式的意义. 2.能根据条件列出不等式. （二）过程与方法 通过列不等式，训练学生的分析判断能力和逻辑推理能力. （三）情感态度与价值观 通过用不等式解决实际问题，使学生认识数学与人类生活的密切联系以及对人类历史发展的作用.并以此激发学生学习数学的信心和兴趣. 教学重点：用不等关系解决实际问题. 教学难点：正确理解题意列出不等式. 教学方法：讨论探索法. 教具准备：课件 教学过程： 一.创设问题情境，引入新课 师我们学过等式，知道利用等式可以解决许多问题.同时，我们也知道在现实生活中还存在许多不等关系，利用不等关系同样可以解决实际问题.本节课我们就来了解不等关系，以及不等关系的应用. 二.新课讲授 师既然不等关系在现实生活中并不少见，大家肯定接触过不少，能举出例子吗？ 生可以.比如我的身高比她的身高高5公分. 用天平称重量时，两个托盘不平衡等. 师很好.那么，如何用式子表示不等关系呢？请看例题. 出示课件: 如图11，用两根长度均为l cm的绳子，分别围成一个正方形和圆. 图11 （1）如果要使正方形的面积不大于25 cm2， 那么绳长l应满足怎样的关系式？ （2）如果要使圆的面积不小于100 cm2,那么绳长l应满足怎样的关系式？ （3）当l=8时，正方形和圆的面积哪个大？l=12呢？ （4）你能得到什么猜想？改变l的取值，再试一试. 师本题中大家首先要弄明白两个问题，一个是正方形和圆的面积计算公式，另一个是了解“不大于”“大于”等词的含意. 生正方形的面积等于边长的平方. 圆的面积是R2，其中R是圆的半径. 两数比较有大于、等于、小于三种情况，“不大于”就是等于或小于. 师下面请大家互相讨论，按照题中的要求进行解答. 生（1）因为绳长l为正方形的周长，所以正方形的边长为，得面积为（）2，要使正方形的面积不大于25 cm2，就是 （）225. 即25. （2）因为圆的周长为l，所以圆的半径为：R=. 要使圆的面积不小于100 cm2，就是 （）2100 即100 （3）当l=8时，正方形的面积为=4（cm2）. 圆的面积为5.1（cm2）. 45.1 此时圆的面积大. 当l=12时，正方形的面积为=9（cm2）. 圆的面积为11.5（cm2） 此时还是圆的面积大. （4）我们可以猜想，用长度均为l cm的两根绳子分别围成一个正方形和圆，无论l取何值，圆的面积总大于正方形的面积，即 . 因为分子都是l 2相等、分母416，根据分数的大小比较，分子相同的分数，分母大的反而小，因此不论l取何值，都有. 做一做：出示课件 通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干 离地面1.5 m的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为5 cm，以后树围每年增加约为 3 cm.这棵树至少生长多少年其树围才能超过2.4 m？（只列关系式）. 师请大家互相讨论后列出关系式. 生设这棵树至少生长x年其树围才能超过2.4 m，得 3x+5240 议一议：观察由上述问题得到的关系式，它们有什么共同特点？ 生由25;100;3x+5240 得，这些关系式都是用不等号连接的式子.由此可知： 一般地，用符号“”（或“”）,“”（或“”）连接的式子叫做不等式. 例题: 用不等式表示 （1）a是正数；（2）a是负数；（3）a与6的和小于5； （4）x与2的差小于1；（5）x的4倍大于7；（6）y的一半小于3. 三.随堂练习: 当x=2时，不等式x+34成立吗？当x=1.5时，成立吗？当x=1呢？ 四.课时小结： 能根据题意列出不等式，特别要注意“不大于”，“不小于”等词语的理解. 通过不等关系的式子归纳出不等式的概念. 五.课后作业：习题1.1 第1，2，3，4题。 六板书设计： 1.1 不等关系 一、1.幻灯片1.1 A（讨论长度均为l cm的绳子，分别围成一个正方形和圆，比较它们的面积的大小）. 2.做一做（幻灯片1.1 B） 根据已知条件列不等式 3.归纳不等式的定义 4.例题 二、课堂练习 课后反思： 1.2 不等式的基本性质 教学目标： （一）知识与技能 1.探索并掌握不等式的基本性质； 2.理解不等式与等式性质的联系与区别. （二）过程与方法 通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力. （三）情感态度与价值观 通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与交流. 教学重点：探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用. 教学难点：能根据不等式的基本性质进行化简. 教学方法：类推探究法 教具准备：课件 教学过程： 一.