余弦定理优秀课件.ppt

余弦定理 用正弦定理解三角形需要已知哪些条件 两角和一边 两边和其中一边的对角 正弦定理 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比相等 复习回顾 思考 如果在一个斜三角形中 已知两边及这两边的夹角 能否用正弦定理解这个三角形 为什么 不能 在正弦定理中 已知两边及这两边的夹角 正弦定理的任一等号两边都有两个未知量 那么 怎么解这个三角形呢 同理 从出发 证得从出发 证得 证明 学过向量之后 我们能用向量的方法给予证明余弦定理 已知AB AC和它们的夹角A 求CB 即 向量法 解析法 bcosC bsinC a 0 0 0 证明 以CB所在的直线为x轴 过C点垂直于CB的直线为y轴 建立如图所示的坐标系 则A B C三点的坐标分别为 同理 bcosC bsinC a 0 0 0 解析法 当角C为锐角时 几何法 当角C为钝角时 余弦定理作为勾股定理的推广 考虑借助勾股定理来证明余弦定理 在锐角三角形ABC中 已知AB c AC b和A 求a 同理有 同样 对于钝角三角形及直角三角形 上面三个等式成立的 课后请同学们自己证明 几何法 用语言描述 三角形任何一边的平方等于其它两边的平方和 再减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 余弦定理 例1 若已知b 8 c 3 A 能求a吗 思考 余弦定理还有别的用途吗 若已知a b c 可以求什么 解 余弦定理的变形 例2 在三角形ABC中 已知a 7 b 10 c 6 求A B C 精确到 分析 已知三边 求三个角 可用余弦定理的变形来解决问题 解 练一练 1 已知 ABC的三边为 2 1 求它的最大内角 变一变 若已知三边的比是 2 1 又怎么求 归纳 利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题 1 已知三边 求三个角 2 已知两边和它们的夹角 求第三边 进而还可求其它两个角 解 由余弦定理得 例3 在 ABC中 若a 4 b 5 c 6 1 试判断角C是什么角 2 判断 ABC的形状 变式训练 在 ABC中 若 则 ABC的形状为 钝角三角形 直角三角形 锐角三角形 不能确定 A 提炼 设a是最长的边 则 ABC是钝角三角形 ABC是锐角三角形 ABC是直角三角形 推论 判断三角形的形状 练习 一钝角三角形的边长为连续自然数 则这三边长为 A 1 2 3B 2 3 4C 3 4 5D 4 5 6 分析 要看哪一组符合要求 只需检验哪一个选项中的最大角是钝角 即该角的余弦值小于0 B中 所以C是钝角 D中 所以C是锐角 因此以4 5 6为三边长的三角形是锐角三角形 A C显然不满足 B 练习 在三角形ABC中 已知a 7 b 8 cosC 求最大角的余弦值 分析 求最大角的余弦值 最主要的是判断哪个角是最大角 由大边对大角 已知两边可求出第三边 找到最大角 解 则有 b是最大边 那么B是最大角 1 余弦定理适用于任何三角形 3 由余弦定理可知 2 余弦定理的作用 a 已知三边 求三个角 b 已知两边及这两边的夹角 求第三边 进而可求出其它两个角 c 判断三角形的形状 小结 正余弦定理在解三角形中能解决哪些问题 角边角角角边边边角边角边边边边 正弦定理 余弦定理 运用 例2 在三角形ABC中 已知a 2 730 b 3 69