第三章勾股定理单元复习.docx

勾股定理单元复习辅导内容：第三章勾股定理知识梳理：知识点1.勾股定理（1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果用a，b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边（即：a2+b2c2）注意：勾股定理揭示的是直角三角形三边关系的定理，只适用于直角三角形。应用勾股定理时，要注意确定那条边是直角三角形的最长边，也就是斜边，在RtABC中，斜边未必一定是c，当A=90时，a2b2 + c2 ；当B=90时，b2a2 + c2练习：1.已知一个Rt的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）A.25 B.14 C.7 D.7或252.求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度： 知识点2.勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法很多，可以用测量计算，可以用代数式的变形，可以用几何证明，也可以用面积（拼图）证明，其中拼图证明是最常见的一种方法。思路：图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一： 方法二： 方法三：知识点3.直角三角形的判别条件（1）如果三角形的三边长啊a，b，c，满足a2+b2c2足，那么这个三角形为直角三角形（此判别条件也称为勾股定理的逆定理）注意：在判别一个三角式是不是直角三角形时，a2+b2是否等于c2时需通过计算说明，不能直接写成a2+b2c2。验证一个三角形是不是直角三角形的方法是：（较小边长）+(较长边长)=（最大边长）时，此三角形为直角三角形；否则，此三角形不是直角三角形.练习：1以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，402.四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。 知识点4.勾股数满足a2+b2c2的三个正整数，称为勾股数。常见的勾股数有：3,4,56,8,108,15,177,24,255,12,139,12,159,40,411.判断下列各组数是不是勾股数（1）3,4,7 （2）5,12,13 （3）1/3,1/4,1/5 (4)3,-4,5知识点5.勾股定理的应用1.勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解2.勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论3.勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决例题讲解：题型一、应用勾股定理建立方程 例1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 变式：如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点A偏离欲到达地点B相距50米，结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10米，求该河的宽度BC为多少米？拓展：如图，已知ABC中，B=90，AB=8cm，BC=6cm，P、Q分别为AB、BC边上的动点，点P从点A开始沿AB方向运动，且速度为每秒1cm，点Q从点B开始BC方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发；设出发的时间为t秒（1）出发2秒后，求PQ的长；（2）从出发几秒钟后，PQB能形成等腰三角形？（3）在运动过程中，直线PQ能否把原三角形周长分成相等的两部分？若能够，请求出运动时间；若不能够，请说明理由题型二、勾股定理在折叠问题中的应用例2.如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使AC恰好落在斜边AB上，且点C与点E重合，求CD的长。 【变式1】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。 【变式2】在矩形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF求DE的长；【变式3】如图，矩形纸片ABCD的边AB10 cm，BC6 cm，E为BC上的一点将矩形纸片沿着AE折叠，点B恰好落在边DC的点G处，求BE的长 题型三、确定几何体上的最短路线例1、 如图所示，有一圆柱形油罐，现要以油罐底部的一点A环绕油罐建子（图中虚线），并且要正好建到A点正上方的油罐顶部的B点，已知油罐高AB=5米，底面的周长是的12米，则梯子最短长度为_米【变式1】如图：一个圆柱的底面周长为16cm，高为6cm，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程为多少？【变式2】一只蚂蚁从长为4cm、宽为3 cm，高是5 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是_cm。【变式3】如图，在笔直的铁路上A、B两点相距25km， C、D为两村庄，DA=10km，CB=15km，DAAB于A，CBAB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求E应建在距A多远处？ 题型四、勾股定理及逆命题有关的几何证明例1、在四边形ABCD中，C是直角，AB=13,BC=3,CD=4,AD=12 证明：ADBD 【变式1】如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=5，PB=12，PC=13，若将PAC绕点A逆时针旋转后，得到PAB，求点P与点P之间的距离及APB的度数【变式2】如图，已知ABC中，AB=5，AC=7，ADBC于点D，点M为AD上任意一点，求MC2MB2 的值。题型五、勾股定理解决实际问题例1、甲乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时30海里的速度向北偏东35方向航行，乙船以每小时40海里的速度向另一方向航行，2小时后，甲船到C岛，乙船到达B岛，B、C两岛相距100海里，判断乙船所走方向，说明理由例2、省道S226在我县境内某路段实行限速，机动车辆行驶速度不得超过60km/h，如图，一辆小汽车在这段路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方36m的C处，过了3s后，测得小汽车与车速检测仪间距离为60m，这辆小汽车超速了吗？【变式1】台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220km的B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km，风力就会减弱一级，该台风中心现在正以15km/h的速度沿北偏东30的方向移动，且台风中心风力不变，如图，若城市所受的风力达到或超过4级，则称为受台风影响（1）该城市是否受到这次台风的影响？请说明理由；（2）若会受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？该城市受到台风影响的最大风力为几级？ 