创设问题情境，引入新课 师我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？ 生记得. 等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式. 基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式. 师不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证. 二.新课讲授 1.不等式基本性质的推导 师等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大家探索后发表自己的看法. 生35 3+25+2 3252 3+a5+a 3a5a 所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. 师很好.不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究. 生35 3252 35. 所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变. 生不对. 如35 3（2）5（2） 所以上面的总结是错的. 师看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明. 生如34 3343 34 3（3）4（3） 3（）4（） 3（5）4（5） 由此看来，在不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变；在不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变. 师非常棒，那么在不等式的两边同时除以某一个数时（除数不为0），情况会怎样呢？请大家用类似的方法进行推导. 生当不等式的两边同时除以一个正数时，不等号的方向不变；当不等式的两边同时除以一个负数时，不等号的方向改变. 师因此，大家可以总结得出性质2和性质3，并且要学会灵活运用. 2.用不等式的基本性质解释的正确性 师在上节课中，我们知道周长为l的圆和正方形，它们的面积分别为和，且有存在，你能用不等式的基本性质来解释吗？ 生416 根据不等式的基本性质2，两边都乘以l 2得 3.例题讲解 将下列不等式化成“xa”或“xa”的形式： （1）x51; （2）2x3; （3）3x9. 生（1）根据不等式的基本性质1，两边都加上5，得 x1+5 即x4; （2）根据不等式的基本性质3，两边都除以2，得 x; （3）根据不等式的基本性质2，两边都除以3，得 x3. 说明：在不等式两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，要注意数的正、负，从而决定不等号方向的改变与否. 4.议一议 出示课件 讨论下列式子的正确与错误. （1）如果ab，那么a+cb+c; （2）如果ab，那么acbc; （3）如果ab,那么acbc; （4）如果ab,且c0,那么. 师在上面的例题中，我们讨论的是具体的数字，这种题型比较简单，因为要乘以或除以某一个数时就能确定是正数还是负数，从而能决定不等号方向的改变与否.在本题中讨论的是字母，因此首先要决定的是两边同时乘以或除以的某一个数的正、负. 本题难度较大，请大家全面地加以考虑，并能互相合作交流. 生（1）正确 ab，在不等式两边都加上c，得 a+cb+c; 结论正确. 同理可知（2）正确. （3）根据不等式的基本性质2，两边都乘以c，得 acbc, 所以正确. （4）根据不等式的基本性质2，两边都除以c，得 所以结论错误. 师大家同意这位同学的做法吗？ 生不同意. 师能说出理由吗？ 生在（1）、（2）中我同意他的做法，在（3）、（4）中我不同意，因为在（3）中有ab,两边同时乘以c时，没有指明c的符号是正还是负，若为正则不等号方向不变，若为负则不等号方向改变，若c=0，则有ac=bc,正是因为c的不明确性，所以导致不等号的方向可能是变、不变，或应改为等号.而结论acbc.只指出了其中一种情况，故结论错误. 在（4）中存在同样的问题，虽然c0,但不知c是正数还是负数，所以不能决定不等号的方向是否改变，若c0,则有,若 c0，则有,而他只说出了一种情况，所以结果错误. 师通过做这个题，大家能得到什么启示呢？ 生在利用不等式的性质2和性质3时，关键是看两边同时乘以或除以的是一个什么性质的数，从而确定不等号的改变与否. 师非常棒.我们学习了不等式的基本性质，而且做过一些练习，下面我们再来研究一下等式和不等式的性质的区别和联系，请大家对比地进行. 生不等式的基本性质有三条，而等式的基本性质有两条. 