第二章 点、直线、平面之间的位置关系 重难点解析.doc

人教版数学必修二第二章 点、直线、平面之间的位置关系 重难点解析第二章 课文目录21空间点、直线、平面之间的位置关系 22直线、平面平行的判定及其性质 23直线、平面垂直的判定及其性质 重难点:1、认识空间中点、直线、平面之间的位置关系。2、通过对大量图形的观察、实验、操作和说理，进一步了解平行、垂直判定方法以及基本性质。3、准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，体验公理化思想，培养逻辑思维能力，并解决简单的推理论证及应用问题。4、在空间中实现平行关系、垂直关系、垂直与平行关系之间的转化。空间平行、垂直之间的转化与联系：直线与直线平行直线与平面平行平面与平面平行直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直一、空间点、直线、平面之间的位置关系“空间点、直线、平面之间的位置关系”包括平面、空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面的位置关系，空间中平面与平面的位置关系。推理依据的4个公理和定理：公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。公理4：平行于同一条直线的两条直线平行。定 理：空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。平行和垂直是空间中最重要的两种关系。平行反映了空间的平直性，垂直反映了空间的对称性。1、直线与直线：我们把不同在任何一个平面内两条直线叫做异面直线。空间中两条直线的位置关系有三种：共面直线相交直线：同一平面内，有且只有 一个公共点。平行直线：同一平面内，没有公共点。异面直线：不同在任何一个平面内 ，没有公共点。为了表示异面直线a,b不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托。abb ab公理四：平行于同一条直线的两条直线互相平行。用符号语言表示如下设a,b,c是三条直线，ab ac cba,b,c三条直线两两平行，可以记为a b c 这个公理实质上 就是说平行具有传递性，在平面内，在空间，这个性质都是不变的。2、直线与平面：一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种：位置关系直线a在平面内直线a与平面相交直线a与平面平行公共点符号表示图形表示aaa证线面平行的基本方法：线线平行 线面平行证线线平行的基本方法：线面平行 线线平行3、平面与平面：（1）两个平面平行两个平面没有公共点；（2）两个平面相交有且只有一条公共直线。分类两个平面平行两个平面相交定义没有公共点有且只有一条公共直线图象a符号表示=a强调作图的要求：（1）画两个平行平面时，表示平面的平行四边形对应边平行；（2）画两个相交平面时，先画表示平面的平行四边形的小脚两边，画表示两个平面的交线线段，而后在各点引同向且相等的线段，成图时注意：不可见的部分画成虚线或不画。平面平行的判定：方法一：根据定义；方法二：实例引入（木工师傅用水平仪检查桌面是否水平的方法）检测方法：将水平仪在桌面上交叉放两次，如果两次气泡都在中间，就能判断桌面水平。问题：木工检测水平的原理是什么呢？引出两个平面平行的判定定理。abA两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 判定定理的符号表示： 若a,b,ab=A 且a,b对定理的理解：（1）判定定理的实质是：线面平行面面平行（2）注意是同一平面内的两条相交直线（问是两条平行直线行不行，为什么？）（3）这两条直线都要平行于第二个平面。典型例题：【例1】已知异面直线a和b所成的角为50，P为空间一定点，则过点P且与a、b所成角都是30的直线有且仅有（ ）. A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条解析：过P作a，b，若Pa，则取a为，若Pb，则取b为这时，相交于P点，它们的两组对顶角分别为50和130. 记，所确定的平面为，那么在平面内，不存在与，都成30的直线 过点P与，都成30角的直线必在平面外，这直线在平面的射影是，所成对顶角的平分线其中射影是50对顶角平分线的直线有两条l和，射影是130对顶角平分线的直线不存在故答案选B.【例2】如图正方体中，E、F分别为D1C1和B1C1的中点，P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点. （1）求证：D、B、F、E四点共面；（2）若A1C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线.证明：（1） 正方体中，. 又 中，E、F为中点， . , 即D、B、F、E四点共面.（2） ， .又 ， ， . 