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第7章扭转 基本概念与公式 一 扭转变形 1 扭转 以横截面绕轴线作相对旋转为主要特征的变形形式 称为扭转 2 扭转变形产生的条件 在垂直于杆件轴线的平面内作用力偶时 杆即产生扭转变形 3 扭力矩 使杆产生扭转变形的件轴线的外力偶之矩 称为扭力偶矩或扭力矩 一般用Me表示 2020 3 23 1 4 扭转角 杆件发生扭转变形时 截面间绕轴线的相对角位移称为扭转角 一般用 表示 5 扭矩 在扭力矩Me作用下 轴横截面上的分布内力必构成一力偶 且该力偶的矢量方向垂直于横截面 矢量方向垂直于横截面的内力偶矩称为扭矩 一般用Mx表示 二 圆轴扭转切应力 1 圆轴扭转的平面假设 圆轴扭转时 各横截面如同刚性圆片 仅绕轴线作相对旋转 2 圆轴扭转切应力一般公式 2020 3 23 2 切应力方向垂直于该点处半径 3 圆轴扭转切应力一般公式的适用条件 1 圆截面轴 2 圆横截面上的最大切应力不超过材料的剪切比例极限 4 最大扭转切应力 最大扭转切应力出现在圆截面边缘各点处 其值为 5 圆截面的极惯性矩IP和抗扭截面系数WP 对于直径为d实心圆轴 2020 3 23 3 内径为d 外径为D的空心圆截面 二 圆轴扭转强度与动力传递 1 扭转失效方式 屈服与断裂 塑性材料试样受扭时 先发生屈服 在试样表面出现横向与纵向滑移线 最后沿横截面被剪断 脆性材料试样受扭时 变形始终很小 最后在与轴线约成45 倾角的螺旋面发生断裂 2 扭转屈服应力 试样扭转屈服时横截面上的最大切应力 称为材料的扭转屈服应力 2020 3 23 4 3 扭转强度极限 试样扭转断裂时横截面上的最大切应力 称为材料的扭转强度应力 4 扭转极限应力 扭转屈服应力和扭转强度极限统称为材料的扭转极限应力 5 圆轴扭转强度条件 6 圆轴合理截面与减缓应力集中 空心圆截面可以合理利用材料 但管壁太薄会引起局部失稳 反而降低其抗扭能力 设计轴时应尽量减小截面尺寸的急剧改变 以减缓应力集中 2020 3 23 5 7 轴的动力传递 四 圆轴扭转变形与刚度计算 1 圆轴扭转变形公式 轴的扭转变形 用横截面间绕轴线的相对角位移即扭转角 表示 微段dx的扭转变形为 因此 相距l的两横截面的扭转角 为 乘积GIP称为圆轴截面的扭转刚度 2020 3 23 6 2 圆轴扭转刚度条件 2020 3 23 7 第8章弯曲强度问题 一 弯曲正应力 1 纯弯曲梁横截面的 梁横截面上切应力为零 弯矩为常数的受力情况 称为纯弯曲 弯曲正应力公式是在纯弯曲状态建立的 2 基本假设 2 单向受力假设 梁内各纵向 纤维 仅承受轴向拉应力或压应力 1 平面假设 横截面变形后仍为平面 且仍与纵线正交 3 中性层与中性轴 根据平面假设 梁弯曲时部分纤维伸长 部分纤维缩短 其间必有既不伸长也不缩短的过渡层 称为中性层 中性层与横截面的交线 称为中性轴 2020 3 23 8 4 弯曲正应力一般公式 5 弯曲正应力公式适用范围 6 最大弯曲正应力 1 最大正应力不超过材料的比例极限 2 如果梁的长度l远大于截面高度h 例如l 5h 同样适用于非纯弯曲 当y ymax时 即横截面上离中性轴最远的各点处 弯曲正应力最大 其值为 2020 3 23 9 二 矩形截面梁的弯曲切应力 1 基本假设 横截面上各点处的切应力 均平行于剪力或截面侧边 并沿截面宽度均匀分布 2 根据上述假设 仅由静力平衡关系即可得到弯曲切应力沿截面高度方向的变化规律 式中FS为横截面的剪力 