区别：在等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时，所得结果仍是等式；在不等式的两边同时乘以或除以同一个数（除数不为0）时会出现两种情况，若为正数则不等号方向不变，若为负数则不等号的方向改变. 联系：不等式的基本性质和等式的基本性质，都讨论的是在两边同时加上（或减去），同时乘以（或除以，除数不为0）同一个数时的情况.且不等式的基本性质1和等式的基本性质1相类似. 三.课堂练习 1.将下列不等式化成“xa”或“xa”的形式. （1）x12 （2）x 2.已知xy,下列不等式一定成立吗？ （1）x6y6; （2）3x3y; （3）2x2y. 促使课件 3.设ab,用“”或“”号填空. （1）a+1 b+1;（2）a3 b3; （3）3a 3b;（4） ; （5） ;（6）a b. 四.课堂小结 1.本节课主要用类推的方法探索出了不等式的基本性质. 2.利用不等式的基本性质进行简单的化简或填空. 五.课后作业：习题1.2 板书设计： 1.2 不等式的基本性质 1.不等式的基本性质的推导. 2.用不等式的基本性质解释. 3.例题讲解. 课后反思： 1.3 不等式的解集 教学目标： （一）知识与技能 1.能够根据具体问题中的大小关系了解不等式的意义. 2.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义. 3.会在数轴上表示不等式的解集. （二）过程与方法 1.培养学生从现实生活中发现并提出简单的数学问题的能力. 2.经历求不等式的解集的过程，发展学生的创新意识. （三）情感态度与价值观 从实际问题抽象为数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索与创造. 教学重点： 1.理解不等式中的有关概念. 2.探索不等式的解集并能在数轴上表示出来. 教学难点：探索不等式的解集并能在数轴上表示出来. 教学方法：引导学生探索学习法. 教具准备：课件 教学过程： 一.创设问题情境，引入新课 师上节课，我们对照等式的性质类比地推导出了不等式的基本性质，并且讨论了它们的异同点.下面我找一位同学简单地回顾一下不等式的基本性质. 生不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变. 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变. 师很好. 在学习了等式的基本性质后，我们利用等式的基本性质学习了一元一次方程，知道了方程的解、解方程等概念，大家还记得这些概念吗？ 生记得. 能够使方程两边的值相等的未知数的值就是方程的解. 求方程的解的过程，叫做解方程. 师非常好.上节课我们用类推的方法，仿照等式的基本性质推导出了不等式的基本性质，能不能按此方法推导出不等式的解和解不等式呢？本节课我们就来试一试. 二.新课讲授 1.现实生活中的不等式. 燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在燃放前转移到10 m以外的安全区域.已知导火线的燃烧速度为以0.02 m/s，人离开的速度为4 m/s，那么导火线的长度应为多少厘米？ 师分析：人转移到安全区域需要的时间最少为秒，导火线燃烧的时间为秒，要使人转移到安全地带，必须有：. 解：设导火线的长度应为x cm，根据题意，得 x5. 2.想一想 （1）x=5,6,8能使不等式x5成立吗？ （2）你还能找出一些使不等式x5成立的x的值吗？ 生（1）x=5不能使x5成立，x=6,8能使不等式x5成立. （2）x=9,10,11等比5大的数都能使不等式x5成立. 师由此看来，6，7，8，9，10都能使不等式成立，那么大家能否根据方程的解来类推出不等式的解呢？不等式的解唯一吗？ 生可以.能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.如6、7、8都是x5的解.所以不等式的解不唯一，有无数个解. 师正因为不等式的解不唯一，因此把所有满足不等式的解集合在一起，构成不等式的解集（solution set）. 请大家再类推出解不等式的概念. 生求不等式解集的过程叫解不等式. 3.议一议. 请你用自己的方式将不等式x5的解集和不等式x51的解集分别表示在数轴上，并与同伴交流. 生不等式x5的解集可以用数轴上表示5的点的右边部分来表示（图13），在数轴上表示5的点的位置上画空心圆圈，表示5不在这个解集内. 图13 不等式x51的解集x4可以用数轴上表示4的点及其左边部分来表示（图14），在数轴上表示4的点的位置上画实心圆点，表示4在这个解集内. 图14 师请大家讨论一下，如何把不等式的解集在数轴上表示出来呢？请举例说明. 