典题精析(3)—一次方程组的解法.doc

典题精析（3）代数5.4【课本题】例1（第29页练习第（1）题）解三元一次方程组：例2（第47页复习题五A组第4题第（4）小题）解方程组例3（第31页习题5.4B组第1题第（1）小题）解方程组【命题意图】以上三道题目考查了不同类型的三元一次方程组的解法。虽然严格地说，例3不是三元一次方程组，但是其解法与三元一次方程组相似，所以放在此处一并研究。【解题思路】解一次方程组的基本数学思想是“消元”，即通过转化变形使方程组中的未知数的个数由三个减少为两个，从而使三元一次方程组转化为二元一次方程组，再使未知数的个数由两个减少为一个，从而使二元一次方程组转化为一元一次方程，求出一个未知数的解，进一步求出其它未知数的解。这一基本思路图示如下：三元一次方程组二元一次方程组一元一次方程消元转化消元转化为了能够提高解题能力，我们对每道题都采用不同的分析思路，即所谓的“一题多解”，以期达到事半功倍的效果。例1分别用“代入法”和“加减法”解答。如果用“代入法”来解，比较三个方程，发现方程最简单，将它变形为y=3+z ；然后，把代入，即可消去y，得到一个新方程；由于中也不含有y，所以由、组成含有未知数x、z的二元一次方程组，通过它求出x、z的值；将z的值代入，再求出y的值，最终得到原方程组的解。如果用“加减法”来解，仍保留方程的话，就得消去x，这可以通过-得到一个不含有未知数x的新方程；由、组成含有未知数y、z的二元一次方程组，通过它求出y、z的值；将z的值代入，再求出x的值，最终得到原方程组的解。当然，我们也可以试着先消去其他未知数，看看这样做最简单。例2中的三个方程有一个典型特征，就是它们的系数1、1、-1轮换出现在未知数x、y、z的前面，很有规律。对于这种类型的三元一次方程组，我们可以采用“叠加法”或者“叠减法”解答。用“叠加法”，就是把三个方程相加，由+，得x+y+z=17，分别用减去原方程组中的每个方程，就能求得所有未知数的值；用“叠加法”，就是将三个方程连续相减，-，得x+y-3z=5，-可以求出z的值，进一步求x、y的值，就能得到原方程组的解。“叠加法”与“叠减法”的本质还是加减法。一般来说，与做减法比较，我们更习惯于做加法，所以叠加法的应用比叠减法要常见。例3的最大特征就是含有比例式，解这种类型的方程组通过引入一个“比例因子”k作为参数（称为“引入参数法”或“设参法”），然后将x、y、z都用k表示，将表达式代入，就能求出k的值，进一步求出x、y、z的值。这里也有学问，假如直接利用的形式，设x=3k，则y=2k，再用k表示z时，需要由，得5z=4y, z = y z = 2k.即z=1.6k.上述解法的不足之处在于：用k表示z时，费了一番周折，表示的代数式中还含有分数（小数），给后续计算带来不便。解决这个问题的关键在于、中都含有的未知数y所代表的份数不同，在中代表2份，在中代表5份，我们可以设法使y在、中所代表的份数相同即可。因为2与5的最小公倍数为10，所以、分别变形为：x:y=15:10，y:z=10:8此时，若设x=15k，则y=10k，z=8k。再将它们代入，解答起来就简便多了。不难看出，这种解法的本质是代入法。通过以上几例的分析，希望同学们学会分析方程组的特征，选用适当的方法，以期迅速准切地解答。【解题误区】解方程组时，容易进入以下误区：1、把由一个方程变形后的方程，又代入到原来的这个方程中，造成新产生的方程无意义或不存在。2、消元的目的不明确，比如在解例1时，先由-得到一个不含有未知数x的新方程，又通过2+得到一个不含有未知数y的新方程，此时由、组成仍然含有x、y、z三个未知数，并没有达到消元的目的，使解题过程难以继续下去。3、不分析方程的特征，尤其像例2、例3这样特征明显的方程组，想要采用固定方法解所有的方程组，虽然有时也能解出来，但是费时费力，并且容易出错，终不可取。【正确解答】例1解答：用代入法解答. 由变形为y=3+z .把代入，得x-2(3+z)= - 9, x-2z= - 3 .由、组成二元一次方程组，得解得把z = 代入，得y = 3+ y = . 用加减法解答的过程，请同学们完成。例2解答：用叠加法解答.+，得x+y+z=17 -,得z = 3;-,得x = 6;-,得y = 8.所以，原方程组的解为用叠减法解答的过程，请同学们完成。例3解答：因为2与5的最小公倍数为10，所以、分别变形为：x:y=15:10，y:z=10:8若设x=15k，则y=10k，z=8k。把它们代入，得15k+10k+8k=66即33k=66