为所求以上 下 部分截面面积对中性轴的静矩 b为梁截面的宽度 最大切应力发生在中性轴上 其值为 2020 3 23 10 三 梁的强度条件 1 弯曲正应力强度条件 最大弯曲正应力发生在横截面上离中性轴最远的各点处 而该处的切应力一般为零或很小 因而最大弯曲正应力作用点可看成是处于单向应力状态 所以弯曲正应力强度条件为 2 弯曲切应力强度条件 最大弯曲切应力通常发生在中性轴上各点处 而该处的正应力一般为零 最大弯曲切应力作用点处于纯剪切状态 相应强度条件为 2020 3 23 11 四 梁的合理强度设计 1 采用合理的截面形状 尽量增大Wz的数值 2 采用变截面梁和等强度梁 3 合理安排梁的约束与加载方式 五 斜弯曲 六 弯拉 压 组合与偏心压缩 1 弯拉 压 组合的强度条件 2020 3 23 12 2 偏心压缩 2020 3 23 13 第9章弯曲刚度问题 一 挠度和转角 1 挠曲轴 在外力作用下 梁的轴线由直线变为连续光滑的曲线 称为挠曲线 轴 2 挠度 横截面形心在垂直于梁轴方向的线位移 称为挠度 3 转角 横截面相对其原来位置绕中性轴所转过的角度 称为转角 用 表示 挠曲线上任一点的斜率与转角有如下关系 2020 3 23 14 二 梁变形基本方程 1 挠曲轴近似微分方程 梁弯曲时中性层曲率和弯矩的关系 数学方面存在关系 利用上述两式 在小变形条件下略去高阶微量 得到挠曲轴近似微分方程 2020 3 23 15 当w轴取向下为正时 挠曲线近似微分方程可简写为 2 积分法求位移 将挠曲线近似微分方程相继积分两次 得 3 位移边界条件与连续条件 式中积分常数C D可利用梁上某些截面的已知位移来确定 这些已知的位移条件或约束条件 称为梁位移的边界条件 2020 3 23 16 当弯矩方程有n段时 则共有2n个积分常数 这时 除利用边界条件 还要利用挠曲线的光滑连续条件来确定所有积分常数 三 计算梁位移的叠加法 1 叠加法 载荷分解法 在线弹性范围内 小变形的前提下 挠度和转角总是梁上载荷的线性齐次函数 因此 可以用叠加法求梁的变形 即梁上几个载荷共同作用所引起的总变形等于各个载荷分别作用所引起的变形的代数和 2 逐段分析求和法 逐段刚化法 将梁分成若干段 分别计算各梁段的变形在需求位移处的位移 然后计算其总和 代数和或矢量和 即得需求的位移 在计算各梁段的变形在需求位移处引起的位移时 除计算的梁段发生变形外 其余各梁段均视为刚体 2020 3 23 17 四 简单静不定梁 1 多余约束 在静不定梁中 凡是多于维持平衡所必须的约束 称为多余约束 与其相应的支反力或支反力偶矩统称为多余支反力 2 相当系统 静不定梁的多余约束解除后 所得到的受力与原静不定梁相同的静定梁 称为原梁的相当系统 3 变形协调条件 相当系统在载荷和多余支反力作用下所发生的变形应与原静不定梁相同 多余约束处的位移 必须符合原静不定梁在该处约束条件的数学表达式 五 梁的刚度条件与合理刚度设计 1 梁的刚度条件 2020 3 23 18 2 梁的合理刚度设计 根据挠度和转角公式分析可看出 梁的挠度 转角与载荷 梁跨度的若干次方成正比 与梁的弯曲刚度EI成反比 因此 梁的合理刚度设计主要考虑一些因素 合理选择截面形状 合理选择材料 梁的合理加强 梁跨度的选取 合理安排梁的约束与加载方式等 2020 3 23 19 第10章应力状态与强度理论及其工程应用 一 应力状态 1 应力状态 在构件内部 通过一点的各微截面的应力状态 称为该点处的应力状态 2 微元体 为了研究一点的应力状态 