生如x3, 即为数轴上表示3的点的右边部分，在数轴上表示3的点的位置上画空心圆圈，表示不包括这一点. x3，可以用数轴上表示3的点的左边部分来表示，在这一点上画空心圆圈. x3，可以用数轴上表示3的点和它的右边部分来表示，在表示3的点的位置上画实心圆点，表示包括这一点. x3，可以用数轴上表示3的点和它的左边部分来表示，在表示3的点的位置上画实心圆点. 4.例题讲解 课件 根据不等式的基本性质求不等式的解集，并把解集在数轴上表示出来. （1）x24;（2）2x8 （3）2x210 三.课堂练习 1.判断正误： （1）不等式x10有无数个解； （2）不等式2x30的解集为x. 2.将下列不等式的解集分别表示在数轴上： （1）x4;（2）x1; （3）x2;（4）x6. 四.课时小结 本节课学习了以下内容 1.理解不等式的解，不等式的解集，解不等式的概念. 2.会根据不等式的基本性质解不等式，并把解集在数轴上表示出来. 五.课后作业：习题1.3 板书设计： 1.3 不等式的解集 一、1.现实生活中的不等式（水费问题）； 2.想一想（类推不等式中的有关概念）； 3.议一议（如何把不等式的解集在数轴上表示出来）； 二.例题讲解. 三、课堂练习 课后反思： 一元一次不等式（一） 教学目标： 1、知识与技能：会解简单的一元一次不等式，并能在数轴上表示其解集。 2、过程与方法：让学生经历一元一次不等式概念的形成过程，通过类比理解一元一次不等式的解法。 3、情感态度与价值观：初步认识一元一次不等式的应用价值，发展学生分析，解决问题的能力。 教学重点： 掌握简单的一元一次不等式的解法，并能表示在数轴上。 教学难点： 对一元一次不等式解法的理解。 教具准备： 直尺，圆规。 教学过程： 回顾交流，观察导入。 练一练：解下列一元一次方程。 1，4x-3=5x+7; 2.3(2x-1)=4; 点评：通过练习解一元一次方程，既让学生复习一元一次方程的概念，又让学生复习一元一次方程的解法，为本节课埋下伏笔。 观察下列不等式： 1，2x-2.515: 2,x8.75: 3,x4 4,5+3x240. 这些不等式有哪些共同特点？ 观察导入：上述这些不等式左右两边都是整式，而且都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。 想一想：前一节学习中，同学们列出了哪些一元一次不等式？请你举出例子，并与同伴交流。 范例学习，类比领悟 解不等式3-x2x+6,并把它的解集表示在数轴上。 思路点拨：与解一元一次方程类似，解一元一次不等式大致按以下五个步骤进行：（1）去分母 ;（2）去括号 ;（3）移项;(4)合并同类项 ;(5)系数化为一。在上面的步骤（1）和（5）中，如果乘数或除数是负数，则要改变不等式的方向。 解：移项得： -x-2x6-3 合并同类项得： -3x3 两边都乘以-3得： x -1 这个不等式的解集在数轴上表示如下： 点评：在数轴上表示不等式的解集时，第一，应正确地画出数轴；第二，要注意不等号的方向，如表示“a” 的解集为点右边的部分，而“a”则为点左边的部分；第三，要注意端点的情况，如本题中不含-1，因此x=-1 是空心圆圈，反之是实心圆点。 解不等式 ，并把它的解集表示在数轴上。 教师活动：引导学生进行类比。 学生活动：积极参与，共同探究。 随堂练习，巩固深化。 课本P15 随堂练习 1 课堂小结： 提问：什么叫做一元一次不等式？ 请你归纳总结一元一次不等式的解题方法以及所要注意的问题。 五、课后作业： 习题1.4 1、2题 板书设计： 1.4 一元一次不等式（一） 一、一元一次不等式 二.例题讲解. 三、课堂练习 课后反思： 1.4.2 一元一次不等式（二） 教学目标： （一）知识与技能： 1.进一步巩固求一元一次不等式的解集. 2.能利用一元一次不等式解决一些简单的实际问题. （二）过程与方法： 通过学生独立思考，培养学生用数学知识解决实际问题的能力. （三）情感态度与价值观： 通过学生自主探索，培养学生学数学的好奇心与求知欲，使他们能积极参与数学学习活动，锻炼克服困难的意志，增强自信心. 教学重点： 1.求一元一次不等式的解集. 2.用数学知识去解决简单的实际问题. 教学难点： 能结合具体问题发现并提出数学问题. 教学方法： 在教师的引导下，学生探索的方法. 教具准备： 课件 教学过程： 一.提出问题，引入新课 师上节课，我们学习了什么叫一元一次不等式，以及如何解一些简单的一元一次不等式，下面大家先回忆一下. 生不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫一元一次不等式. 解一元一次不等式的一般步骤和解一元一次方程的一般步骤相似，大致有：（1）去分母；（2）去括号；（3）移项、合并同类项；（4）系数化成1. 师很好.在解不等式的过程中，有需要注意的问题吗？ 生有.在去分母和系数化成1这两步中，如果两边同时乘以或除以同一个负数，要注意改变不等号的方向. 师非常棒.