反馈测试：1如图，在一次暴风灾害中，一棵大树在离地面3米处折断，树的顶端落在离树杆底4米处，那么这棵树折断之前的高度是_米2直角三角形一条直角边与斜边分别为4 cm和5 cm，则斜边上的高等于_cm3如图，在直角三角形ABC中，C90，AC12，BC5，则以AB为直径的半圆的面积为_4如图，在四边形ABCD中，A90，若AB4 cm，AD3 cm，CD12 cm，BC13 cm，则四边形ABCD的面积是_5木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80 cm，宽为60 cm，对角线为100 cm，则这个桌面_（填“合格”或“不合格”）6甲、乙两人同时从同一地点出发，甲往东走了8 km，乙往南走了6 km，这时两人相距_km7如图，学校有一块长方形花铺，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”他们仅仅少走了_步路（假设2步为1米），却踩伤了花草8如图，以RtABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若斜边ABa，则图中阴影部分的面积为9如图，在RtABC中，BCA90，点D是BC上一点，ADBD，若AB8，BD5，则CD_10动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB3，BD5如图所示，折叠纸片使点A落在边BC上的A处，折痕为PQ当点A在边BC上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动若限定点P、Q分别在边AB、AD上移动，则点A在边BC上可移动的最大距离为_二、选择题（每题3分，共30分）11下列各组数中，可以构成勾股数的是( ) A13，16，19 B17，21，23 C18，24，36 D12，35，3712下列命题中，是假命题的是( ) A在ABC中，若BCA，则ABC是直角三角形 B在ABC中，若a2(bc) (bc)，则ABC是直角三角形C在ABC中，若A：B：C3：4：5，则ABC是直角三角形 D在ABC中，若a：b：c5：4：3，则ABC是直角三角形13一直角三角形的三边分别为2，3，x，那么以x为边长的正方形的面积为( ) A13 B5 C13或5 D414如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的边长分别是3，5，2，3，则最大的正方形E的面积是( ) A13 B26 C47 D9415在RtABC中，C90，AC3，BC4，则点C到AB的距离是( )ABCD16已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800 cm2，则斜边长为( ) A30 cm B80 cm C90 cm D120 cm17底面周长为12，高为8的圆柱体上有一只小蚂蚁要从点A爬到点B，则蚂蚁爬行的最短距离是( ) A10 B8 C5 D418如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC，交AD于点E，AD8，AB4，则DE的长为( ) A3 B4 C5 D619如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，ABC是等边三角形，ADC30，AD3，BD5，则CD的长为( ) A3 B4 C2 D4.5 20如图，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，黑、白两个甲壳虫同时从点A出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行，黑甲壳虫爬行的路线是AA1A1D1，白甲壳虫爬行的路线是ABBB1，并且都遵循如下规则：所爬行的第n2与第n条棱所在的直线必须是既不平行也不相交（其中n是正整数）那么当黑、白两个甲壳虫各爬行完第2013条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们之间的距离是( ) A0 B1 C D三、解答题（共40分）21如图，已知在ABC中，CDAB于D，AC20，BC15，DB9 (1)求DC的长；(2)求AB的长22观察下列各式，你有什么发现？3245，521213，722425，924041，这到底是巧合，还是有什么规律蕴涵其中呢？请你结合有关知识进行研究若132ab，则a，b的值可能是多少？23如图所示，一轮船以16 n mi1eh的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12 n mi1eh的速度同时从港口出发向东南方向航行，那么离开港口A2h后，两船相距多远？24如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形(1)画出拼成的这个图形的示意图；(2)证明勾股定理25如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC1 km，BD3 km，CD3 km现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20 000元千米，请你在河CD边上选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用？26如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP160米，假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否回受到噪声的影响？说明理由如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米时，那么学校受影响的时间为多少秒？部分参考答案：例 1、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。 思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定理列出方程，求出未知数的值进而求面积。 解析：设此直角三角形两直角边分别是3x，4x，根据题意得： （3x）2+（4x）2202 化简得x216； 直角三角形的面积3x4x6x296例1 拓展【解答】解：（1）出发2秒后，AP=2，BQ=4，BP=82=6，PQ=2；（3分）（2）设时间为t，列方程得2t=81t，解得t=；（6分）（3）假设直线PQ能把原三角形周长分成相等的两部分，由AB=8cm，BC=6cm，根据勾股定理可知AC=10cm，即三角形的周长为8+6+10=24cm，则有BP+BQ=24=12，设时间为t，列方程得：2t+（81t）=12，解得t=4，当t=4时，点Q运动的路程是42=86，所以直线PQ不能够把原三角形周长分成相等的两部分（10分）【解答】解：ABC是直角三角形，AC=6cm，BC=8cm，AB=10cm，AED是ACD翻折而成，AE=AC=6cm，设DE=CD=xcm，AED=90，BE=ABAE=106=4cm，在RtBDE中，BD2=DE2+BE2，即（8x）2=42+x2，解得x=3故CD的长为3cm例2、【解答】解：ABC为等边三角形，AB=AC，BAC=60，PAC绕点A逆时针旋转后，得到PAB，PAP=BAC=60，AP=AP，BP=CP=13，APP为等边三角形，PP=AP=5，APP=60，在BPP中，PP=5，BP=12，BP=13，PP2+BP2=BP2，BPP为直角三角形，BPP=90，APB=APP+BPP=60+90=150答：点P与点P之间的距离为5，APB的度数为150【