通常围绕该点截取无限小正六面体 称为微元体 由于微元体的边长为无穷小量 在分析一点处的应力状态时 一般以微元体作为研究对象 二 平面应力状态应力分析 1 平面应力状态 在微体的六个侧面中 仅在微元体四个侧面作用有应力 而且应力作用线均平行于微元体不受力表明 称为平面应力状态 平面应力状态有三个独立的应力 x y z 2020 3 23 20 2 微元体斜截面的应力 当一点处的平面应力状态确定后 即已知 x y z 可以计算任一与z轴平行的斜截面上的应力 公式为 三 平面应力状态的极值应力与主应力 1 平面应力状态的极值应力 2020 3 23 21 主应力方位 最大剪应力和最小剪应力所在截面互相垂直 且和正应力极值平面成45 夹角 2 主平面与主应力 剪应力为零的截面 称为主平面 主平面上的正应力称为主应力 主应力按其代数值排列顺序为 由三对互垂主平面构成的微元体 称为主平面微元体 3 复杂应力状态 2020 3 23 22 三个主应力中 有两个等于零 一个不等于零 称为单向应力状态 若三个主应力中 有一个等于零 两个不等于零 称为二向应力状态 或平面应力状态 若三个主应力都不等于零 称为三向应力状态 四 三向应力状态的最大应力 1 三向应力状态的最大应力 最大正应力 最小正应力 最大切应力 2 最大切应力与各正应力所在平面的位置关系 最大剪应力 max所在平面与 2主平面平行 且与 1 2所在主平面各成45 夹角 2020 3 23 23 五 各向同性材料的应力 应变关系 1 广义胡克定律 三向应力状态下 应力 应变间关系为 2020 3 23 24 2 主应变与主应力间的关系 即最大与最小主应变分别发生在最大与最小主应力方位 2020 3 23 25 3 平面应力状态可写为 4 各向同性材料各弹性常数之间的关系 2020 3 23 26 六 总应变能密度 1 应变能密度 2 体积改变能密度与畸变能密度 体积改变能密度 畸变能密度 2020 3 23 27 七 强度理论基本概念 1 材料失效形式 1 屈服失效 发生显著塑性变形的失效方式 这种失效方式常常是切应力过大引起的 2 断裂或脆性断裂失效 材料未发生显著塑性变形而突然断裂的失效方式 断裂常常是拉应力过大或拉应变过大所引起 2 强度理论 关于材料破坏或失效规律的假说或学说 八 关于断裂的强度理论 1 第一强度理论 最大拉应力理论 该理论认为材料发生脆性断裂破坏是由最大拉应力引起的 复杂应力状态下 当最大拉应力 1达到单向拉伸时发生脆性断裂破坏的极限应力 材料发生脆性断裂破坏 即 2020 3 23 28 2 第二强度理论 最大拉应变理论 该理论认为材料发生脆性断裂破坏是由最大拉应变引起的 复杂应力状态下 当最大拉应变 1达到单向拉伸时发生脆性断裂破坏的极限应变 01 材料发生脆性断裂破坏 即 强度条件为 根据第二强度理论建立的强度条件为 2020 3 23 29 1 第三强度理论 最大剪应力理论 该理论认为材料发生塑性屈服破坏是由最大剪应力引起的 复杂应力状态下 当最大剪应力 max达到单向拉伸时发生塑性屈服破坏的极限应变 0max 材料发生塑性屈服破坏 即 根据第三强度理论建立的强度条件为 八 关于屈服的强度理论 2020 3 23 30 2 第四强度理论 畸变能密度理论 该理论认为材料发生塑性屈服破坏是由形状改变比能引起的 复杂应力状态下 当畸变能密度ud达到单向拉伸时发生塑性屈服破坏的畸变能密度u0d 材料发生塑性屈服破坏 即 根据第四强度理论建立的强度条件为 2020 3 23 