即P、Q、R三点共线【例3】已知直线a/b/c，直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，求证：a、b、c、d四线共面.证明：因为a/b，由公理2的推论，存在平面，使得.又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C，由公理1，.假设，则, 在平面内过点C作，因为b/c，则，此与矛盾. 故直线.综上述，a、b、c、d四线共面.点评：证明一个图形属于平面图形，需要紧扣公理2及其三条推论，寻找题中能确定平面的已知条件. 此例拓展的证明先构建出一个平面，然后从假设出发，推出矛盾，矛盾的原因是假设不成立，这就是证明问题的一种反证法的思路.【例4】如图中，正方体ABCDA1B1C1D1，E、F分别是AD、AA1的中点.（1）求直线AB1和CC1所成的角的大小；（2）求直线AB1和EF所成的角的大小.解析：（1）如图，连结DC1 ， DC1AB1， DC1 和CC1所成的锐角CC1D就是AB1和CC1所成的角. CC1D=45， AB1 和CC1所成的角是45.（2）如图，连结DA1、A1C1， EFA1D，AB1DC1， A1DC1是直线AB1和EF所成的角. A1DC1是等边三角形， A1DC1=60，即直线AB1和EF所成的角是60.点评：求解异面直线所成角时，需紧扣概念，结合平移的思想，发挥空间想象力，把两异面直线成角问题转化为与两相交直线所成角，即将异面问题转化为共面问题，运用化归思想将难化易. 解题中常借助正方体等几何模型本身的性质，依照选点、平移、定角、计算的步骤，逐步寻找出解答思路【例5】如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是一个矩形，(1)求证：CD|平面EFGH；(2)求异面直线AB，CD所成的角证明：（1）由四边形EFGH是矩形可得，EF|GH，可证得EF|平面BCD，又因CD是过EF的平面ACD与平面BCD的交线，则EF|CD，所以CD|平面EFGH （2）由CD|平面EFGH，可证得CD|GH；同理可证AB|GF；FGH就是异面直线AB，CD所成的角（或补角），因为EFGH是矩形，所以FGH=900，则异面直线AB，CD所成的角为900【例6】M，N，P分别为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD上的点，且AM：MB=CN：NB=CP：PD.求证：（1）AC|平面MNP，BD|平面MNP； （2）平面MNP与平面ACD的交线|AC证明：（1） AC|平面MNP, BD|平面MNP. （2），即平面MNP与平面ACD的交线|AC【例7】如图O是正方体下底面ABCD中心，B1HD1O，H为垂足求证：B1H 平面AD1C证明：再找一条与B1H垂直的直线AC，证AC平面BB1D1D即可，又ACOD1=O, 因此 B1H 平面AD1CADCBA1B1C1D1【例8】如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，求证：平面C1BD平面AB1D1。 证明：ABCDC1D1，且AB=CD=C1D1，ABC1D1为平行四边形，BC1AD1BC1平面AB1D1AD1平面AB1D1/ BC1平面AB1D1同理得C1D平面AB1D1BC1C1D=C1平面C1BD平面AB1D1【例9】如图，正方体AC1中，已知O为AC与BD的交点，M为DD1的中点。（1）求异面直线B1O与AM所成角的大小。（2）求二面角B1MAC的正切值。解析：（1）方法二：取AD中点N，连结A1N，则A1N是B1O在侧面ADD1A1上的射影.易证AMA1NAMB1O（三垂线定理）（2）连结MB1，AB1，MC，过O作OHAM于H点，连结B1H，B1O平面MAC，B1HO就是所求二面角B1MAC的平面角.【例10】在正方体AC1中，E为BC中点（1）求证：BD1平面C1DE；（2）在棱CC1上求一点P，使平面A1B1P平面C1DE；（3）求二面角BC1DE的余弦值。证明：二、直线、平面平行的判定及其性质判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行。两个平面平行，则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行。1、直线与平面的判定及其性质：线面平行的判定定理中，包含要素：两线一面. 两线一面的关系是：一线在面外一线在面内. 结论是：线面平行.线面平行的性质定理中，包含要素：两线两面. 两线两面的关系是：一线在一面内平行于另一面，一线是两面的交线. 结论是：两线平行.典型例题：【例1】已知空间四边形中，分别是的中点，求证：分析：根据条件知EF为ABD的中位线，从而有，再由，根据线面平行的判定定理就可以得到.证明：连结，在中，分别是的中点，又， 点评：要证明线面平行，就要运用已有知识先证明线线平行.【例2】已知直线a直线b，直线a平面,b， 求证：b平面.