下面我们做一个练习检查一下，看大家的动手能力如何. 1.解不等式：（x+15）（x7） 生解：去分母，得6（x+15）1510（x7）, 去括号，得6x+901510x+70, 移项、合并同类项，得16x15， 两边同除以16，得x. 师做得很好.请看第2题. 2.判断下面解法的对错. 解不等式：2 解：去分母，得2（2x+1）5x12, 去括号，得4x+25x12 移项、合并同类项，得x1 两边都乘以1，得x1. 师请大家先独立思考、再互相讨论，指出上面的解法有无错误，若有请指出来. 生第一，在去分母时，分子应作为一个整体，应加括号，是（5x1）,而非5x1，第二，整数2也应乘以公分母. 师这位同学的分析很精彩.请大家改正. 生解：去分母，得2（2x+1）（5x1）12 去括号，得4x+25x+112, 移项、合并同类项，得x9, 两边都乘以1，得x9. 师刚才这位同学提出的改正方案也正是解此类不等式需要注意的问题，本节课我们要加以巩固. 二.新课讲授 例1解下列不等式，并把它们的解集分别在数轴上表示出来： （1）1;（2）3+. 师经过刚才的改错，我们现在不进行讲解，而是要大家自觉完成，再互相改正，注意一定不要犯刚才的错误哟. 生解：（1）去分母，得3x2x6, 合并同类项，得x6, 不等式的解集在数轴上表示如下： 图115 （2）去分母，得2x30+5（x2）, 去括号，得2x30+5x10, 移项、合并同类项，得3x20, 两边都除以3，得x. 不等式的解集在数轴上表示如下： 图116 师这类题型我们掌握得已很好了，下面我们来学习有关不等式的应用题. 出示课件 例2一次环保知识竞赛共有25道题，规定答对一道题得4分，答错或不答一道题扣1分，在这次竞赛中，小明被评为优秀（85分或85分以上），小明至少答对了几道题？ 例3小颖准备用21元钱买笔和笔记本.已知每支笔3元，每个笔记本2.2元，她买了2本笔记本.请你帮她算一算，她还可以买几支笔？ 师解不等式应用题也和解方程应用题类似，我们先回忆一下列方程解应用题应如何进行. 生先审题，弄清题中的等量关系；设未知数，用未知数表示有关的代数式；列出方程，解方程；最后写出答案. 师分析：总的题量有25题.答对一题得4分，答错或不答扣1分，最后得分在85分或85分以上，所以关系式应为： 4答对题数1答错题数85 请大家自己写步骤. 生解：设小明答对了x道题，则他答错和不答的共有（25x）道题，根据题意，得 4x1（25x）85 解这个不等式，得x22. 所以，小明至少答对了22道题，他可能答对了22，23，24，25道题. 师大家依据列方程解应用题的过程，对照上面解不等式应用题的步骤，总结一下两者的不同，并给出解一元一次不等式应用题的一般步骤，请互相交流. 生第一步：审题，找不等关系； 第二步：设未知数，用未知数表示有关代数式； 第三步：列不等式； 第四步：解不等式； 第五步：根据实际情况写出答案. 师非常好.请大家按照刚才的步骤解答例3. 生解：设她还可以买n支笔，根据题意得 3n+2.2221 解这个不等式，得n 因为在这一问题中n只能取正整数， 所以，小颖还可以买1支，2支，3支，4支或5支笔. 三.课堂练习：随堂练习 1、2题 教师活动：巡视、关注中等或中下水平的学生。 四.课堂小结 根据前面我们做的练习和例题，我们来总结一下解不等式的一般步骤，理论依据及注意事项，和解一元一次不等式应用题的一般步骤. 1.解一元一次不等式的一般步骤： （1）去分母等式性质2或3 注意：勿漏乘不含分母的项； 分子是两项或两项以上的代数式时要加括号； 若两边同时乘以一个负数，须注意不等号的方向要改变. （1）去括号去括号法则和分配律 注意： 勿漏乘括号内每一项； 括号前面是“”号，括号内各项要变号. （2）移项移项法则（不等式性质1） 注意：移项要变号. （4）合并同类项合并同类项法则. （5）系数化成1不等式基本性质2或性质3. 注意：两边同时除以未知数的系数时，要分清不等号的方向是否改变. 2.解一元一次不等式应用题的步骤： （1）审题，找不等关系； （2）设未知数； （3）列不等关系； （4）解不等式； （5）根据实际情况，写出全部答案. 五.课后作业：P17习题1.5 六.活动与探究 x取什么值时，代数式2x5的值： （1）大于0？（2）不大于0？ 板书设计 1.4.2 一元一次不等式（二） 一、例1 解不等式 二、例2，例3，解不等式应用题 三、课堂练习 四、课堂小结： 1.解一元一次不等式的一般步骤及注意事项. 2.解一元一次不等式应用题的一般步骤. 教后反思： 1.5.1 一元一次不等式与一次函数（一） 教学目标 （一）知识与技能： 1.一元一次不等式与一次函数的关系. 2.会根据题意列出函数关系式，画出函数图象，并利用不等关系进行比较. （二）过程与方法： 1.通过一元一次不等式与一次函数的图象之间的结合，培养学生的数形结合意识. 