《回归i分析》PPT课件.ppt

第二节一元线性回归 一 一元线性回归的数学模型 二 未知参数a b 2的点估计 三 线性相关假设检验 一 一元线性回归的数学模型 回归关系 前一节介绍了两个变量间的相关关系 若这两个变量中一个是可控变量 另一个是随机变量 则称这两个变量之间的相关关系为回归关系 回归函数 当可控变量X和随机变量Y之间存在回归关系时 Y的数学期望E Y 是可控变量X的取值x的函数 记为 x 即E Y x 称 x 为回归函数 回归分析就是根据试验结果 研究可控变量与随机变量之间的相关关系 建立变量间关系的近似表达式 并由此对随机变量进行预测和控制 一元线性回归的数学模型的两个前提 1 线性相关假设 2 随机变量Y服从正态分布 即 这里 2是与x无关的未知参数 可控变量X的取值x无关的未知参数 设随机变量 称其为随机误差 则 设 x a bx 这里a b是与 一元线性回归的数学模型 线性回归的任务 其中a b 2是与x无关的未知参数 x是可控变量X的取值 根据试验的观测值求出a b 2的估计量 从而对于任何x 得回归函数的估计量 称其为随机变量Y倚变量X的线性回归方程 其直线称为回归直线 从而为进一步的预测和控制提供依据 二 未知参数a b和 2的点估计 1 未知参数a b的最小二乘估计 根据偏差的平方和为最小来选择待估参数的方法称为最小二乘法 由此方法得到的估计量称为最小二乘估计 最小二乘法 即 就一元线性回归的数学模型 对于样本观察值 求使得二元函数 最小的a b的估计量 未知参数a b的最小二乘估计 为此 令 即 用克莱姆法则解此二元线性方程组 得a b 的最小二乘估计 可以证明 从而得回归方程 1 也是a b的极大似然估计 2 是y1 y2 yn的线性函数 3 是a b的无偏估计 且是a b的一切线性无偏估计量中方差最小的估计量 回归直线的两个重要特征 1 yi偏离回归值的总和为零 即 2 平面上n个点 由a b的最小二乘估计的推导过程可得 称为观察值yi的回归值 i 1 2 n 例1 记录市场上某种商品的价格x与实际供给量y之间的一组数据如下 试求该商品的供给量y倚价格x的回归方程 解 2 未知参数 2的估计 首先给出残差平方和 剩余平方和 和回归平方和的概念 残差平方和 剩余平方和 回归平方和 于是 即 所以 可以证明 残差平方和的计算方法 总成立 定理 平方和分解公式 对容量为n的样本 即 证明 又 所以 由此可得 即 总偏差平方和 残差平方和 回归平方和 例2 为研究一游泳池池水经化学处理后 水中氯气的残留量y ppm 与经历的时间x 自处理结束时算起 以h计 的关系 测得以下数据 1 试求出y倚x的回归方程 2 估计方差 2 解 2 未知参数 2的估计 三 线性相关假设检验 线性回归分析假定变量x和y是线性相关的 即回归函数 x 具有形式a bx 因此 在实际应用中 计算得到的回归方程是否具有实际意义 取决于线性相关假设是否符合实际 所以 应根据观察值 运用假设检验的方法 判断变量x和y之间是否确实存在线性相关关系 即检验系数b是否为零 若b 0 则 x 不依赖于x 即变量x和y不线性相关 而线性相关关系成立时 b不应为零 由此提出原假设 备择假设 为取得检验统计量 先介绍以下定理 定理 在一元线性回归的数学模型下 1 b的最小二乘估计 相互独立 由此得 从而得到对H0的检验的两种方法 T检验法和F检验法 1 T检验法 备择假设 2 取检验统计量 3 则拒绝域为 1 提出原假设 2 F检验法 备择假设 1 提出原假设 2 取检验统计量 3 则拒绝域为 例3 某地区第1年到第6年的用电量y 单位 亿度 与年次x的统计数据如下 试求y倚x的回归方程 并在 0 01下用T检验法检验y与x之间是否存在显著的线性相关关系 解 2 先求未知参数 2的估计 提出原假设 备择假设 检验统计量 拒绝域为 0 01 所以拒绝H0 因为 认为y与x之间存在显著的线性相关关系 例4 对某地区生产同一产品的8个不同规模的乡镇企业进行生产费用调查 得产量x 万件 和生产费用y 万元 的数据如下 试求y倚x的回归方