分析：见到直线与平面平行，首先想到线面平行的性质定理，将问题转化为线线平行的问题，在根据线线平行推出线面平行.证明：过a作平面交平面于直线c a ac 又ab bc， b, c，b. 点评：在平面几何中作辅助线是解决问题的重要途径之一，在空间几何中作辅助线、辅助面是观察和解决问题的重要手段.【例3】已知直线平面，直线平面，平面平面=，求证分析： 利用公理4，寻求一条直线分别与a，b均平行，从而达到ab的目的可借用已知条件中的a及a来实现证明：经过作两个平面和，与平面和分别相交于直线和，平面，平面，又平面，平面，平面，又平面，平面平面=，又，所以，点评：作辅助线、辅助面是构造法证明问题的主要体现.【例4】如下图，两个全等的正方形ABCD和ABEF所在平面相交于AB，MAC，NFB且AM=FN，求证：MN平面BCE.分析：根据两个全等的正方形对应线段的相等关系，及平行公理得到平行四边形MPQN.由MNPQ，MN平面BCE，PQ平面BCE.根据线面平行的判定定理得证.证明：过M作MPBC，NQBE，P、Q为垂足，连结PQ.MPAB，NQAB，MPNQ.又NQ= BN=CM=MP，MPQN是平行四边形.MNPQ，PQ平面BCE.而MN平面BCE，MN平面BCE.点评：证明直线和平面的平行通常采用“线线”平行，利用直线和平面平行的判定定理，证得“线面”平行. 【例5】如下图，设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过AB的中点O作平面与a、b分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与交于点P，求证：P是MN的中点.证明：连结AN，交平面于点Q，连结PQ.b，b平面ABN，平面ABN=OQ，bOQ.又O为AB的中点，Q为AN的中点. a，a平面AMN且平面AMN=PQ，aPQ.P为MN的中点.点评：本题重点考查直线与平面平行的性质.应用直线与平面平行的判定及性质证明问题，不但需要平面几何的知识作基础，更需要解决问题和处理问题的方法，这需要在学习中善于思考、善于总结和积累，由量变到质变，当积累达到一定的程度，就会升华。【例6】求证：如果过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，那么这条直线在此平面内已知：，求证：证明：设与确定平面为，且，；又，都经过点，重合，【例7】已知直线平面，直线平面，平面平面=，求证分析： 利用公理4，寻求一条直线分别与a，b均平行，从而达到ab的目的可借用已知条件中的a及a来实现证明：经过作两个平面和，与平面和分别相交于直线和，平面，平面，又平面，平面，平面，又平面，平面平面=，又，所以，【例8】如图：E、H分别是空间四边形ABCD的边AB、AD的中点，平面过EH分别交BC、CD于F、G。求证：EH/FG三、直线、平面垂直的判定及其性质判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。 一个平面过另一个平面的垂线，则两个平面垂直。性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。空间中的平行关系和垂直关系在一定条件下互相转化，如垂直于同一个平面的两条直线平行等等。1. 两个平面的位置关系，同平面内两条直线的位置关系相类似，可以从有无公共点来区分。因此，空间不重合的两个平面的位置关系有： （1） 平行没有公共点； （2） 相交有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线。 注意：在作图中，要表示两个平面平行时，应把表示这两个平面的平行四边形画成对应边平行。2. 两个平面平行的判定定理表述为： 4. 两个平面平行具有如下性质： （1） 两个平行平面中,一个平面内的直线必平行于另一个平面。 简述为：“若面面平行,则线面平行”。 （2） 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。 简述为：“若面面平行,则线线平行”。 （3） 如果两个平行平面中一个垂直于一条直线，那么另一个也与这条直线垂直。 （4） 夹在两个平行平面间的平行线段相等。5. 证明两个平面平行的方法有： （1）根据定义。证明两个平面没有公共点。 由于两个平面平行的定义是否定形式，所以直接判定两个平面平行较困难，因此通常用反证法证明。 （2）根据判定定理。证明一个平面内有两条相交直线都与另一个平面平行。 （3）根据“垂直于同一条直线的两个平面平行”，证明两个平面都与同一条直线垂直。6. 两个平行平面的判定定理与性质定理不仅都与直线和平面的平行有逻辑关系，而且也和直线与直线的平行有密切联系。就是说，一方面，平面与平面的平行要用线面、线线的平行来判定；另一方面，平面与平面平行的性质定理又可看作平行线的判定定理。这样，在一定条件下，线线平行、线面平行、面面平行就可以互相转化。7. 