2.训练大家能利用数学知识去解决实际问题的能力. （三）情感态度与价值观： 体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 教学重点 了解一元一次不等式与一次函数之间的关系. 教学难点 自己根据题意列函数关系式，并能把函数关系式与一元一次不等式联系起来作答. 教学方法 研讨法 即主要由学生自主交流合作来解决问题，老师只起引导作用. 教具准备： 小黑板 教学过程 一.创设问题情境，引入新课 师上节课我们学习了一元一次不等式的解法，那么，是不是不等式的知识是孤立的呢？本节课我们来研究不等式的有关应用. 二.新课讲授 1.一元一次不等式与一次函数之间的关系. 师大家还记得一次函数吗？请举例给出它的一般形式. 生如y=2x5为一次函数. 师在一次函数y=2x5中， 当y=0时，有方程2x5=0; 当y0时，有不等式2x50; 当y0时，有不等式2x50. 由此可见，一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间有密切关系，当函数值等于0时即为方程，当函数值大于或小于0时即为不等式. 下面我们来探讨一下一元一次不等式与一次函数的图象之间的关系. 2.做一做 出示小黑板 作出函数y=2x5的图象，观察图象回答下列问题. （1）x取哪些值时，2x5=0? （2）x取哪些值时，2x50? （3）x取哪些值时，2x50? （4）x取哪些值时，2x53? 图121 请大家讨论后回答： 生（1）当y=0时，2x5=0, x=, 当x=时，2x5=0. （2）要找2x50的x的值，也就是函数值y大于0时所对应的x的值，从图象上可知，y0时，图象在x轴上方，图象上任一点所对应的x值都满足条件，当y=0时，则有2x5=0,解得x=.当x时，由y=2x5可知 y0.因此当x时，2x50; （3）同理可知，当x时，有2x50; （4）要使2x53,也就是y=2x5中的y大于3，那么过纵坐标为3的点作一条直线平行于x轴，这条直线与y=2x5相交于一点B（4，3），则当x4时，有2x53. 3.试一试 如果y=2x5,那么当x取何值时，y0? 师由刚才的讨论，大家应该很轻松地完成任务了吧.请大家试一试. 生首先要画出函数y=2x5的图象，如图122： 图122 从图象上可知，图象在x轴上方时，图象上每一点所对应的y的值都大于0，而每一个y的值所对应的x的值都在A点的左侧，即为小于2.5的数，由2x5=0,得x=2.5,所以当x取小于2.5的值时，y0. 4.议一议 出示小黑板 兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑9 m，然后自己才开始跑，已知弟弟每秒跑3 m，哥哥每秒跑4 m，列出函数关系式，画出函数图象，观察图象回答下列问题： （1）何时弟弟跑在哥哥前面？ （2）何时哥哥跑在弟弟前面？ （3）谁先跑过20 m？谁先跑过100 m？ （4）你是怎样求解的？与同伴交流. 师大家应先画出图象，然后讨论回答： 生解设兄弟俩赛跑的时间为x秒.哥哥跑过的路程为y1，弟弟跑过的路程为y2，根据题意，得 y1=4x y2=3x+9 函数图象如图123： 图123 从图象上来看： （1）当0x9时，弟弟跑在哥哥前面； （2）当x9时，哥哥跑在弟弟前面； （3）弟弟先跑过20 m，哥哥先跑过100 m; （4）从图象上直接可以观察出（1）、（2）小题，在回答第（3）题时，过y 轴上20这一点作x轴的平行线，它与y1=4x,y2=3x+9分别有两个交点，每一交点都对应一个x值，哪个x的值小，说明用的时间就短.同理可知谁先跑过100 m. 三.课堂练习 1.已知y1=x+3,y2=3x4,当x取何值时，y1y2？你是怎样做的？与同伴交流. 解：如图124所示： 图124 当x取小于的值时，有y1y2. 四.课堂小结 本节课讨论了一元一次不等式与一次函数的关系，并且能根据一次函数的图象求解不等式. 五.课后作业：习题1.6 六.活动与探究 作出函数y1=2x4与y2=2x+8的图象，并观察图象回答下列问题： （1）x取何值时，2x40？ （2）x取何值时，2x+80? （3）x取何值时，2x40与2x+80同时成立？ （4）你能求出函数y1=2x4，y2=2x+8的图象与x轴所围成的三角形的面积吗？并写出过程. 解：图象如下： 图125 分析：要使2x40成立，就是y1=2x4的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，同理使2x+80成立的x，即为函数y2=2x+8的图象在x轴上方的所有点的横坐标的集合，要使它们同时成立，即求这两个集合中公共的x，根据函数图象与x轴交点的坐标可求出三角形的底边长，由两函数的交点坐标可求出底边上的高，从而求出三角形的面积. 