内蒙古大学计算机学院离散数学作业.doc

离 散 作 业命题逻辑：1. 命题符号化：1) 小张不仅能吃苦，而且很能干。2) 吃一堑长一智。3) 除非小明努力学习，否则他就不能取得好成绩。2. 当P、Q的值为0，R、S的值为1时求下列公式的值。1) （P(Q R)）（RS）2) （PR)(QS）3. 设A、B、C为任意的命题公式，若AC=BC，则A=B一定为真吗？试说明原因。4. 列出命题公式(P(QR)(PQ)(PR)的真值表5. 证明：(PQ)(QR)PR6. 求解(PQ) ( P ( Q R) ) ) ( P Q ) ( P R ) 的公式类型？ （永真、永假、可满足？）7. 试将PQ化成与之等值的并仅含联结词的公式. 8. 试将(PQ)R化成与之等值的并仅含，的公式. 9. 试用推理方式求解(PQ)(PR)的主合取范式，并根据其主合取范式写出其对应的主析取范式。10. 列出公式(P(QR)(PQR)的真值表，根据真值表写出其对应的主合取范式和主析取范式。11. 用演绎法证明前提：P(QS) ，RP，Q结论:：RS12. 运用CP规则证明前提：P(QS) ，RP，Q结论:：RS 13. 用归结法证明下面推理：前提：P(QS) ，RP，Q结论:：RS 14. 在形式系统L中证明：B(BA).谓词逻辑：1. 谓词符号化：1) 所有的鱼都生活在水中。2) 没有大于2的偶素数。3) 并不是每个人都聪明。2. 设个体域D=a,b，将一阶公式(x)(F(x)($y)G(y)中的量词消除3. 设个体域为整数集，令P(x,y)：x+y=1；Q(x,y)：xy0，试求解下列命题的真假。1) (x) ($y)P(x,y).2) ($x) (y)Q(x,y).4. 求前束范式：1) ($x)F(x)(x)R(x).2) (x)P(x)($y)Q(y)(x)R(x).5. 证明：前提：(x)(A(x) B(x)C(x)，($x)(A(x)D(x)结论：($x)(C(x)D(x)6. 所有的整数均为有理数并且为实数，存在是整数又是奇数的数，因而存在是奇数又是实数的数。写出上面推理的证明。(用谓词逻辑，写出用谓词表示的前提、结论和证明过程)集合论：1. AB，AB能否同时成立，说明原因2. 求集合Aa，a的幂集3. 证明：若BC，则P(B) P(C)4. 如果AB=AC，是否有B=C？ 如果AB=AC，是否有B=C？5. 试求1到10000之间不能被4，5或6整除的整数个数.6. 列出所有从A=a,b,c到B=s的关系，并指出A*A中的恒等关系和全域关系.7. 给出A上的关系及其关系图和矩阵表示.|0x-y3 A=0，1，2，3，48. 已知S=a,b. R =x,y|x,yAxyA为集合族(S).试写出关系R.9. 已知： A=a,b,c, R=a,b,a,c,b,c该关系具有什么性质？ (自反，反自反，对称，反对称，传递性)10. 设A=a,b,c,R=a,b,a,c 计算：r(R)，sr(R)，tr(R)，str(R).11. 设A是含有4个元素的集合，试求： (1)在A上可以定义多少种对称关系？ (2)在A上可以定义多少种既是自反的，又是对称的关系？(3)在A上可以定义多少种既不是自反的，也不是反自反的二元关系？12. 设集合A=0，1，2，3，4. R=|x+y=4,x,yA ，S=|y-x=1,x,yA. 试求：RS，RR，(RS)R，R(SR).13. 证明：R是A上的传递关系RRR.14. A=1,2,3,4,5,R=|x,yAx-y可被2整除，试问R是否是A上的等价关系？如果是，求出R的各等价类.15. A=1,2,3,4,5,A上的划分=1,2,3,4,5，给出由所诱导出的A上的等价关系R的集合表达式.16. 试给出一个单射但非满射的函数.(对某一集合而言)17. 设f：NNN，f(n)=,则： (1)说明f是否为单射和满射，并说明理由. (2) f的反函数是否存在？并说明理由. (3)求ranf.18. 已知如果从无限集合A到集合B存在单射f，则B也是无限集合。设X是无限集合，集合Y，证明：X与Y的笛卡儿积XY是无限集合。代数系统：1. 以下集合和运算是否构成代数系统？如果构成，说明该系统是否满足结合律、交换律？求出该运算的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.1) P(B)关于对称差运算，其中P(B)为幂集.2) A=a,b,c，*运算如下表所示： 2. 设集合A=a,b，那么（1）在A上可以定义多少不同的二元运算？（2）在A上可以定义多少不同的具有交换律的二元运算？3. 设A=1,2,B是A上的等价关系的集合.1) 列出B的元素.2) 给出代数系统V=的运算表.3) 求出V的幺元、零元和所有可逆元素的逆元.4) 说明V是否为半群、独异点和群？ 4. 设A=a,b,c，构造A上的二元运算*，使得a*b=c,c*b=b，且*运算满足幂等律、交换律.1) 给出关于*运算的一个运算表.2) *运算是否满足结合律，为什么？.5. 设是一个代数系统。*是R上的一个二元运算，使得对于R(实数集合)中的任意元素a,b都有a*b=a+b+ab(和+为数集上的乘法和加法). 证明：: 是独异点.6. 如果是半群，且*是可交换的. 证明：如果S中有元素a,b,使得a*a=a和b*b=b，则(a*b)*(a*b)=a*b.7. 设是一个群,则a,b,cS。 试证明： 群G中具有消去律,即成立: 如果ab=ac ,ba=ca 那么b=c.8. 求循环群的所有生成元和子群. 9. 设是群，aG . 现定义一种新的二元运算：xy=x*a*y，x,yG . 证明：也是群 . 10. 试写出模6加法群的每个子群及其相应的左陪集.11. 试aH和bH是子群H在G中的两个左陪集. 证明：aH=bH或aHbH=.12. 试写出群和环的定义.13. 证明偏序集与格的等价。14. 设A=1,2,5,10,11,22,55,110.1) A关于整除关系是否构成偏序集？2) 如果构成偏序集合，画出其对应的哈斯图.3) 如果构成偏序集，该偏序集合构成哪种格？ (分配格、有界格、有补格、布尔格).图论：1. 已知无向图G有12条边，6个3度顶点，其余顶点的度数均小于3，问G至少有几个顶点？并画出满足条件的一个图形.2. 是否存在7阶无向简单图G，其度序列为1、3、3、4、6、6、7.给出相应证明.3. 设d1、d2、dn为n个互不相同的正整数. 证明：不存在以d1、d2、dn为度序列的无向简单图.4. 求下图的补图.5.1) 试画一个具有5个顶点的自补图2) 是否存在具有6个顶点的自补图，试说明理由。6. 设图G为n(n2且为奇数)阶无向简单图，证明：G与G的补图中奇度顶点个数相等.7. 无向图G中只有2个奇度顶点u和v，u与v是否一定连通.给出说明或证明。8. 图G如下图所示：1) 写出上图的一个生成子图.2) (G)，(G)，(G).说明：(G)=min d(v) | vV ；(G)=min |V| |V是图G的点割集 ； (G)=min |E| |E是图G的边割集9. 在什么条件下无向完全图Kn为欧拉图？10. 证明：有桥的图不是欧拉图.11. 证明：有桥的图不是哈密尔顿图.12. 树T有2个4度顶点，3个3度顶点，其