两个平行平面有无数条公垂线，它们都是互相平行的直线。夹在两个平行平面之间的公垂线段相等。因此公垂线段的长度是唯一的，把这公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离。显然这个距离也等于其中一个平面上任意一点到另一个平面的垂线段的长度。两条异面直线的距离、平行于平面的直线和平面的距离、两个平行平面间的距离，都归结为两点之间的距离。典型例题：【例1】如图223：已知正方体ABCDA1B1C1D1，求证：平面AB1D1/平面BDC1。A1ABCDB1C1D1图223解析：要证明两个平面平行，由面面平行的判定定理知，须在某一平面内寻找两条相交且与另一平面平行的直线证明:ABC1D1，C1D1A1B1，AD1/BC1AB A1B1，四边形ABC1D1为平行四边形，又AD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，BC1/平面AB1D1，同理，BD/平面AB1D1，又BDBC1B，平面AB1D1/平面BDC1。点评:证面面平行，通常转化为证线面平行，而证线面平行又转化为证线线平行，所以关键是证线线平行。【例2】如图224：B为ACD所在平面外一点，M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，（1）求证：平面MNG/平面ACD；（2）求ABDCPHFMGN图224解析：（1）要证明平面MNG/平面ACD，由于M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，因此可想到利用重心的性质找出与平面平行的直线。证明:连结BM、BN、BG并延长交AC、AD、CD分别于P、F、H。M、N、G分别为ABC、ABD、BCD的重心，则有：连结PF、FH、PH有MNPF，又PF平面ACD，MN平面ACD。同理：MG平面ACD，MGMNM，平面MNG平面ACD（2）分析：因为MNG所在的平面与ACD所在的平面相互平行，因此，求两三角形的面积之比，实则求这两个三角形的对应边之比。解：由（1）可知，MGPH，又PHAD，MGAD同理：NGAC，MNCD，MNGACD，其相似比为1：3，1：9点评:立体几何问题，一般都是化成平面几何问题，所以要重视平面几何。比如重心定理，三角形的三边中线交点叫做三角形有重心，到顶点的距离等于它到对边中点距离的2倍。【例3】ABCDEFGH如图：在正方体ABCDEFGH中，求证：平面AFH/平面BDG。解析：易证BD/平面AHF，BG/平面AHF，平面BDG/平面AHF。ABCDEFGH图226RQSMNP【例4】如图：在正方体ABCDEFGH中，M、N、P、Q、R、S分别是AE、EH、EF、CG、BC、CD的中点，求证：平面MNP/平面QRS。解析：先证明SR/BD，BD/HF,HF/NP, SR/平面MNP,再证RO/平面MNP，从而证明平面MNP/平面QRS【例5】如图，正四棱锥SABCD的底面边长为a，侧棱长为2a，点P、Q分别在BD和SC上，并且BPPD12，PQ平面SAD，求线段PQ的长.解析： 要求出PQ的长，一般设法构造三角形，使PQ为其一边，然后通过解三角形的办法去处理.作PMAD交CD于M连QM，PM平面SAD，PQ平面SAD.平面PQM平面SAD，而平面SCD分别与此两平行平面相交于QM，SD.QMSD.BCa,SD2a.,MPa,.MQSDa,又PMQADS.cosPMQcosADS.在PMQ中由余弦定理得PQ2(a)2+(a)2-2aaa2.PQa.评析：本题的关键是运用面面平行的判定和性质，结合平行线截比例线段定理，最后由余弦定理求得结果，综合性较强.【例6】已知：如图，异面直线AB、CD和平面、分别交于A、B、C、D四点，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证：(1)E、F、G、H共面；(2)面EFGH平面.证明 (1)E、H分别是AB、DA的中点，EHBD.同理FGBD.FGEH.四边形EFGH是平行四边形，即E、F、H、G共面.(2)平面ABD和平面有一个公共点A，设两平面交于过点A的直线AD， ADBD.又BDEH，EHBDAD.EH平面，EH平面，同理FG平面，FG平面.平面EFHG平面平面.【例7】如图，已知正方体ABCDA1B1C1D1，求证：(1)平面AB1D1平面C1BD；(2)对角线A1C被平面AB1D1和平面C1BD三等分.解析：本题若根据“一个平面内两条相交的直线分别与另一平面内两条相交的直线平行，则两平面平行”是很容易解决论证平面AB1D1平面C1BD的，但兼顾考虑(2)的论证，(1)我们还是采用“两平面垂直于同一直线则两平面平行”的判定的方法.证：(1)连AC，BDAC，AC是A1C在底面上的射影，由三条垂线定理得A1CBD，同理可证A1CBC1.A1C平面C1BD，同理也能证得A1C平面AB1D1.平面AB1D1平面C1BD.(2)设A1到平面AB1D1的距离为h，正方体的棱长为a，则有：h(a)2a a2.ha.