解（1）当x2时，2x40; （2）当x4时，2x+80; （3）当2x4时，2x40与2x+80同时成立. （4）由2x4=0,得x=2; 由2x+8=0,得x=4 所以AB=42=2 由 得交点C（3，2） 所以三角形ABC中AB边上的高为2. 所以S=22=2. 板书设计 1.5.1 一元一次不等式与一次函数（一） 一、1.一元一次不等式与一次函数之间的关系； 2.做一做（根据函数图象求不等式）； 3.试一试（当x取何值时，y0）; 4.议一议 二、课堂练习 三、课时小结 四、课后作业 课后反思： 1.5.2 一元一次不等式与一次函数（二） 教学目标 （一）知识与技能：进一步体会不等式的知识在现实生活中的运用. （二）过程与方法：通过用不等式的知识去解决实际问题，以发展学生解决问题的能力. （三）情感态度与价值观：把数学知识与现实生活相联系，让学生体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，增强他们学数学的兴趣和积极性，从而更好地服务于社会. 教学重点 利用不等式及等式的有关知识解决现实生活中的实际问题. 教学难点 认真审题，找出题中的等量或不等关系，全面地考虑问题是本节的难点. 教学方法 启发式 教具准备 小黑板 教学过程 一.提出问题，导入新课 师同学们，我们已经学习了不等式的解法及应用，但是它的应用远不止于我们前面学过的这些，它的应用很广泛.比如，随着国家的富裕，人民生活水平的提高，人们的消费观念也在逐渐转变，在放假期间很多人热衷于旅游，而旅行社瞅准了这个商机，会打着各式各样的优惠政策来诱惑你，那么究竟应该选哪一家呢？人们犹豫了，有时感觉到上当了.如果你学了今天的课程，那么你以后就不会上当了.下面我们一起来探究这里的奥妙. 二.新课讲授 例1某单位计划在新年期间组织员工到某地旅游，参加旅游的人数估计为1025人，甲、乙两家旅行社的服务质量相同，且报价都是每人200元.经过协商，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游费用？其余游客八折优惠.该单位选择哪一家旅行社支付的旅游费用较少？ 师请大家先计划一下，你计划选哪家旅行社？ 生我选甲旅行社，因为打七五折，比打八折要便宜. 生我选乙旅行社，因为乙旅行社既打八折，还免交一个人的费用200元. 生我不能肯定，一定要计算一下才能决定. 师大家同意这三位同学中的哪一位呢？ 生同意第三位同学的意见. 师分析：首先我们要根据题意，分别表示出两家旅行社关于人数的费用，然后才能比较.而且比较情况只能有三种，即大于，等于或小于. 解：设该单位参加这次旅游的人数是x人，选择甲旅行社时，所需费用为y1元，选择乙旅行社时，所需的费用为y2元，则 y1=2000.75x=150x y2=2000.8（x1）=160x160 当y1=y2时，150x=160x160,解得x=16; 当y1y2时，150x160x160,解得x16; 当y1y2时，150x160x160,解得x16. 因为参加旅游的人数为1025人，所以当x=16时，甲乙两家旅行社的收费相同；当16X25时，选择甲旅行社费用较少，当10X 15时，选择乙旅行社费用较少 师由此看来，你选哪家旅行社不仅与旅行社的优惠政策有关，而且还和参加旅游的人数有关，那么在以后的旅行中，大家一定不要想当然，而是要精打细算才能做到合理开支，现在，你学会了吗？ 下面，我们要到商店走一趟，看看商家又是如何吸引顾客的，我们又应该想何对策呢？ 例2某学校计划购买若干台电脑，现从两家商场了解到同一型号电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠.甲商场的优惠条件是：第一台按原价收费，其余每台优惠25%.乙商场的优惠条件是：每台优惠20%. （1）分别写出两家商场的收费与所买电脑台数之间的关系式. （2）什么情况下到甲商场购买更优惠？ （3）什么情况下到乙商场购买更优惠？ （4）什么情况下两家商场的收费相同？ 师有了刚才的经验，大家应该很轻松地完成任务了吧. 生解：设要买x台电脑，购买甲商场的电脑所需费用y1元，购买乙商场的电脑所需费用为y2元.则有 （1）y1=6000+（125%）（x1）6000=4500x+1500 y2=80%6000x=4800x （2）当y1y2时，有4500x+15004800x 解得，x5 即当所购买电脑超过5台时，到甲商场购买更优惠； （3）当y1y2时，有4500x+15004800x. 解得x5. 即当所购买电脑少于5台时，到乙商场买更优惠； （4）当y1=y2时，即4500x+1500=4800x 解得x=5. 即当所购买电脑为5台时，两家商场的收费相同. 三.