31 九 弯扭组合变形 2020 3 23 32 第11章压杆的稳定性分析与稳定性设计 一 弹性体的稳定性概念 1 稳定性 构件在外力作用下 保持原有的平衡形式不改变的能力 称为稳定性 2 稳定平衡 弹性体在小扰动下能保持原来平衡状态的平衡称为稳定平衡 3 不稳定平衡 弹性体在小扰动下不能保持原来平衡状态的平衡称为稳定平衡 4 压杆的失稳 轴向受压的杆件当轴向压力达到一定的临界值 就会发生突然弯曲 压杆不仅不能恢复原有的直线形状 而且继续弯曲 这种现象称为压杆失稳 2020 3 23 33 5 临界载荷 使压杆直线形式的平衡开始由稳定转变为不稳定的轴向压力值 二 细长压杆的临界载荷 1 两端铰支细长压杆的临界载荷 称为欧拉公式 2 两端铰支细长压杆的挠曲线为一正弦曲线 2020 3 23 34 3 导出临界载荷公式时 使用了挠曲线近似微分方程 设压杆在轴向压力F作用下处于微弯平衡状态 故临界载荷公式只适用于小变形 并且细长压杆失稳时的应力低于材料的比例极限 4 两端非铰支细长压杆的临界载荷 杆端的约束对临界载荷影响很大 不同杆端约束的欧拉临界载荷公式统一为 其中乘积称为压杆的相当长度或有效长度 为长度因数 其数值见下表 2020 3 23 35 l l 两端铰支 一端固定 一端自由 一端固定 一端铰支 两端固定 l l 约束情况 长度系数 压杆形状 2020 3 23 36 三 压杆的分类及临界应力总图 1 临界应力与柔度 细长压杆处于临界状态时横截面上的平均应力 称为压杆的临界应力 用 cr表示 细长压杆的临界应力公式为 式中称为柔度或细长比 它综合反映了压杆的长度 支持方式与截面几何性质对临界应力的影响 2 欧拉公式的适用范围 杆内应力不超过比例极限 p和大柔度杆 即 和 式中 2020 3 23 37 3 临界应力的经验公式 直线公式 4 临界应力总图 2020 3 23 38 四 压杆稳定条件与合理设计 1 稳定条件 2 压杆的合理设计 包括下面三个方面 合理选择材料 合理选择材料 合理安排压杆约束与选择杆长 2020 3 23 39 复习题 一 填空题 1 使用强度理论对脆性材料构件进行强度计算时 对以 应力为主的应力状态宜采用第一强度理论 对以 应力为主的应力状态宜采用第二强度理论 拉 压 2 斜弯曲梁横截面的中性轴过心 拉 压 弯和偏心拉 压 时 中性轴形心 形心 不过 3 矩形截面梁横截面上最大剪应力出现在各点 其值 中性轴上 4 用主应力表示的广义虎克定律为 及 2020 3 23 40 5 外径为D 内外径之比为 的圆环形截面的扭转截面系数Wp 6 铸铁水管结冰时会因冰膨胀而被胀裂 而管内的冰却不会破坏 这是因为 冰处于三向受压状态 7 四个常用的古典强度理论的相当应力表达式分别为 及 8 实心圆形截面的扭转截面系数 9 纯剪切状态属于 单 双 三 向应力状态 双 2020 3 23 41 1 两端固定的压杆 材料为Q235钢 截面分别为矩形 圆形和正方形 面积 材料的 弹性模量 试分别计算临界载荷Pcr 二 计算题 解 1 矩形截面 大柔度杆 惯性半径 柔度 2020 3 23 42 2 圆截面 中柔度杆 中柔度杆 3 正方形杆 结论 正方形截面最好 2020 3 23 43 2 承受均布荷载的矩形截面简支梁如图所示 F的作用线通过截面形心且与y轴成15 夹角 已知l 4m b 80mm h 120mm 材料的许用应力 试求梁容许承受的最大荷载 解 2020 3 23 44 3 试画出矩形截面梁横截面上切应力沿截面高度的分布规