同理C到平面C1BD的距离也为a，而A1Ca.故A1C被两平行平面三等分.评析：论证A1C被两平行平面三等分，关键是求A1到平面AB1D1的距离，C到平面C1BD的距离，这里用三棱锥体积的代换，若不用体积代换，则可以在平面A1ACC1中去考虑：连A1C1，设A1C1B1D1O1，ACBD0，如图连AO1，C1O，AC1，设AC1A1CK.A1CAO1M，C1OA1CN.可证M为A1AC1的重心，N为ACC1的重心，则可推知MNNCA1M.另外值得说明的是：A1C是面AB1D1和面BC1D的公垂线.异面直线AD1和C1D的距离也等于MN.【例8】如图，已知直线a平面；求证：过a有且只有一个平面平行于.证明 (1)存在性：设过a的平面与交于a，a，aa.在上，设直线baA,在a上取点A，A与b确定平面，在上过A作bb.则a、b是相交直线(若重合，则显然ba，矛盾).a,b确定平面，则.(2)唯一性：设过a还有一个平面，与有公共点A，与相交于过A的直线b，又a，b，bb,bb,而b与b都过点A，故重合，故与重合.【例9】经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行.已知：A，A，求证：是唯一的.证：设l过A点，且l，这样的直线是唯一的.又，则l，过点A与平面的平面一定和l垂直.过点A和直线l垂直的平面是唯一的.过点A和平行的平面是唯一的.【例10】一条直线和两个平行平面相交，求证：它和两个平面所成的角相等.已知：，直线a分别与和相交于点A和A.求证：a与所成的角与a与所成的角相等.解析：(1)当a时，.即a与所成的角与a与所成的角都是直角.(2)当a是的斜线时，如图，设P是a上不同于A、A的任意一点，过点P引a, aB,aB.连结AB和AB.a，a.由此可知，PAB是a和所成的角，PAB是a和所成的角，而ABAB.PABPAB即 a和所成的角等于a和所成的角.【例11】a和b是两条异面直线，求证：过a且平行b的平面必平行于过b且平行于a的平面.已知：a,b是异面直线，a，b,a,b.求证：.证：过b作平面与平面交于b545.如图，直线AC、DF被三个平行平面、所截.求证：证：(i)当AC，DF共面S时，连AD，BE，CF则ADBECF从而(ii)当AC、DE异面时，连CD设CDG连AD、BG、GE、CF，如图，平面ACDBG，平面ACDAD.BGAD同理可证：EGCF，综合(i)(ii)知：.高一数学必修2第二章测试题试卷满分：150分 考试时间：120分钟班级_ 姓名_ 学号_ 分数_第卷一、选择题（每小题5分，共60分）1、线段在平面内，则直线与平面的位置关系是 A、 B、 C、由线段的长短而定 D、以上都不对2、下列说法正确的是 A、三点确定一个平面 B、四边形一定是平面图形 C、梯形一定是平面图形 D、平面和平面有不同在一条直线上的三个交点3、垂直于同一条直线的两条直线一定 A、平行 B、相交 C、异面 D、以上都有可能4、在正方体中，下列几种说法正确的是 A、 B、 C、与成角 D、与成角5、若直线平面，直线，则与的位置关系是 A、 B、与异面 C、与相交 D、与没有公共点6、下列命题中：（1）、平行于同一直线的两个平面平行；（2）、平行于同一平面的两个平面平行；（3）、垂直于同一直线的两直线平行；（4）、垂直于同一平面的两直线平行.其中正确的个数有A、1 B、2 C、3 D、47、在空间四边形各边上分别取四点，如果与能相交于点，那么 A、点必在直线上B、点必在直线BD上C、点必在平面内 D、点必在平面外8、a，b，c表示直线，M表示平面，给出下列四个命题：若aM，bM，则ab；若bM，ab，则aM；若ac，bc，则ab；若aM，bM，则ab.其中正确命题的个数有A、0个 B、1个 C、2个 D、3个9、一个棱柱是正四棱柱的条件是 A、底面是正方形，有两个侧面是矩形 B、底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C、底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 D、每个侧面都是全等矩形的四棱柱10、在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后,剩下的凸多面体的体积是A、 B、 C、 D、11、已知二面角的平面角是锐角，内一点到的距离为3，点C到棱的距离为4，那么的值等于 A、B、C、 D、12、如图:直三棱柱ABCA1B1C1的体积为V，点P、Q分别在侧棱AA1和CC1上，AP=C1Q，则四棱锥BAPQC的体积为A、 B、 C、 D、二、填空题（每小题4分，共16分）13、等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是_(填”大于、小于或等于”).14、正方体中，平面和平面的位置关系为 15、已知垂直平行四边形所在平面，若，平行则四边形 一定是 .16、如图，在直四棱柱A1B