课堂练习 出示小黑板： 某学校需刻录一批电脑光盘，若到电脑公司刻录，每张需8元（包括空白光盘带）；若学校自刻，除租用刻录机需120元外，每张还需成本4元（包括空白光盘带），问刻录这批电脑光盘，到电脑公司刻录费用省，还是自刻费用省？请说明理由. 解：设需刻录x张光盘，则 到电脑公司刻录需y1=8x（元） 自刻录需y2=120+4x 当y1=y2时，8x=120+4x， 解得x=30; 当y1y2时，8x120+4x, 解得x30; 当y1y2时，8x120+4x, 解得x30. 所以，当需刻录30张光盘时，到电脑公司刻录和自刻费用相等； 当需刻录超过30张光盘时，自刻费用省； 当需刻录不超过30张光盘时，到电脑公司刻录费用省. 小黑板： 某单位要制作一批宣传材料.甲公司提出每份材料收费20元，另收3000元设计费；乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费. （1）什么情况下选择甲公司比较合算？ （2）什么情况下选择乙公司比较合算？ （3）什么情况下两公司的收费相同？ 解：设宣传材料有x份，则选择甲公司所需费用为y1元，选择乙公司所需费用为y2元， y1=20x+3000 y2=30x 当y1y2时，20x+300030x, 解得x300; 当y1y2时，20x+300x30x, 解得x300; 当y1=y2时，20x+3000=30x, 解得x=300. 所以，当材料超过300份时，选择甲公司比较合算； 当材料少于300份时，选择乙公司比较合算； 当材料等于300份时，两公司的收费相同. 四.课堂小结 本节课我们进一步巩固了不等式在现实生活中的应用，通过这节课的学习，我们学到了不少知识，真正体会到了学有所用. 五.课后作业：习题1.7第2题. 板书设计 1.5.2 一元一次不等式与一次函数（二） 例1（有关旅游费用问题） 例2（有关商场优惠问题） 课堂练习 课后反思： 1.6.1 一元一次不等式组（一） 教学目标 （一）知识与技能： 1.理解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，解不等式组等概念. 2.会解由两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集. （二）过程与方法： 通过由一元一次不等式，一元一次不等式的解集，解不等式的概念来类推地学习一元一次不等式组，一元一次不等式组的解集，解不等式组这些概念，发展学生的类比推理能力. （三）情感态度与价值观： 一方面要培养学生独立思考的习惯，同时也要培养大家的合作交流意识. 教学重点 1.理解有关不等式组的概念. 2.会解有两个一元一次不等式组成的不等式组，并会用数轴确定解集. 教学难点 在数轴上确定解集. 教学方法 合作类推法 就是让学生共同讨论，并用类比推理的方法学习. 教具准备 小黑板 教学过程 一.创设问题情境，引入新课 师在第四节我们学习了一元一次不等式，知道了一元一次不等式的有关概念，今天我们要学习一元一次不等式组，大家能否从字面上来推断一下它们之间是否存在一定的关系呢？请交流后发表自己的见解. 生所谓“组”，就不是唯一的，而是由两个以上的元素组成的，也就是说一元一次不等式组是由几个一元一次不等式组成的集合. 师大家同意这位同学的说法吗？ 生同意. 师好，下面我们就来验证一下大家的猜想是否正确. 二.新课讲授 1.一元一次不等式组的有关概念 出示小黑板 某校今年冬季烧煤取暖时间为4个月.如果每月比计划多烧5吨煤，那么取暖用煤总量将超过100吨；如果每月比计划少烧5吨煤，那么取暖用煤总量不足68吨.该校计划每月烧煤多少吨？ 师这是一个实际问题，请大家先理解题意，搞清已知条件和未知元素，从而确定用哪一个知识点来解决问题，即把实际问题转换为数学模型，从而求解. 生已知条件有：取暖时间为4个月，未知量是计划每月烧煤的数量（x）当每月比原计划多烧5吨煤时，每月实际烧煤（x+5）吨，这时总量4（x+5）100；当每月比原计划少烧5吨煤时，实际每月烧（x5）吨煤，有4（x5）68. 解：设该校计划每月烧煤x吨，根据题意，得 4（x+5）100 （1） 且4（x5）68 （2） 未知数x同时满足（1）（2）两个条件，把（1）（2）两个不等式合在一起，就组成一个一元一次不等式组，记作 师这位同学的分析和解答非常精彩，从上面的形式中，大家能否根据一元一次不等式组的有关概念来类推一元一次不等式的有关概念呢？请互相讨论. 生可以. 一般地，关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 师定义中的几个是指两个或两个以上. 大家能猜想一下这个一元一次不等式组中的x的值吗？ 生既然不等式组是几个不等式的组合，所以x的值应是每个不等式的解集的组合.即每个不等式的解集相加而得，如解不等式（1），（2）得x20,x22,所以不等式组的解集为x22加x20,即为全体实数